o tc ul IÍI——— a— — ΞΞΞΞΞΞΞ-- πο ας — ΞΞΞΞΞ-ΞΞ------ —R | UNIV LI Digitized by the Internet Archive in 2009 with funding from University of Toronto https://archive.org/details/euclidisoperaomnO8eucluoft E. MICROFORMEO BY PRESERVA'TTICN SERVICES MAT 2 τ 1987 ἜΣΤΕ - A AT ως τα τ μας ἘἜΒ8Θεῃ | €uelidis PPM Ε wie qn ^i loe v i 4 EUCLIDIS ** PHAENOMENA ET SCRIPTA MUSICA EDIDIT HENRICUS MENGE FRAGMENTA j ὃ COLLEGIT ET DISPOSUIT u I. L. HEIBERG TT Y : Ü ^i 1 N ὟΣ 6 CA^ 32 $2 4c j 5509 — L.1o.A9) - LIPSIAE IN AEDIBUS B.G. TEUBNERI MCMXVI PRAEFATIO. Euclidis Phaenomena duabus recensionibus nobis tra- dita sunt. ac prioris quidem recensionis (à) codices, quos novi, sunt hi: 1. V — cod. Vindobonensis XXXI, 13 (— philos. Gr. 103 apud Lambecium) in hae parte bombyc., s. XII, de quo v. vol. V p. XXIX sqq. Phaenomena habet fol. 212—282"; desinit p. 104, 15 in K A. . 2. L — eod. Florentinus Laurentianus XXVIII, 3, membr. | s. X, de quo v. vol. V p. XXV sqq. Phaenomena con- tinet in ea parte, quam m. rec. s. XVI supplevit, fol. 209—223; des., ubi V. 3. ] — eod. Flor. Laur. XXVIII, 6, membr. s. XIV, de quo v. vol. V p. XXVI. Phaenomena habet fol. 321 —-885; des. ubi V. 4. y — cod. Vatic. Gr. 1038, membr. s. XIII, de quo v. vol. V p. V sq., Catal. codd. astrol. Gr. V, 1 p. 13, Hei- berg, Hermes 38 p.181 et Deutsche Littztg. 1900 p.417, Boll, Sitzungsber.d. Münch. Akad. 1899 p.81. Phaenomena continet fol. 111—112; des. p. 26,2 in A4 E. figuras non habet. 5. v! — cod. Vatic. Gr. 1039, chartac. s, XV, de quo v. vol. VII p. VI, Heiberg, Hermes 38 p. 322. Phae- nomena habet fol. 32 sqq.; des. p. 104,9 in ὅτι. integrum huius recensionis exemplum frustra indagavi. Alterius recensionis (b) codicum longe princeps est: " Vat. — €od. Vatic. Gr. 204, membr. s. X, de quo v. vol. V p. XII. Phaenomena continet fol. 58'—76*, multa a manu?s. XV(Vat.m.2)correctasunt;v. prolegomena. De ceteris codicibus recensionis b v. ibidem. VI PRAEFATIO Sex codicibus illis a me ipso collatis nisus duas re- censiones in primis octo propositionibus ita coniunxi, ut scripturas prioris, quantum fieri poterat, in textum re- ciperem neque ad alteram confugerem nisi iis locis, ubi illius lectio retineri non posse videretur. cum autem inde a propositione nona recensiones plurimum inter se discre- pent, alteram ab altera statui separandam esse. In adparatum criticum omnes scripturas codicum VLlvv!Vat. congessi; consensum codicum VLlv v! lit tera à significavi. Seholia ex duodeviginti codicibus collegi atque om- nium fere omnes discrepantias in adparatum contuli. codicum illorum scholia his notis distinxi: V — cod. Vindobon. XXXI, 183 m.1; v. supra. V, V?, V?, V* — ejusdem manus librariorum; v. vol. V, p. XI—XII. — Laur. 28,6; v. supra. À — Laur. 28, 10, chartac. s. XV. y — eod. Vatic. 1038; v. supra. v! — cod. Vatic. 1039; v. supra. Vat.! — cod. Vatic. 204 m. 1; v. supra. Vat. — eiusdem plures manus recentiores. B — cod. Vatie. 191, chartac. et bombye. s. XIII —XIV. C — ecod.Vatic.202, bombyoe. s. XIV m.1, praeter p. 140 nr. 63 m.rec.; v. Heiberg, Om Scholierne til Euklids Elementer p.34. D — eod. Vatic. 192, bombyc. s. XIV; v. Heiberg 1. c. E — cod. Angel, olim € —2— 9, nune 95, chartac. s. XV; v. Heiberg 1. c. À — cod. Ambros. A 101 sup., Martini et Bassi nr.28, chartac. s. XV. M! — eod. Monac. 361 m. 1; v. vol. VI p. XV. M? et M? — eiusdem manus recentiores. PRAEFATIO VII p! — cod. Paris. Gr. 2342 m. 1 atramento fusco distincta; v. Heiberg 1. ὁ. p. 55 et vol. VI p. X. eiusdem manus eadem atramento rubro usa. eod. Paris. Gr. 2351, chartac. s. XVI. cod. Paris. Gr. 2362, chartac. s. XV. cod. Paris. Gr. 2363, chartac. s. XV. cod. Paris. Gr. 2388, chartac. s. XVII. cod. Paris. Gr. 2472, chartac. s. XIV. Carolo Manitius, viro astronomiae antiquae inpri- mis perito, qui in rebus astronomicis liberalissime me adiuvit e& Henrico Rostagno, professori Florentino, qui codices Laurentianos in usum meum singulari benigni- tate iterum inspexit, gratias hic ago iustissimas. Seriptorum musieorum, quae Euclidis nomine ferun- tur, textum ex Tani editione Musicorum Graecorum (1895) deprompsi. hunc virum sollertissimum constat inter om- nes musicis Graecis in pristinam integritatem restituen- dis tam salutare studium tamque utilem operam imperti- visse, ut quasi sospitator eorum et vindex merito possit appellari. ac Ian quidem libellorum Euclideorum textum constituit duobus maxime codicibus usus. hi codices sunt: 1. M — Marcianus appendicis classis VI n. 3, membr. 4? mai. s. XII. continet Introductionem fol. 1—8, Sectionem fol.9—17. eodex pluribus manibus, quae haud sane facile dignoscuntur, variis aetatibus cor- rectus est. codicem diligentissime contulit Ian, complures locos dubios nuper Venetiis inspexi ipse. 2. V et W — Vaticanus Gr. 191.?) duas habet scriptorum musieorum recensiones, unam fol. 292, ab Iano lit- tera V, alteram fol. 593?) littera W signatam, quam M erm Mam Vg Id d d d i 1) V. etiam Marquard, Die harmonischen Fragmente des Aristoxenos p. XIII sq. 2) V. de hoc codice p. XLII huius voluminis. 3) Errat Ian in numero. VII PRAEFATIO alterum textus voluit esse fundamentum. huius co- dicis collationem Ian complurium virorum docto- rum operae debebat; ante multos annos eum Romae contuli ipse. Ubi eodieum MW scripturae retineri non poterant, Ian duos codices alterius familiae in consilium advocavit, et hi quidem sunt: N — Neapolitanus III C 2 (olim 260), chartac. 4? s XV. fuit Georgii Vallae. Euclidem praebet p. 56 sqq. contulit Ian. B et B — Barberinus II, 86 (olim 270), chartac. fol. min. s. XVI. Introduetio in codice bis legitur, priore loco fol. 300 Pappo vindicata, altero loco fol. 311 con- iuncta cum Sectione et Cleonidis nomine inscripta. Sectio incipit a fol. 318. maiorem partem contulit Studemund, reliquam transcripsit Franz, inspexit Ian, qui priorem illam Introductionis recensionem littera B signavit, ubi propriam lectionem habet, B autem, ubi eum uno vel duobus aliis codicibus conspirat. Ad hos codices, ne tertiae familiae auctor desideretur, in Introductione quidem apud Ianum accedit L — codex bibl. civitatis Lipsiensis XXV, chartac. $.XV. continet Introduetionem fol. 5^—10»*, Sec- tionem 10*—13*. hune librum rectissime vidit vir sagacissimus filium esse cod. Marciani 322, ab eo littera U signati. Lipsiensem contulit Ian, Marcia- num inspexit idem, Introductionem contuli ipse Venetiis 1913; v. prolegomena, ubi etiam de aliis quibusdam codicibus disputabitur. His codicibus enumeratis redeundum est ad M. Ian, cum in tanta illa manuum codicis M varietate de ocu- lorum acie desperaret, ad apographorum testimonia con- fugit. atque in adparatu his usus est siglis: PRAEFATIO IX M et M' — ea, quae scripsit m. 1; M? — eorrectiones diversis manibus ante codicis V tem- . pora factae; M? — correctiones, quibus M congruit cum N; M* — correctiones, quae non in N, sed in U eiusque ad- finibus inveniuntur; M* — correctiones, quae exstant in M, absunt ab U. Nec vero Ian omisit Porphyrium adire, qui in Com- mentarium in Harmonica Ptolemaei ( Wallis opp. mathem. III p. 212 sqq.) sedecim. priores Sectionis propositiones recepit, quemque ille sibi persuasit nonnullis locis solum veram lectionem praebere. priorum editorum, Penae (Paris. 1557) et Meibomii (Amstelodami 1652), emen- dationes evidentes pro codicum suorum scripturis sub- stituere non dubitavit. neque minus ita in recensendis Euclidis libellis egregie meritus est, ut non paucos locos depravatos sua coniectura sanasse putandus sit. In adparatum criticum Ian codicum MV (W)NB(B) et in Introductione praeterea codicis L scripturas omnes contulit; equidem satis habui, codicum MW lectiones omnes commemorare praetermissis ceteris, nisi ubi eos adparebat contra MW sinceram scripturam suppeditare. notas addere, quibus lan aut locos quosdam figuris nostraeque aetatis signis musicis illustrat aut legentes ad alios scriptores musicos delegat, ab huius editionis consilio alienum esse videbatur. Interpretis munere ita functus sum, ut Graeca ad verbum, quantum possem, Latinis exprimerem. Boetium, qui Seetionis prooemium et novem priores propositiones in Institutionem musieam IV, 1 sqq. (p. 301 ed. Friedlein) recepit, interdum consului, Martianum Capellam sequi nolui. Hultschio et Heibergio praeeuntibus pro διπλάσιος τριπλάσιος cett. sequente genetivo dixi: duplo, triplo cett. maior quam. ceterum si interpretatio in existimantium X PRAEFATIO arbitrium venerit, meminerint velim Vitruvii, qui quidem De architectura V, 4 (p. 101, 4 sqq. ed. Krohn) *Harmo- nice', inquit, *est musica litteratura obscura et difficilis — — —,. quam si volumus explicare, necesse est etiam graecis verbis uti, quod nonnulla eorum latinas non habent appellationes'. Uneis (5 inclusi, quae Ian e sua vel aliorum coniec- tura addidit, uncis [] eireumseripta sunt, quae spuria esse statuit. Fragmenta collegit et disposuit J. L. Heiberg. equi- dem tria scholia adnexui, duo e cod. Vat. Gr. 1038, unum e cod. Vat. Gr. 204. H. Menge. 1) De scriptura sesquealter cett. v. Skutsch, Neue Jahrb. f. . Philol. Suppl. XXVII p. 88 not. 2 et Cicer. Paradoxa cett. ed. O. Plasberg (1908) Fasc.I p.172,8 c. not. Corrigenda. p.3,24 pro 'etiam' scribendum: eaedem. p.4 in adparatu lin. 7 delendum: γῆς] — 25; lin. 8 ante ἔσος addendum: 22. p. 5,18 scribendum: aequinoctialem; eae autem. p.69 in adparatu lin.4 ante γιγνόμενον addendum: 11. p.18, » lin. 25 pro τῇ. 2 scribendum: m. 1. p. 32, 15 scribendum: ἴσῳ. p.44 rec. b lin. 5. scribendum: ἐλαχίστῳ, Ρ. 46, 34: minimo. Ix 40 7... » pro τόν (alt. scribendum: τό. p.78 , lin.1 scribendum: ἐλάσσοσι. p. 98 in adparatu rec. a 10 pro φανερόν scribendum φαρερόν. p.105 not. scribendum propositionum. p.106 in adparatu 15. post O K addendum: (alt.). p.162 ,, », 126 delendum Μ et post 4 addendum: M. p.160 ,, » — pro 10 scribendum: 11. Pp yes », lin.3 ante Γ καὶ τόν addendum: 13. » E », pro τὸν ter scribendum: τόν. p. 162 in figura pro ἡ scribendum: H. p. 162, 16 scribendum: ἐστι. p. 164 in adparatu scribendum: 14. πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον Porphyrius, -og -og codd. p.170 in adparatu scribendum: 26. ἴσα] Pena. p.178 , "M a : 4. προσκείσϑω)] Pena. p.188 ,, ἐδ addendum 4. μεταβάσεις] διαστάσεις μετα- βάσεις W. 5. τὰ δέ] δὲ τά W. p.188 in adparatu lin.3 scribendum: βαρύτητι) W. p.192 ,, ls addendum: 11. μέση] om. W. p.196 ,, p 21 scribendum: λιχανός. p.200 ,, ^ 1 pro ἔμπαλιν scribendum: ἀνάπαλιν. p. 201,23 scribendum: ea, quae. p. 203 in adparatu 26 addendum: κατά W. p.212 ,, * lin. 8 seribendum: δέ. p.214 ,, ἊΣ pro 12 » ἋΣ: p.216 ,, E Ἐδυνινν 11. p.217 , - 25 addendum: corr. Meibom. p.232 ,, lin. 5 seribendum μελῳδουμένων. Si wn ANE Ssmus C d WEM: rug ET d irs dir Oe x B ty ; TUM Vy: y EUCLIDIS DPERA OMNIA EDIDERUNT I. L. HEIBERG ET H. MENGE VOL. VIII c ; LIPSIAE IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI MCMXVI De Phaenomenis. Codices recensionis a, VLlvv', de quibus supra breviter dis- serui, arlissimo inter se necessitudinis vinculo coniunctos esse, primum eo probatur, quod praeter v, cuius librarius Phaeno- menorum finem facit p. 26,2, eodem fere loco desinunt; v. p.104, 9,15. praeterea in manifestis erroribus, in quibus omissiones lacunasque numero, satis frequenter congruunt; cfr. p.4,8, 16 (eorr. v^); 10,15; 12, 29; 16,18 (v lac. non habet); 24,12; 26,21; 134,4; 36,5; 62,1—9,7; 64,7; 60,3,8; 68,5,0,8; 72,3,5,6; 74,6; 16,2, 4; 78,2,19— 920; 80,4, 6; 82,9; 84,3, 4, 6,14, 18, 19; 88,2; E: - 90, 1,2, 7, 9, 10; 92,2; 906,9, 11 (corr. m. 2 L), 13; 98,6— 7, 8,9; 100,4 (corr. m. 2 L); 102,3, 14, 15; 104,3 (corr. v^), 11; 137, 8. - accedit locus p.66, 9—16 pessime depravatus. consensus autem - vel in minutiis cernitur, velut p. 4,4, ὅ; 58,2; 82,3; 86,4; 92, 9,10; 96,6; 100,2; 102,7. mendis nescio an insolitus verborum ordo p. 48, 8 adnumerandus sit. in figuris quoque V Llv' (v figu- ras om.) eadem fere peccant. nec praetereundae sunt praeter partem interpolatam propositionis II, de qua infra dicetur, inter- - polationes communes in adpar. crit. notatae p. 12,29; 52,9,13; - 56,6; 76,5; 88,8, quibus nunc iudieo addenda ea, quae legun- tur p. 76,8 αὐτά---ὃ πόλου; 88,7 ἐφάπτεται---ϑ u£on; 98,10. etiam "lemma p.84 suspicari licet interpolatum esse. nam cod. Vat., auctor quasi recensionis b, titulo omisso pro scholio habet (p.148) οὗ in ipso V cetera lemmata (p.142,143) margini pro scholiis . adscripta sunt. animadvertendum est autem, lemma nihil prae- "bere nisi casum singularem prop. XI; addendum quod tota demonstratio redolet scholiastam. sin quis lemma, quod certe p. 96, 4 ad demonstrationem adhibetur, Euclidi adimere recuset, meminerit velim, scriptorem interdum ea, quae facile intelle- - guntur, sine demonstratione adsumere. in numeris propositio- num codicibus, cum saepissime inter se discedant, ne minimam quidem constat fidem habendam esse. ego codicem V plurimum secutus sum; lemmati vero numerum non addidi; p.92 ab ὡς- αὐτως novam propositionem contra utramque recensionem non XVI PROLEGOMENA incepi, quoniam in iis, quae sequuntur, demonstratur, idem fieri in altero semicirculo; non obstat, quod propositio ampli- ficatur, cum praesertim in ecthesi additum illud non respicia- tur neque id sit, quod maxime spectat demonstratio. nec praeter- mittendum, in conclusione demonstr. alterius legi p.128,22 τοῦ ἄρα τῶν ἕῳδίων κύκλου x.v. 4., quae verba ad priorem quo- que partem demonstrationis pertinere adparet. praeterea si rec. b sequeremur, hic ordo efficeretur mirus sane et insolitus: prop. XIV, prop. XV, dem. alt. prop. XIV, dem. alt. prop. XV. codicum recensionis a facile princeps est et si i tie et auctoritate cod. V, quem accurate descripsit Heiberg vol. V p. XiXsqq. nec tamen V liber est corruptelis erroribusque; cfr. praeter locos supra commemoratos p. 16,16; 22, 17—18; 26,21 — 22; 80,3— 9,16 —20; 60,2,4. in interpolationum numero ea, quae leguntur p.44,13 ὅταν —15 τροπικοῦ nunc non habeo. id enim, quod Euclides proponit, in eam solam sphaeram cadere putandum est, ubi dies solstitialis longior est duodecim horas, brevior viginti quattuor. sed alia quaedam offensioni sunt, quae Euclidi vix possunt adscribi, velut p. 62,7 in protasi et p. 78,3 in conclusione numerus singularis legitur ἐλάσσονι, p. 64,5 in ecthesi pluralis ἐλάσσοσι; contra p. 78,11 ἐλάττοσι, p.80,8 ἐλάσ- σονι. similiter numerus variatur p. 56, 4 ἀνίσοις χρ.. € ἀνίσῳ χρ.:; p.62,8 ἐλαχίστοις, 64,6 ἐλαχίστῳ; p.62,9 ἔσῳ, 18,5 ἴσοις. multa menda deprehenduntur in litteris ad figuras spectantibus, quo- rum plurima ita explicanda sunt, ut in quibusdam figuris anti- graphi codicis V litterarum dispositio alia fuisse videatur atque in iis figuris, quae nunc ἃ manu 2 in V exstant; cfr. p. 58, 13; 64, 7; 66,8; 68,8; 72,5,06; 76,9; 84,3,4; 96,13; 98,3,7,8,9; 102,3. complures figurae ipsae pessime depravatae aut negle- genter descriptae sunt. expertus est autem V plures manus cor- rectrices. satis multa correxit m.1 seu supra seu punctis seu li- neolis seu litteris inscriptis (v. p. 4, 22; 6,5; 10, 8, 9, 14; 12,12; 16,91; 22,14,19; 24,7; 26,928; 28,1,2,3,4; 34,4; 40,17; 50,11; 52,9,18; 54,14; 68,11; 78,5 al) ac non pauca ita, ut, pro vo- cabulis litterisve erasis quid primo scriptum fuerit, cognosci non possit. audacissime vero V correctus est a manu 2 ad re- censionem b idque sine dubio ad ipsum cod.Vat., postquam m. 2 correctus erat; v. p.2,20; 4,20,22; 6,97; 8,16; 16,16; 18,10,19; 20, 3, 239; 26,91; 30,10; 36,5; 38,21.) ex eodem Vat.V m.2 1) P.20,29 ὁρέξοντα manui 2 tribuere non debui. glossema est eadem manu (V*) scriptum qua ξῳδιακός super M B NI-. PROLEGOMENA XVI p.60,3 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 2| addidit; primo enim scripserat τοῦ Z, quod in Vat. legitur (v. rec. b lin. 1), deinde ad suam figuram correxit. in interpolata parte prop. II m. 2, ut p.19 &dnotavi. super M scripsit O, II super N; respexit ad figuram p.14, cui pariter atque ceteris figuris ipsa litteras adscripsit. p.22,7 O in ZOT mutavit in 60 figuram 1 p. 21 respiciens. maxime autem studium illud corrigendi ad similitudinem re- censionis b m. 2 cod. V prae se tulit in demonstratione prop. IX; v. p. 49 not. et adpar. crit. mirum, quod, postquam p.46, 22 1£yo—48,3 I'M A delevit, p. 48,4 γάρ retinuit. ad textum rec. b figurae p. 46 inscripsit formam accusativi A4íyóxsoo, cum in !textu codicis V constanter legatur AiyóxsQov (v. p. 44,13; 46,7; 750,17; 78,9,18!)) itemque in figura p.80. addendum eodem, Let ea, quae m. 2 p. 2, 20; 6,17 adscripsit anteposito γράφεται | et ea, quae praebet adiecto κείμενον (p. 22,17; 30, 3—9, 16—20; - 40,24), deberi codici Vat. restant paucae emendationes manus 2, | quas non debet codici Vat.; v. p. 12, 19 (τοῦ &oxrívov V m.2, ᾿ τοῦ ἀρκτικοῦ Vat. quod in adparatu addere errore omisi); 60, | 29—3,4. accedit, quod p.14,6 supra scripsit yo* καὶ τοῦ B κύκλου et p.18,97 διά —20,1 σημείων. e V quin ceteri codices recen- sionis à originem ducant (γράφεται), non potest dubitari. iam - videndum est, quo gradu cum eo et inter se cohaereant. artissime cum V coniunctus est cod.l. nam non solum in eodem vocabulo p.104,15 abrupte desinit, verum etiam eius - errores interpolationesque fideliter repetit idemque nobis eon- . sensus in figuris depravatis occurrit. praeterea cum plurima - eorum, quae in V a manu 2 et supra et in margine scripta - sunt, tum ea, quae V in propositione IX ad recensionem b . correcta praebet, in ordinem verborum recepit; omisit vero pru- - denter p.40,24 μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ DX; in figura - enim codicis V maximus circulorum, qui semper conspicui sunt, - (6 X9 deest neque ulli est usui ad demonstrationem. p.20 sq. - litteras ad figuras spectantes, quas in V manus 2 supra addi- - dit (v. supra), cum litteris manus 1 in textu ita copulavit, ut - lin. 8 legatur 4HO MK, 16 KMO, 17 ANII, 21 ΘΜ, 24 NII' - similia. in scholiorum quoque scripturis | cum V semper fere - eonsentit; cfr. p.137, 7; 139, 22,23,25; 140,24; 141,11,12,14 — —18; 142, 2; 143,7. adparet igitur atque exstat, 1 a V pendere; neque tamen ex eo ipso transcriptus est. nam lacunae omis- 1) In lemmate p.84,21 V addidit m. 2. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. b XVIII PROLEGOMENA | sionesque p.50,8,17; 52,9,10 e V explicari non possunt. acce- dit, quod p.44,14 l pro φανερῶν codicis V scribit φῶν, cum - nullo alio loco hoc compendio nec simili utatur. itaque credi- | derim, inter V et 1 intermedium codicem statuendum esse, in quo verba p.40,24 μέγιστος — ᾧ X (v. supra) fortasse iam de- erant, scholium 32 autem textui p.14, 8 insertum erat. ea, quae l p. 2,7; 6,20; 8,13; 28,23; 98,6,10; 100,9 (τὲ); 104,15; 187,9; contra V praebet vel potius peccat, librario concesserim (de p.16,1 dubito) idem pro ἄρα compendio, quo V non parum saepe utitur, male intellecto scripsit ἔτι; v. p. 20,2; 22,1; 92,5; 96,8; 138,18 al. correctus est 1 ἃ manu 2 p. 98, 6, 10 (v. Corrigenda). ex l totus expressus est L eumque sequitur fidelissime nec comitatum recusat ne in minutissimis quidem, ubi ille a V discedit. compendium illud particulae ἄρα non rectius inter- pretatus est quam l; nam iis quoque locis, quibus 1 compen- dium retinet, in L redire solet ἔτι, velut p. 90,1; 96,2; 102,5. propria L peccat p.6,7; 44,14 (ἐλάττω); 48, 8—11 (om. propter ópororéAsvrov); 50,14. p. 50,8 lacunam librarius falso explevit. correxit manus 2 p. 96, 11; 100, 4. codicem v' quoque artissime cum V copulatum esse, summus errorum, interpolationum correctionumque consensus dilucide docet neque obstat, quod iam p.104,9 in fine paginae desinit. nec vero ex ipso V descriptus est. nam cum 1 omittit p. 50,8 B lacuna relicta et p.44,14 scribit φανῶν. ac ne ex 1 quidem iranscriptus est; habet enim in textu p.40,24 μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ ΦΧ neque unum ex mendis librarii codicis l repetit. adsumendus est igitur codex ille intermedius eiusve adfinis, quem iam in propositione II copulationem illam lit- terarum ad figuras spectantium, quae eadem in ν΄ invenitur, prae se tulisse verisimillimum est. ad eundem cod. intermedium sine dubio redit p. 22, 17 ZII (pro Z T); v. adp. cr. v' autem nonnulla praebet propria, quorum maximam partem libfario iribuerim. p.18,16 novam incipit propositionem. ordinem ver- borum p.12,6; 48,8 et litterarum p.16,928 ad arbitrium mu- tavit. eidem arbitrio adscribere malim quam ad compendium terminationis male intellectum revocare, quod contra VlL p.4, 2,3,17,19,21, 25; 8,8,19 in v' legitur ὑπὲρ γῆν pro 9. γῆς. interpolationes deprehendimus p. 48,10; 100,8,19, scholium 32 textui p. 14,8 interpositum. peccat γ΄ etiam p. 2, 22—93; 10,5, 19; 28,12; 102,12. veram scripturam solus babet p.4,15; 50,4 (om. δέ); 104, 3. PROLEGOMENA XIX codex v in particula quam continet recensionis ἃ omni genere mendorum stultissimorum turpiter deformatus est; cfr. p. 2, 8,16; /.4,4,92; 8,2,3,13; 12,0, 7,20; 14,5; 16,4; 18,9; 24,7. descriptus est autem e codice, in quo terminationes satis saepe scriptae erant compendiis, quae librarius non recte intellexit ac litteris reddidit perversis, velut p.2,13,22; 4,8,20; 6,8,8; 10,5; 20,924 (rov pro τό), 29 (vg pro τόν): ?2,9; 24,25. mirum admodum, quod v concinit cum ν΄ p. 4,17,19, 21, 25 in γῆν pro γῆς et in mendis p.10,5,19. scholia nr. 46,47 in textu praebet. p.18,16 ut v/novam incipit propositionem; propositioni III titulum de- — dit ἄλλως. antigraphum illud sine dubio figuras codieis V prae- - buit; v ipse spatia vacua reliquit. in propositione II litteras mtu acm ad figuras spectantes p.?20,20 ita copulavit, ut scriberet M 0; in ceteris contra lv' litteras supra scriptas pro litteris textus eodicis V in textum recepit: lin.8 AHOK, 9 O, 16 KO, 17 AIL, 94 II; inconstanter p. 22,7 M, 8 N retinnit; Recensionem b in primis quidem octo propositionibus ex eodem fonte derivatam esse atque ἃ demonstrant errores com- - munes p.4,15; 8,8; 12,9; 18,19; 24,7; 42,165 et interpolata - pars prop. II. aecedunt loci admodum suspecti p. 10, 23 -— 24; 12,5; 24,11; 36,4; 506,6. testis autem rec. b longe antiquis- simus fidissimusque est cod. Vat. et ita fidissimus, ut praeter . unum ceteri omnes ad eum vel ad eius archetypum quasi pa- rentem redeant et sincerae scripturae non subveniant nisi iis locis, ubi eum Vat. congruunt. unde efficitur, ea, quae iam de cod.Vat. adferam, ad rec. b pertinere. cod.Vat. igitur, quamvis ceteris praestet, erroribus tamen nequaquam vacat; praeter menda cum rec. ἃ communia v. p. 2,1,12; 4,15,17; 6,13,16; 8,16; 10,21; 12,1; 18,11—14, 25— 9206; 92,22, 24; 94, 16, 24, 25; 28,5, 19; 82,15; 34,12,24; 36,10,12; 38,9,5; 40,26; 48,5; 54,10; 60,21— 92; 80,11; 88,15; 92,3; 102,4,12; 106,15; 108,2; 110,5; - 112, 8; 114, 7, 10, 13; 116,12; 120,1,10; 122, 5,10, 20, 25, 29; 124,2,13,17; 128,6,30; 132,4; 152,21. p.70,19; 72,3; 76,5,9 verborum ordo si non perversus, at certe sane quam mirus est. emendatrix adparet manus 1 p. 2, 12, 16; 4, 8; 18, 25; 30,2; 70, 10; 76,25; 88,2; 99,1; 96,11; 118,17,23; 120,10. potissimum - autem cod.Vat. correctus est a librario see. XV manu non raro felici, saepius audaci!), cuius scripturas maximam partem e cod. Marc. 301 petitas hue congeram: 1) Cfr. vol. VI p. XVIII. » b* ΧΧ PROLEGOMENA Ῥ. 2, 8 ἀνατέλλονται 4 δύονταν 6 γίγνεται 30 và — πόλῳ] τὰ ἐχόμενα τοῦ φανεροῦ πόλου p.4,15 ἰσημερινόν] corr. ex ἰση- μερηνόν 16 ἰσημερινοῦ] corr. ex ἰσημερήνου 24 ἀεί] « supra add. p.6,6 γίγνεται) y (alt.) inser. 21 αὐτῶν] del. et supra scr. τῶν ἀρχῶν p.10,20 post τεϑεώρηται add. τῆς 4 21 ἡ] add. p.12,5 post διόπτρας add. τῆς zl 18 ϑερινοῦ] corr. ex ϑερείνου 36 ϑερινός] corr. ex ϑερεινός p.18,15 40] 4ΞΘΟ 19 μεταξὺ τῶν Θ, E σημείων] e corr. 21 διά (410))---Ῥ. 20,1 ση- μείων] διὰ τοῦ πόλου, ὅς ἐστι μεταξὺ τῶν OE σημείων τοῦ τρο- πικοῦ καὶ τοῦ ἀρκτικοῦ καί in ras. p.20,29 ΜΒ NT'] M corr. eK HBI]H mut.in K p.22,18 ἐστι] add. τόν] add. 22 κύ- *Aog] add. 24 τόν] corr. ex τήν — p.26, 6 ante δύνει add. καί 7 ante ἀνατέλλει. add. καί p.30,16 4, Θ] O.4 in ras. p.32,2 ἄρα] supra add. $8 £zsl] supra add. καί 11 καί ἐστι] mg. add. 15 τῇ BI' περιφερείᾳ] mg. add. p. 34,12 ὅταν —13 κύκλου] mg. add. p.36,9 ἐπεί] καὶ ἐπεί 10 τῇ ZB περιφερείᾳ} supra add. 12 ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ 4 EB] supra add. p.38,2 ἴση] supra add. ὅ κύκλου] corr. e κύκλων Ῥ. 42, 4 καὶ ἐπεὶ περιφέρειαι] ἐπεί m.1, οὖν supra add. τη. 92 34 δή] corr.ex δέ νη. 40,1 ABI] add. 4 p.50,6 ΚΝΑ] supra add. περιφέρειαν p. 52, 10 ἐπεί] ἐπεὶ γάρ p.56,8 αἱ αὐταί] corr. ex αὐταὶ αἱ p.58,7 post £o- διακοῦ add. κύκλου p.60,19 fo] eras. et scr. δευτέρᾳ 21 post Z (pr) add. 4 22 ἐπεί] ἐπεὶ ydo — p.62,11 ABI'Z] 44Γ8 12 B4] AB 18 l4] 4D 16 48] Ez p.66,4 ἐπεί] xol ἐπεί Ῥ. 68,19 sPga] eorr. ex P p. 70,11 & H] mg. add. περιφέρειαν (comp.) Ρ. 12,18 sP] pro s in ras. ἢ p. 74,6 ἐπεί] καὶ ἐπεί p. 76,20 παραγίγνεται] del. et ser. παρέσται . 82, 8 post X add. σημεῖα. καί Ῥ. 88,8 ἐπεί] καὶ ἐπεί, item p.90,3 p.92,7 ante ζῳδιακός add. ὁ 14 post γεγράφϑω add. διὰ τοῦ Ζ. p. 94,1 ἐπεί] καὶ ἐπεί —p.100,10 ante ἡ (alt.) add. ἐν τούτῳ — p.102,4 E] add. 14 δέ] mut. in δή p.106,15 αἱ HO, OK] supra add. Ῥ. 110, ὅ ἄρα] supra add. 10 δέ] del. 24 ZH] add. περιφέ- ρειὰ p.112,8 τῶν] corr. ex τῷ in fine: τῆς τυχούσης Y τέλος (minio) mg.: pv^ me μ.114,1 4H BZ] Z add. 10 διά] supra add. παράλληλοι] omnibus litteris ser. supra 18 xa«í( — MNAK] mg. p.116,3 δέ et ἔκϑεσις add. 12 TMT] add. p.118,25 ABI'|add.4,item lin. 27 88 vH X] post H inser. 9 p.120, 38 δέ] mut. in δή p.122,5 ἡ (pr.] add. πλείονι] -:- add. ante ἡ (alt) add. καί — 16 ἀφανῶν) « — add. 20 A4] add. 925 1j] add. 28 E]del. 29 A4]del 80 ἐπεί] καὶ ἐπεί p.124,0 TN X] add. περιφερείας 17 λοιπῆς] add. p.126,26 post H Θ add. περι- PROLEGOMENA XXI φέρεια (comp.) p.128,6 δύνει] add. p.182,4 TENM) M add. 11 ἀφανές] sequitur: ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ OZ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ EH τὸ φα- ψερόν p.146,16 post Z add. ἴση p.153,28 E 4]. EKA 91 EK A] ΠΑ add. p.154,30 ἤπερ ἡ] in ras. p:155,26 MEH] H in ras. ..98 ἤπερ ἡ MEZ] add. p.166,12 post ϑερινοῦ add. τροπικοῦ. praeterea duae man. recentes οὐ. αὖ. corrigere sibi visae sunt 800 arbitratu; v. p. 72, 16 post δύνει add. ὧν ἐπεὶ ἡ AR τῇ ΞΜ — ἐν ἴσῳ χρόνω δύνει; p. 178,8 super ico scr. ἴσοις; p. 80,8 post — NA add. περιφέρειαι, 10 i6 mutat. in ἔσοις, 11 ἀνατέλλει in ἀνατέλλουσι; p. 98,10 post OO add. περιφέρεια; p.1292,10 schol. —nr.122 textui insert. addiderim p. 98,15 del. ἐξαλλάσσει τὸ φα- νερὸν ἡμισφαίριον, quod retinere debui. iam vero videamus, quae inter duas recensiones vel, si mavis, inter earum auctores, V et Vat., intercedat ratio. primum de- 'monstrationes alterae propp. VI, XII, XIV, XV recensionis b, | quae Euclidi non possunt attribui!), in codd. rec. à non repe- riuntur, memorabile est autem, demonstrationem alteram prop. XII demonstrationi rec. a esse simillimam itemque in altera parte dem. alt. prop. XIV similitudinem eum ἃ adparere. deinde scho- lia 102, 127, 128, 129?) codicis Vat. textui ἃ m. 1 interposita in V non exstant. contra codex Vat. om. p. 8, 29— 10, 2 et ea, quae sequuntur p.10, 3— 10, habet pro scholiis; v. schol. 106, 114. demonstrationes quidem propp. I—VlII post prooemium com- mune in utraque recensione ita eadem via ac ratione procedunt, ut eadem Autolyei et Theodosii theoremata iisdem locis usur- pentur, idem sit conclusionum ordo plurimaque iisdem fere verbis expressa legantur. ceteras vero demonstrationes, sive |summam spectas sive singula respicis, plus minusve inter se . dissident. ac propositionis IX quidem ipsae protases discedunt; | omittit enim Vat. p. 44, 18 ór«v—106 τροπικοῦ, quae verba supra negavi redundare. ectheses gutem prioris partis sic inter se || differunt, ut V constructionem praebeat p.46,22sqq. ante λέγω δή κτλ., Vat. vero p. 48, 4 initio demonstrationis. alterius partis eethesis p.52 in V deest; in Vat. p.54 conclusio desideratur; , demonstrationes ipsae eandem rationem sequuntur. demonstra- . tiones Mu partis prop. X similitudinem quandam prae se 1) V vol.V p. LXXIX et VI p. XLIX. 2) Seholium 122 hic praetereo, cum in codicis Vat. textu ἃ m, rec. exstet neque ad ipsam rec. b pertineat. XXII PROLEGOMENA ferunt; alteram partem. Vat. p. 56, 10 sqq. absolvit verbis g«evs- ρὸν δέ κτλ. contra in prop. Xl, postquam in utraque recensione haud dissimiliter ostensum est, quo tempore zodiaci arcuum et aequalium et oppositorum alter occidat, eo alterum oriri, V reli- quam demonstrationis pártem omittit satisque habet addere: ὁμοίως δὴ δείξομεν κταλ.᾽), Vat. vero etiam alterum propositionis locum iisdem fere verbis ac priorem demonstrandum censet. demonstrationes prop. XII ita vel maxime inter se dissentiunt, ut V ortum arcuum non attingat nisi in extremo, ubi conclu- sioni adiungit p.78,6: ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀλλήλαις ἀνατέλλουσιν, Vat. vero p.72,95 sqq. diserte doceat, arcus ab aequinoctiali aequali intervallo distantes aequali tem- pore oriri. in demonstrationibus prop. XIII differentiam habe- mus satis magnam perscriptionis, velut V sex arcus comprehensos cum sex arcubus aequalibus occidentalibusque comprehensis com- ponit et comparat, Vat. vero utriusque ordinis singulos cum singu- lis; praeterea V p.82,8 sqq. prop. XII omnibus verbis profert, Vat. usurpat tacite. demonstrationes prioris partis prop. XIV eandem propemodum viam persequuntur, perscriptione vero non mediocriter inter se discrepant. in fine p.90,15 Vat. demon- strandum suscepit, arcuum, de quibus quaeritur, alterum pro- piorem esse contactui aestivi tropici altero. demonstrationis al- teram partem p.99 ὡσαύτως xvÀ, quam Vat. non minus quam in priore parte duas sumens zodiaci positiones dilatatam prae- bet, V pressam tradidit et coartatam. demonstrationes prop XV eadem via progrediuntur atque perscriptione non fere multum differunt, quamquam V alteram partem protasis p. 100,4 ἐν o χρόνῳ κτλ. non curat, Vat. absolvit verbis p. 102, 14 ὁμοίαν δὲ δείξομεν x1À. postremo e particula, quam V continet demon- strationis prop. XVI, concludere licet, pressiore eum perserip- tione usum esse codice Vat. recensionum discrepantiam etiam in figuris oculis subiectam invenimus maximeque figurae propp. 1l, XII, XIV diversam prae se gerunt perceptionem ac descriptionem. singula, quibus V et Vat. inter se discrepant, quorum partem supra commemoravi, hic comprehendam brevissime. ac primum quidem statuendum est, Vat. non paueis locis contra rec. a ac potius contra V non correctum veram scripturam tenere; v. p.4,8; 6,8, 28; 10, 8, 14, 15; 12, 25, 29; 14, 1; 16,21; 18,10,15; 20, 29; 22,17; 26, 21, 26, 28; 30,3,16; 32, 1. 84,4; 86,5; 38, 21. de iis, 34) Cir. δὴ; IV p. 120, 2 sqq. PROLEGOMENA XXIII | quae Vat. proprie peccat, supra dictum est; addiderim ea, quae inculcat p.10,21; 42,25. praeterea orationem a V diversam in Vat. deprehendimus p.?2,12,21— 23, ubi φέρεσθαι κύκλον prae- fert solito φέρ. ἐπὶ κύκλου (cfr. p.2, 18; 6,8,4 al); 6,28. ple- —amior Vat. est p.4,20, brevior p. 6, 15; 16, 5—6; 18,12—15; 27 -—p.20,1. ordine verborum V et Vat. inter se distant p.28,5; 86,4; 40,8; 42,3; 44,1; 54,0,8. differentia etiam ad vocabula -astronomica et mathematica pertinet: Vat. habet p. 6,17 ἡμι- σφαίριον pro τμῆμα, 18,11 σφαῖρα pro κόσμος: 24,7 σημεῖον pro ἄστρον; addit p.20,9 et 84,20 τροπικόν, 20,29 ὁρίξοντα, τη. p.22,18,922; 924,6; 40,9 κύκλος, 106,7; 42,94 περιφέρεια. aliquoties orationem in Vat. ad eandem normam et regulam directam habemus. cum V scribat ἐν à pro ἐν ᾧ χρόνῳ, licet | substantivum non proxime antecedat; "velut p. 60, 2,4; 606,9; |i 714,1; 90,11; 96,4; 102,6 (p. 102,6 pnm addere non debebani), || Vat. dole non omittit, nisi facile potest suppleri. p. 30,2 Vat. -Ladd. μέρη; οἷν. p. 26,26; 30,15. V praefert ἐν ἴσῳ χρόνῳ nu- ΤΠΘΙῸ plurali iis quoque "Ideis; ubi pluralis proxime legitur (v. Lp. 54, 11, 12; 62,9; 64,6; 86,3), Vat. vero consensum praestat numerorum scribitque illis locis ἐν ἴσοες zo., p.80,10 tamen parum constanter ἐν ἴσῳ. eodem referendum rec b p.62,8 ἐλάσ- 0061; 64,3 ἐλαχίστοις. V scribit et ὑπὲρ γῆς et ὑπὲρ γῆν, Vat. - perpetuo retinet genetivum. huc spectant etiam scripturae co- dieis Vat. p. 24, 12 xo9" οὗ; (cfr. p. 26,9; 28,92; 32,6; 36,8; 46, 20; 96,1; 102,2), p. 10, 19; 12,3 τεϑεωρήσϑω (cfr. p. 12, 1), ΟΡ. 86, 1 ἀπειλήφϑωσαν (cfr. p. 46,10; 48, 4 rec. b; 54,15; 58,7; 100,8; 104,8) itemque p. 10, 15 uév (cfr. p. 26, 8; 28,21; 36,1; Lp. 32,1 errore librarii post τά insertum est) p.32,5 pro binis "litteris ad figuram spectantibus praebet singulas, cfr. p. 26,8; . 98,21; retinet binas p.36,1. iam delapsus sum ad minntias, Banibus has libet adnumerare codicis Vat. discrepantias: ἐστί - add. p. 32, 9; 80,12, om. p. 22, 18. ἄρα om. in apodosi p.18,1; 1-82,9; 42,93; praeterea Ῥ. 82,2. γάρ om. p.32,7. μέν om. p.14,3; 30,24. δέ in fine ectheseos post λέγω add. p. 36,6, δή p.16, 1. post ὁμοίως (— δείξομεν) hab. δή pro δέ p.32,21; 84,6 (cfr. - p.72,18; 76,24 et 102,14); congruunt V et Vat. p. 42, 24 in δέ, |. quod reeipere debebam. Vat. δέ pro μέν p. 8,16, pro καί p. 58,4. in usu particularum τε- καί V et Vat. concordare solent, sed τε add. Vat. p.24, 4; 34,8, om. p. 34,24. articuli detractione Vat. a V identidem discedit; v. p. 6, 13; 10,21; 22,18; 24,16; 34, 10,23; 36,9; articulum add. p.26,17. adde scripturas discre- XXIV Ἢ PROLEGOMENA pantes p.92,94 ἅπαντα, p.6,12 ἔσται, p. 8, 6 διεξέρχεται, p.24, 94 τέμνη, 25 ἐφάπτηται, Ῥ. 20,8 μή. etiam quibusdam ortho- graphicis V et Vat. differunt, velut V praeferre videtur γίνεσθαι, Vat. γίγνεσθαι; v. p. 6,11; 16,10; 18,1,9; 22,15,20 al, con- cinunt p.2,6 in γίνεται. p. 10, 90, 96, 98 Vat. scribit et παρα- γίγνεται et παραγίνεται. V epagogicum V interdum ante vocales omittit, velut p.16,4; ὅθ, 8,18, Vat. ante ipsas consonantes ad- dit; v. p. 6,17, 27; 68,2. vocales finales Vat. contra V retinet p.6,4; 8,10,22; 36,15. nec deest litterarum ad figuras perti- nentium differentia, etiamsi earum ordo in figuris ipsis idem est; v. p. 14,1; 16,1, 3,14, 30; 26,13; 30, 3,15, 30; 32,1, 5,9,12, 24; 84,2; 40,94. harum orationis differentiarum satis magnam partem manifesto adparet adscribendam esse librario. duas autem recensiones conferentibus nobis in mentem venit Theonis eiusque Elementorum, Datorum, Opticorum recensionis et suspicari licet ^), eundem auctorem esse recensionisb, quam quidem constat partem esse τοῦ μικροῦ &oroovouovuévov. obstat, quod Pappus eam ad- hibuisse videtur (v. infra). denique de auctore rec. b, cum testi- monia non reperiantur, pro certo nihil potest adfirmari nec tamen dubium est, quin scholae debeatur Alexandrinae. Codices recensionis b, quos novi, praeter Vat. sunt hi: 1) cod. Vatic. Gr. 191, chartac. et bombye. s. XIII — XIV, de quo v. vol. VI p. XIII; MaaB, Aratea in KieDBling-Wilamowitz, Philol. Untersuchungen XII p. 108qq.; Catal. codd. astrol. Graec. V,2 p.35sqq.; Kroll, Vettius Valens p. IX sq.; Jan, Mus. Gr. p. XXIVsqq. Phaenomena habet fol. 4v—11". 2) cod.Vatic. Gr. 192 bombyoc. s. XIV, de quo v. vol.VI p. XIII; Heiberg, Hermes 38 (1903) p. 186; Amsel, Bresl. Philol. Abhdlg. 1,8 p.1218q.; Th. Reinach, Revue des études Gr. X (1897) p. 318. Phaenomena habet fol. 151*—108. 8) cod. Vatie. Gr. 202, de quo v. vol. VI p. XIII. Phaenomena continet fol. 138—176. 4) eod. Angel, olim C—2—9, nunc nr. 95, chartac. s. XV; v. Studi ital. di filol. class. IV p.138sq. Phaenomena continet fol. 337 —351". 5) cod, Barberin. II,81, chartac. s. XV, de quo v. vol. VI p. XIII. Phaenomena habet fol. 85" 8qq. 6) cod. Laurent. XXVIII, 10, de quo v. vol. VI p. XIII. Phae- nomena habet fol. 60 sqq. ἢ V. vol.VII p. XXXI. PROLEGOMENA XXV 1) cod. Magliabecchian. II, IIT, 40, chartac. s. XVI, de quo v. Studi ital. II p. 544. Phaenomena habet fol. 105—127. 8) eod. Ambros. A101 sup., Martini et Bassi nr. 28, de quo v. vol.VI p. XIV et vol.VII p. XVIII; Heiberg, Hermes 38 p. 324 sq. Phaenomena continet fol. 142*Y— 153. 9) eod. Ambros. Q105 sup., Martini et Bassi nr. 697, chartac. 8. XVI. praeter Marini commentarium in Data et Data habet Phaenomena fol. 438qq. 10) cod. Ambros. J 84 inf, Martini et Bassi nr. 1051, de quo* y. vol. VI p. XIV. Phaenomena habet fol. 1— 24. 11) cod. Marcian. 301, de quo v. vol.VI p. XIV et Heiberg, Hermes 38 p. 183. Phaenomena habet fol. 4367— 464", - 12) eod. Marcian. 302, de quo v. vol. VI p. XIV et vol. VII p. XLIV sq.; Heiberg, ib. p. 66 et Ptolemaei opp. II, p. XIX. Phaenomena habet fol. 200—220". 13) eod. Scorial. X —1— 4, de quo v. vol. VI p. XIV. 14) eod. Toletan. Bibl. Capitul. 98—13, de quo v. vo]. VI p. XIV. Phaenomena continet p.21— 64. 15) cod. Paris. Gr. 2342, de quo v. vol. VI p. XIV et Hei- - berg, Hermes 38 p.59 5q., 323sq. Phaenomena habet fol. 1907 —136"*. 16) cod. Paris. Gr. 2347, de quo v. vol. VI p. XIV et Heiberg l c. p. 183. Phaenomena habet fol. 394 sqq. 17) cod. Paris. Gr. 2350, de quo v. vol. VI p. XV. Phaenomena habet fol. 9— 297. 18) cod. Paris. Gr. 2351, de quo v. vol. VII p. XVIII; Omont, Inventaire sommaire II p. 242. Phaenomena habet fol. 1— 64. - 19) cod. Paris. Gr. 2352, de quo v. vol. VI p. XV. Phaenomena - habet fol. 105—121". 20) cod. Paris. Gr. 2363, de quo » vol VI p. XV. Phaenomena continet fol. 40*— 51". 21) cod. Paris. Gr. 2366, de quo v. vol.VI p. XV. Phaenomena habet fol. 119—197". 22) cod. Paris. Gr. 2388, chartac. s. XKVI—XVII; v. Omont, In- ventaire II p. 251. Phaenomena habet fol. 115 sqq. 28) cod. Paris. Gr. 2468, de quo v. vol. VII p. XVII. Phaeno- mena continet fol. 37 sqq. 24) cod. Paris. Gr. 2472, de quo v. vol.VI p. XV. Phaenomena habet fol. 64— 96. 25) cod. Paris. suppl. Gr. 13, chartac. s. XVI; v. Omont III p.203. Phaenomena habet fol. 107—130. XXVI PROLEGOMENA 26) cod. Monac. Gr. 361, de quo v. vol. VI p. XV. Phaenomena continet fol. 177—922" et fol. 7r—S*, 21) eod. Monac. Gr. 575, chartac. s. XVI. praeter Data con- tinet Phaenomena fol. 26—40.!) 28) cod. Berolin. Phillipps. Gr. 1542, de quo v. vol. VI p. XV. Phaenomena habet fol. 197—833". 29) cod. Berolin. Phillipps. Gr. 1544, de quo v. ibid. et vol. VII p. XLV; Heiberg, Hermes 38 p.66. Phaenomena habet fol. 229* * —242"*, 30) cod. Hamburgens. Philol. 90, de quo v. Omont, Central- blatt f. Bibliotheksw. 1890 p.368. Phaenomena habet p. 237 —300. 31) eod. Leidens. 7, de quo v. vol. VI p. XV et LVI not. 2. Phaenomena continet fol. 331—360. 32) cod. Bodleian. Barocc. 161, de quo v. vol VI p. XV et vol. VIT p. XVII sq.; Heiberg, Heronis opp. V p. XLIV. Phaeno- mena habet fol. 206Y8qq. 33) cod. Oxon. Bibl. Collegii s. Iohannis 55, e. 8. XVI, de quo v. vol. VII p. XVII. Phaenomenorum continet introduc- tionem et prop.I fol. 23—24. 34) cod. Cantabrig. Universit. N n III, 8, chartac. s. XV ; v. Cata- log. of the manuscr. of the Univers. of Cambr. IV p.478. praeter Optica et Catoptriea continet Phaenomena fol. 15—34. 35) cod. Savil. Gr. 1, de quo v. vol.VI p. XV et Heiberg, Philo- logus 55 p. 738 sq. Phaenomena habet fol. 228—240. 36) eod. Savil. Gr. 10, chartac. 5. XVI—XVII, de quo v. Hei- berg l.c. p. 740 sq. Phaenomena habet fol. 18" —25". codd. 13, 14, 36 non vidi; reliquos aut contuli aut inspexi. sequitur, ut de eorum cognatione dicendum esse videatur. ac primum quidem commemorandum est, eos cum cod. Vat., quamvis classes eorum inter se dissideant, omnes ex eodem fonte fluxisse, id quod ostendust errores communes p. 8, 16 κύκλος; p.116, 12 7M T om. (add. Vat. m. 2); p. 122,5 ἡ (pr.) om. (add. Vat. m. 2); p. 152, 21 ἡ om.; praeterea v. p. 60, 291—922; 108, 2. iam transire libet ad singulos codices atque initium capiam ΔῸ iis, qui e cod. Vat. non interpolato originem ducere existi- mandi sunt; sunt autem codd. 10, 15,25. ex ipso cod. Vat. de- scriptus est sine dubio cod. 15; cfr. p. 10, 21 ἡ (pr.)] om. Vat., 15; p.18,27 τοῦ πόλου] ro? O σημείου eras. Vat.; hab. 16 (v. 1) Cod. 27 cum post Hardtium in bibliothecam Monacensem translatus sit, in Catalogo eius non reperitur. | PROLEGOMENA XXVII adp. crit.); p. 92, 1 ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ] ἐν τῷ ἑτέρῳ μέρει τοῦ ἡμικυκλίου Vat, 15; p.92,3 ἡ] αἱ Vat., 15; p. 92,8 ἡμι- χυκλίῳ] ἡμισφαιρίῳ eras. Vat.; σφαιρίῳ comp. 15; p. 102, 12 ἀφανές] φανερόν Vat., 15; p.128,30 κύκλου] κύκλον Vat., 15. eod. 15 solus om. p. 80,10 B.K —82,1 τό (pr). etiam in scholiis eorumque scripturis consensus quidam cum Vat. elucet; v. p.135,9; 140,24; 142,14; 143,9; 152,25. mirum, quod cod. 15 ad scho- lium nr. 76 figuram habet codicis V. codices 10 et 26 eundem "Vat. potissimum sequuntur. omittunt contra eum p. 154,32 χρό- vo; cfr. p. 82,19 HM] γημ 10, γημ 25; p.94,11 PK O] δκρϑ 10, 0x 99 25.") praeterea cod. 25 scr. p. 86,3 ἔσῳ χρόνῳ, p.102, 112 ἀφανές (pro φανερόν). correctionum m. 2. cod. Vat. in cod. 10 »vix ullam reperimus, in eod. 25 vero complures, velut p. 92,14 διὰ τοῦ 4; p.114,18 καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος (ἕκαστος) xr4.; p.132,11 ὁμοίως δή κτλ.: plurimas respuit. memorabile est, quod cod. 25 Lp. 92,3,10 αἱ istud cod.Vat. vel antigraphi eius omittit. etiam codicem 3 facile suspiceris descriptum esse e cod. Vat. »nam continet opera, quae ad τὸν μικρὸν ἀστρονομούμενον, qui - dicitur, pertinent, omnia eodemque ordine. accedit, quod p. 147,10 in scholio nr. 104 cum Vat. praebet y, licet demonstratio altera sequatur post folia quinque. sed tamen scripturarum discrepan- - tia de origine multum habet dubitationis; v. p. 36, 10 περεφε- ᾿ este] Vat., yovío?) 3; p. 36,12 ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ 244 EB] 8, ᾿ om.Vat.*) p.72, 8 τὰς ΖΗ, H P] Vat. (m. 1 in ras.), om. 3; p.76, | 92 post ΚΗ add. περιφέρεια 3, 21 ἀνίσοις χρόνοις] Vat., ioo χρόνῳ 3; p. 102, 12 ἀφανές] 3, φανερόν Vat.; p.106,15 αἱ ΗΘ, - OK (alt)| 8, om. Vat. p. 112,8 τῶν] 3, τῷ Vat. p.114,13 καί - —MNAK] 3 (ἕκαστος), om.Vat.; p.152,25 δ΄} 3, ε΄ Vat.; p.152, | 26 σημεῖόν scri] Vat., ἦν σημεῖον 3. quare codicem 3 codicis - Vat. fratrem malim appellare quam filium. e codice 3 pendere codd. 6, 20, 24 hi docent loci: p.16, 15 πόλων] πόλου 2,0, 34: item lin.27; p.36, 10 περιφερείᾳ] γωνίᾳ 9, ras. et lac. c. 5 litt. 24, om. 20. p.66,2 καί] om. 3, 6, 24; p. 70,11 ΕΗ] ΕΗ περιφέρειαν 3,6, 24; p. 76, 27 ἀνίσοις χρόνοις] .1) Cod. 10 in Phaenomenis e cod. 2 exaratus esse nequit, quod praebet p.16, 6 ἡ δέ, p.154,83 ἐν — ἀνατέλλει alia, quae cod. 2 omittit. 2) Fortasse e compendio male intellecto ortum; cfr. schol. nr.114 p.150,5, ubi pro περιφερείας (comp.) cod. 6 scr. γωνίας. 3) Cod. 3 antiquior est manu 2 cod. Vat. XXVIII PROLEGOMENA ἴσῳ χρόνῳ 3,6,20,94 (mg. m.1 corr. ἀνίσῳ); p. 143,9 ἅπτονται ἀλλήλων] om. 3 (lac. rel), 6,24 (lin. 6 4/uu«—10 μεσημβρινός om. 20); efr. p. 22,17 ἐστι] om. 3,24; p. 68,7 ; P] x P 8,6; p. 68, 13 ἄρα] om. 3,6; p. 56,22 K H] KH περιφέρεια 3,6. e cod. 24 descriptum esse cod. 20 locis demonstratur, quales sunt p. 64,3 αἱ (pr) — 4 MN] ἡ uiv EA τῆς (c add. 20 m. 1) EM, ἡ δὲ ΚΑ τῆς (g add. 20 m. 1) MN 24, 20; p. 66,9 ἄρα] om. 94, 20; p. 94, 22 ἐπί — 95 διελϑόν] ἐπὶ εὖ Θ παραγίνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ A ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A τὴν BA (AB mg. 94) περιφέρειαν διελϑόν mg. 94, 20; p. 189, 21 ὁμοία] om. 34, 20; p. 145,17 τοῦ] τῆς 24, 20; p.149, 29 πέντε] om. 24, 90; p. 152, 10 τοῦ] τῶν 24,920; 15 τῆς ---Σ] om. 24, 20. e codice 3 cod. 7 quo- que fluxisse videtur; nam licet Vat. non interpolatum sequi soleat, contra eum ἃ codice 3 stat p.936,12; 106,15; 112,8; 114,13; v. supra. demonstrationem alteram prop. XIV et scho- lium nr.126 non habet. ex ipso cod. Vat. interpolato oriundi sunt codd. 21 et 322. nam longe plurimae interpolationes correctionesque m. 2 et m. rec. eius in textu utriusque deprehenduntur, velut p. 10, 22; 86,10; 58,7; 72,16; 80,8,10,11; 92,14; 98,10 al. e codice 11 (v. infra) descripti esse non possunt, cum contra eum cum m. 1 Vat. praebeant p.92,3 αἱ et p.102,12 φανερόν. e cod.?22 de- scriptus est cod. 30; his enim locis concordant soli: p. 20, 2 ἔσται] om. 22, 30; p. 32,9 Z] II 22,80; p. 38,18 λέγω —20 φαί- νεται) om. 22,30; p.60,3 ἡ] τό 22,30; p.78,8 ἴσω] ἀνίσοις 22,30; p.114,16 τῷ H] om. 22,30; p.155,6 μή] om. 22,30. scholia atque in iis lemma ('eig τὴν 1^; om. ᾿“λῆμμα᾽) in fine Phaeno- menorum coniuncta habent; idem est scholiorum titulus (σχόλια εἰς Εὐκλείδου φαινόμενα), eadem subscriptio (τῶν σχολίων τέλος καὶ ϑεῷ δόξα). in scripturis quoque scholiorum cod. 30 facit cum cod. 22, velut p. 149,5,14; 150,6,7. transcripta autem sunt scholia in codicem 80, postquam cod. 22 correctus est; v. p. 148,2 ὥστε ὥστε] ὅταν 922, ὥστε 30; ib. post τοῦ cod. 22 add. πόλου punctis infra notatum, om. 30. sequuntur codd. 11,12, 8, 9, 29, 35. horum codicum, qui schol. nr. 122 in textu exhibent omnes, antiquissimus est cod.11, ex quo interpolationes correctiones- que et m.2 et m. rec. cod. Vat. repetitae sunt. e codice 11 de- γρ. ᾿φανεροῦ πόλου scripti sunt codd. 12,8; v. p. 12,19 φανεροῦ πόλου] ἀρκτίνου PROLEGOMENA XXIX D p.92,8 ἡ] 11,12,8; αἱ Vat; p. 112,12 καί] ἤ 11,12, 8; .148,6 ἀπό —'1 ἀπονεράψοῦν} ἀπεχουσῶν ἀφ᾽ ὁποτερασοῦν τῆς αφῆς 11,19,8; cod. 12 a cod. 11 rarius recedit; v. p. 12,19 φανεροῦ. πόλου] 12, de cod.11 v. supra; p. 78,5 Aigixtign) 12, Ϊ χειμερινὸν. σημεῖον 11; p.102,5 αὐτῷ] 12, αὐτοῦ 11; p.118, 19 X] 12, ΞΕ 11. quibus locis cum cod. 29 contra eod. 11 cum '&od. 12 consentiat, ex hoc descriptus esse arguitur. cod.8 p.18, | 16 novam incipit propositionem; in lemmatis scripturis conspirat "eum cod. 26, quocum figuram omittit. scholia ex pluribus fon- | dibus hausisse videtur!); in scholio nr.63 haec est scripturae | differentia: p.140, 7 ἤ] om. 8; 8 δύνεται] δύεται 8; 10 τῆς ΝᾺ ἢ ὁμοία 8. codicis 8 apographon est cod.9. nam eundem prae 88 ferb ordinem eosdemque numeros propositionum. cum eo ) 18, 16 novam propositionem incipit, demonstrationi alteri opositionis VI inseribit “ἄλλως τὸ αὐτὸ ἕκτον" scholiumque jr. 111 in textu habet. ubi cod. 8 a Vat. distat, cod. 9 illum sequitur, velut p.34,6 κύκλου] om. 8,9; p.88,12 post μείζων -add. ἄρα 8,9; p.110,4 τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει] ἐξαλλάσσει τὸ ἀφα- γές 8,9; p.110,9 τὸ φανερὸν ἐξαλλάσσει] ἐξ. τὸ q. 8,9. etiam ἶπ scholio nr.117 eadem scripturarum discrepantia deprehen- "ditur: p.150,20 ἀπὸ τοῦ ιε΄ ϑεωρήματος] ἀπὸ τῶν is (sic) ϑεω- μάτων 8,9; 24 ἴσοις] ἀνίσοις 8,9; 25 ἴσου] i£ 8, 9. scholium .63 cod. 9 non habet. eiusdem classis est cod. 35, qui quidem interpolationes ceterorum habet omnes. sed a nullo eorum de- Scriptus est. nam p.16,1 pro ὃ scr. ἡ et K 4 — μεσημβρινόν omi- it lac. relicta itemque p.44,8 K«oxívov. p.16 conclusionem Ldta praecidit, ut lin. 27 ἐν (pr. — 18,8 ἀνατέλλουσιν omittat. cpraeter lemma (mg.) habet scholia nr. 63, 95 (p. 145, 18 ὡς ἡ Ξε m.), 106,123. in scholii nr. 63 scripturis cum cod. 3 (C) congruit. ΠΟ eodices 5, 17,18, 19, 23, 26, 27, 28, 31, 32, 84. singularis classis |.sunt atque eius dux sine dubio est cod. 26, ex quo ceteri deri- '—wali esse arguuntur eo, quod cum eo oreiktank p. 98,19 ἐπεί, p. 106,4 ἀεί (in 28 add. m. 2), p.112, 2 ἐν -— 4 διρισές; scho- lium nr.100 p. 76,17 post £ori» in textu scholiaque nr. 127, 128 129 inter demonstrationes propositionis XIV habent; cfr. etiam p.2,22— 923 ἐπί (pr.)] ἀπό 26,5,17,19, 23, 27,28; p. 6,16 ἐκ- πίπτων 26,5,11 (ἐμπίπτων m. 2), 27, 28 (eorr. m. 2), 32, PRESE 23; p. 16,6 ἡ δέ (Vat.)] τὰ δή 26, δ, 17 (τὰ δέ m. 2), 31, 28 (corr. m. 9), τὰ δέ 93; p. 22, 22 κύκλος]. om. 26, 5,17, 19, 23, 21, 28, 81: 1) codd. 11, 12, 29 scholia margini adscripta non habent. ΧΧΧ PROLEGOMENA —— νος - p.24, 94 τὸν ἀεὶ φανερὸν κύκλον 236, 81, 84: p.34, 6 κύκλου] om. 20, ὅ, 11, 28, 27; p. 34, 27 ἄρχτους — 38 δύσεσι] om. 26 (ἄρχτους μεϑιστάμενος lineola del.), 5, 17, 18, 28, 27 (ἄρκτους del. et supra μεσημβρίαν), 98 (— 26), 31; p.46,29 44 — ὃ (sec.)] om. 26, 17, 19,93,27,81; p.50,2 αὐτῷ] αὐτῶν 26,5,17 (corr. mg.), 19, 28, 84 (v punctis del); p. 70, 11 zó &] om. 26, 17 (add. m. 2), 19, 27, 32, 34; p. 74,4 σημεία — 5 M] om. 26,17,19, 23, 27,28; p. 92,10 ἡ] om. 26, 5,17,18,19, 32; p. 94, 13 ἀρξάμενον — 14 H] om. 26, 19, 81, mg. m. 2 add. 26, m.1 19,31; p. 118, 10 ὃ χρόνος ἐστίν] bis 26,19,27,28 (corr. m. 2); p. 118,19 τῇ EX] τὴν ΘΧ 26,5, 17,18 (τῇ), 19, 28, 34; p. 130,8 τροπικός] om. 26, 5,28; p. 154, 7 ἐν ᾧ] om. 26, 17 (£v — lin. 10 δύνει), 19, 97, 34; p. 154,33 ἐν — ἀνατέλλει) bis 26 (alterum linea subducta del. m. 2), 19 (— 26), 98, 32; librarius codicis 81 repetit ἐν πλείονι, deinde errore in- tellecto pergit ἤπερ ἡ K.4 κτλ. praeterea v. p. 22,18 τῷ] τη (sic) 26, 31; ὁμοία] ὁμοίως 26,19, 23, 31; p. 28,7 ὁμοίως] ὁμείως 26,81; p. 94,13 ἐναντίας 26,5,81. cod.27 eadem scholia praebet, quae cod. 26, in iisque easdem scripturas, velut p.135,927; 141,1; 142,7; 144,20; ea omittit, quae p. 150,23 in cod. 26 evanuerunt. ex illis seripturis intellegitur, codices 5,17, 19, 27, 238, 81 co- dicem 26 tam fideliter sequi, ut ex eo ipso descripti esse vi- deantur; de codice 34 dubito. codicem 17 scripsit Petrus Ver- getius et correxit Angelus Vergetius patruus!) atramento rubro; v. praeter locos supra adlatos p.12,25 csí(pr.) add. mg. φαι- vou£vov ἤ 11 m. 9; p.28,6 δύνει — 7 πρότερον (alt.)| om. 17, add. mg. m. 2; p. 34, 16 δύσεσι] ϑέσεσι. 17 m. 2; p. 58,3 ἐπ᾽] ἀπ᾽ 17 m.2; p.63,13 τόν] τῶν 17, τόν mg. m. 2. Angelus autem Vergetius scripsit codicem 23, ut testatur ipse in pagina ex- irema, atque eo munere non solum libere, sed etiam neglegenter functus est, velut p.2,3 post τά (pr.) add. μέν; p. 8, 22 om. ἐπὶ δύσιν; p.16,6 post O K add. περιφερείᾳ ; om. p.406,2 ἔστω, p.54,3 ἄρα, p. (0, 11 παραγίγνεται, p. 12,5 τῇ E M* ἴση; p. 82, 12 post ᾧ add. χρόνῳ; p.90,18 post H4 add. περιφέρεια: p. 92,8 om. ὅτι; p.94,16 pro τῷ χρόνῳ scr. χρόνος: Ρ. 90, ὅ post ἡμισφαί- ριον add. τουτέστι ἡ ΚΝ; p. 96,6 om. δή: p. 110, 2 om. ἐν i6o χρόνῳ; p.112,11 pro ἀφανές scr. φανερόν; p.120,83 post ΚΗ add. περιφέρειαι; p. 146, 9 pro καταγραφῆς SCr. κατασκευῆς. scholia nr. 2 et 111 in textum recepit. nonnullae figurae in 1) De duobus Vergetiis v. Omont, Fasc. de mss. gr. des XV et XVI s. nr. 2 et 46. eod. 38 aliter perceptae et delineatae sunt atque in ceteris codicibus. cod.18 e codice 31 descriptus est; nam his maxime locis contra codicem 26 concinunt: p.8, 24 ἀποδεδειγμένων] 26, αὐτὸ δεδειγμένων 91,18; p.934,26 δύσεσι] 26, ϑέσεσι 81, 18; p.50,2 αὐτῷ] 31,18, αὐτῶν 26; p. 58,3 ἐπ᾿} 26, ἀπ᾽ 381,18; p. 10,11 τὸ s] 31,18, om. 26; p.154,7 ἐν à] 31, 18, om. 26. mon obstat, quod p. 34, 15 cod. 31,cum cod. 26 habet μεϑίστα- ται, cod. 18 μεϑίστηται. cod.32 propius accedit ad cod. 19 quam δὰ cod.26; v. p. 2, 5 αὐτά] 26, τὰ αὐτά 19,32; p.22,92 IIOP (alt)] IIP 26, TP 19,32. p.154,32 goóvo] 26, om. 19, 32. e cod. 32 sus eorum codicum, qui e cod. 26 pondosid de- Beriptus est, cum solus omittat p. 72,16 ὁμοίως — 11 δύνει. idem dicendum est de codice 5, qui omittit p. 90,13 ἐξαλλάτ- τει — 16 IL4 et p. 180,4 raten — ὅ τήν, quae ceteri habent. - familiae codicis 26 etiam codicem 33 adscripserim; cfr. p. 6, 16 ἐχκπίπτων 26,33; Ῥ. 6,11 ἔστι] ἔσται 26,38. suo Marte libras | rius om. p. 6,9 δῆλον — 10 ποιεῖ, scr. p. 6,13 ἐκ pro ὑπέρ, p. 8,2 ὑπὲρ γῆς ἄνω pro ὑπεράνω. Ῥ. 8, 34 ἐπί pro ὑπέρ, p. 10,14 iu δὲ ἠμετέρα ἡ xvÀ., om. p. 12,6 διὰ τῶν. restant codices. 1, 2, 4, 16. codicem 1 e nullo eorum codicum, quos enumeravi, exaratum esse, crebris omissionibus lacunisque comprobatur, velut omittit ac. rel. solus p. 18, 25 ὁρίζοντα — 20,1 καί; p. 32,16 40; p. 34, 12 μὴ usífov 5; p.02,14 ὁ HO; p.64,4 μέν; p. 10,16 τήν; p.90,18 7; p.94,11 PKO. est autem necessitudo quaedam inter cod.1 et codd. 2,4,16. nam cum eo omittunt p.32,9 δὲ LE; p.64, 4 AE τῇ EM; p. 66,1 φέρεται; p. 12,8 τὰς TH, HP. mec tamen ex eo possunt deseripti esse; cfr. praeter omissiones |eodieis 1 proprias p. 72,15 ἡ (tert.)] 2, 4, 16, καὶ ἡ 1; p. 76, 14 ἐπεί] 2, 4, 10, xí 1; p. 82, 19 HM] om. 1, Hom; 2, 4, 16; p. 98, 10 ΟΘῚ om. 1, O 0m. 3, 4.16. codices 4,16 autem e cod. 2 patet "originem ducere; v. p. 16, 6 ἡ δέ (v. adp. er.)] om. lac. rel. 2, 4, 6; p.42,5 αἱ (pr.)] om. 2,4; p. 18, 5 «ἰγοκαίρω (sic) 2,4,16; p.80,6 EOHZ] EZHOH 9,4; p. 82,14 δή] om. 2, 4,16; p. 154, 88 "s — ἀνατέλλει] om. 9, 4, 16. cod. 16 ex ipso cod. 2, non e eod. 4 descriptus esse videtur; v. p. 94,13 4H] 2,16, om. 4; lp. 94, 22 47] 2,16, om. 4. idem satis saepe peccat proprie, velut Ῥ. 36,12 μια ϑαλιον] ὅ 16; p.42,4 éxs( —5 Ν ΓῚ om. 16; p. 118,8 καί — 9 διαπορεύεται] om. 16; p. 154,82 δύνει] om. 16. et de codicibus quidem hactenus; videamus nune de testi- moniis. PROLEGOMENA XXXI d | XXXII PROLEGOMENA Í primus testis est Theodosius, apud quem in secundo de die-. bus et noctibus libro haec scripta sunt!): xol ἐπεὶ ὁ τοῦ XU πόλος μεταξὺ τῶν EZ, BA κύκλων ἐστίν, ὡς ἐν τοῖς φαινο-, μένοις δέδεικται, ὃ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὺ τῶν ἴσων τε καὶ παραλλήλων τοῖς ΕΖ, ΒΑ ἐστιν. cfr. Phaenomena prop. XIV rec. ἃ p. 90, 2—6, rec. b p. 88, 18 —19 c. figg.; Theodosii X est rec. ἃ EPO, rec. b KNZ; EZ rec. ἃ AE, rec. b ΕΖ: AB rec. à BI'K, rec. b BA. usus est autem, ut videtur, re- censione b, nisi forte suspiceris, verba ὡς ἐν τοῖς φαινομένοις scholiastae deberi atque interpolata esse. alter testis est Galenus qui *De placitis Hippocratis et Pla- | ionis" ed. Iwanus Mueller 1874 p. 655, 8 sqq. haec dicit: διὰ τοῦτο οὖν Εὐκχλείδης μὲν ἑνὶ ϑεωρήματι τῷ πρώτῳ κατὰ τὸ τῶν φαινομένων βιβλίον ἐπέδειξε διὰ ὀλιγίστων ἐπῶν τὴν γῆν u£- env εἶναι τοῦ κόσμου καὶ σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχειν πρὸς αὐτόν, ὃ οἱ μαϑόντες οὕτω πιστεύουσι τῷ συμπεράσματι τῆς ἀπο- δείξεως ὡς καὶ τῷ τὰ δὶς δύο τέτταρα εἶναι. Pappus, postquam in prooemio libri sexti p.474, 9—11 ed. Hultsch. dixit, in secunda Phaenomenorum propositione omis- I sum esse, quotiens zodiacus ad horizontem rectus esset, p. 594, 988qq. de propositionibus II, XII, XIII disputat. primum de prop.1I haec legimus: ἐπὶ τοῦ β΄ ϑεωρήματος τῶν Εὐκλείδου φαινομένων παρεῖται καὶ διὰ τῆς ἀποδείξεως, ἐὰν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἦ ἢ ἐπί τινος αὐτῶν, ποσάκις ὃ ξωδιακὸς πρὸς ὀρϑὰς ἔσται πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ. διὸ ἀποδείξομεν ἡμεῖς ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ πόλος τοῦ ὁρίξοντος ἐπί τινος τῶν τροπιχῶν ἢ, ἅπαξ ὁ ξῳδιακός ἐστιν ὀρϑὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ, ἐὰν δὲ μεταξὺ τῶν τροπικῶν, δίς. adparet igitur atque exstat, in eo Phaenomenorum exemplari, quod Pappo δὰ manum erat, alteram partem protaseos propositionis II (p. 12, - 19—23) et demonstrationem p.20,6—922, 25 defuisse atque post eum interpolatas esse.? tum apud Pappum p.598, 21sqq. haec 1) Verba Theodosii deprompsi ex schedis Hultschii, qui eius scripta astronomica e cod. Vat. Gr. 191 descripsit. cod. propo- sitionum numeros non habet; v. Auria Theodosii Tripolitae de diebus et noctibus libri duo. ... de Graeca lingua in Latinam conversi, Romae 1591, p. 82 prop. X; ὡς ἐν τ. φ. δέδ. Auria omisit. 2) V. A. Nokk, Über die Sphürik d. Theodosius 1847 p. 18 sq. et Euclids Phaenomene 1850 Ῥ. 48 8ᾳ.;: Heiberg, Studien über Euclid p. 4784. E ils PROLEGOMENA XXXIII sunt: ἐπὶ δὲ τοῦ ιβ΄ ϑεωρήματός φησιν ὃ Εὐκλείδης “τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν μεγίστοις αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ χρόνοις αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ" - ξητεῖται δὲ διὰ τί περὶ μὲν τῆς χατὰ δύσεως τούτων τῶν περιφερειῶν λέγει, περὶ δὲ τῆς ἀνα- τολῆς οὐκέτι. iam quaeritur, utra recensione Pappus usus sit. ac memineris velim ?), in recensione a prop. XII de arcuum ortu nihil demonstrari, in recensione b vero diserte ostendi, arcus ab aequinoctiali aequali intervallo distantes aequali tempore - oriri. inde forsitan quispiam concluserit, Pappum recensione a - usum esse. at p.606,12sqq. ipse dicit: ἀλλ᾽ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἑκάστη τῶν HQ, €$O, OX ἑκάστῃ τῶν BM, MN, ΝΕ (arcus sunt zo- diaci) ἀνατέλλει, ἡ uiv H9, τῇ BM, ἡ δὲ 390 τῇ MN, ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΝΗ: τοῦτο γὰρ καὶ ἐν τῷ στοιχείῳ δέδεικται. manifestum est igitur, illud. τούτων τῶν περιφερειῶν ad solam priorem partem protasis et demonstrationis referendum esse, ad verba p. 62, 9 hui. ed. ἐν ἴσοις δὲ κτλ. non item. notanda etiam est scripturarum discrepantia: p. 62,8 ἐλάσσοσι] b et Pappus, ἐλάσσονι ἃ; lin.9 ἴσοις] b et Pappus, ico a. itaque veri similli- mum est, Pappi exemplar Phaenomenorum habuisse recensio- nem b. denique de prop. XIII Pappus p. 600, 20 sqq. haec dicit: ὁμοίως δὲ καὶ ἱτοῦ μετὰ τὸν αἰγόκερώ᾽ φησιν “ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαν ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς, ἐν ἐλάττοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλα- χίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ". περὶ δὲ δύσεως αὐτῶν οὐϑὲν λέγει. ilud αὐτῶν dubitari non potest quin ad solam priorem spectet partem pro- positionis; in utraque enim recensione, in & p. 84,3 sqq., in b p.82,168sqq. demonstratur, arcus ab aequinoctiali aequali inter- vallo distantes aequali tempore occidere. quae cum ita sint, non est cur miremur, quod Pappus utroque loco verba protasis p.62,10 et 78, 3 καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν omisit; ea autem, qtae cum eo apud Euclidem desideramus, p. 620, 11 5Βαα. prae- misso titulo καὶ τὸ παραλειφϑὲν δὲ sig τὸ ιβ΄ καὶ vj? adiunxit. in demonstratione prop. XIII p. 080. 10 sqq. adfert Phaenome- norum prop. XI atque his quidem verbis: καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ i«' 1) Cfr. Heiberg 1. c. p. 488q.; Bjórnbo, Abhdl. z. Gesch. d. mathem. Wiss. 14 (1902) p. 70 sqq. 2) V. p. XXII. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. e XXXIV PROLEGOMENA Εὐκλείδου φαινομένων [ἐν ᾧ χρόνῳ] αἱ ἴσαι περιφέρειαι κατὰ διάμετρον οὖσαι ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει ἡ ἑτέρα δύνει, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα δύνει ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει ...") Marinus in Commentario in Data hui. ed. vol. VI p. 254, 168qq. haec de Euclide praedicat: πάσης γὰρ σχεδὸν μαϑηματικῆς ἐπι- στήμης στοιχεῖα καὶ οἷον εἰσαγωγὰς προέταξεν, ὡς γεωμετρίας μὲν ὅλης ἐν τοῖς ιγ΄ βιβλίοις καὶ τῆς ἀστρονομίας ἐν τοῖς Φαι- νομένοις. ἶ Ioannes Philoponus, Commentaria in Aristotelis Phys., post- quam de Theodosii Sphaericis et de Autolyci Sphaera mota disputavit p. 220,4 sqq. ed. Vitellj, de Phaenomenis haec addit: ἔτι τούτου μερικώτερα và Ἐῤκλείδου Φαινόμενα καὶ ἁπλῶς πᾶσα ἀστρονομία' ἐνταῦϑα γὰρ καὶ ἡ οὐσία αὐτὴ συνεπινοεῖται. οὐρανοῦ γὰρ κίνησιν καὶ ἡλίου καὶ τῶν λοιπῶν ἀστέρων προ- λογίζεται: οὐ γὰρ ἁπλῶς κίνησιν σφαίρας ἐπισκοπεῖ, ἀλλὰ τῆς ἀπλανοῦς ἢ τῆς Κρονίας ἢ ἄλλης τινός, καὶ τὴν σχέσιν αὐτῶν τὴν πρὸς ἀλλήλας. Theodorus Metochita Ὑπομνηματισμῶν ed. Kiessling p. 108 dicit: Εὐκλείδης... ἄἅπτεταί καὶ ἀστρονομικῶν ἐπισκέψεων et apud Satham Μεσαιωνικὴ βιβλιοϑήκη I Ῥ». ρδ΄ de Euclide: ἅττα τῷ ἀνδρὶ προσεξείργασται ὀπτικά τε καὶ κατοπτρικὰ καὶ δεδο- μένα καὶ τὰ περὶ τῶν κατ᾽ οὐρανὸν φαινομένων. testimoniis adnumerandi sunt duo scholia ad Autolycum de ortibus et oceas. adscripta, unum ad I, 12 p. 96, 22sqq. ed. Hultsch: ὡς ἐν τῷ ιδ΄ ϑεωρήματι περὶ τῶν φαινομένων, alterum ad II,1 p. 108,21 5αα.: διὰ τοῦ ιγ΄ τῶν φαινομένων. Ad Arabes Phaenomena cum ceteris Euclidis scriptis saec. X venisse videntur atque pars erant eius collectionis, quam libros adpellabant intermedios.*) Ishaicum ben Honein patrem sive filium, qui saec. X Elementa, Data, Optica interpretatus est, eandem operam Phaenomenis navasse, pro certo adfirmari non potest. sed id quidem constat, interpretationem saec. X ἃ Nasiredino Tusino saec. XIII recognitam esse; v. Haji Khalfa 1) Pappi scholiastam, qui ad VI p.532,27 adfert Phaeno- menorum prop. VI, errare ostendit Hultsch p. 1249. 2) V. vol. VI p. LIV not. 3. addo: Steinschneider, d. arab. Übersetz. a. d. Gr. Ztschr. d. D. Morgenl. Ges. Bd. 50, 1896; Suter, die Math. u. Astron. d. Araber, Zeitschr. f. Math. u. Phys. XLV Suppl. 1900. 3) V. Wenrich p. 182; Steinschneider XXXI p. 100; Suter p. 40. PROLEGOMENA XXXV Lexicon bibliogr. ed. Fluegel V p. 113 nr. 10289: 'Euclidis liber phaenomenorum, quem Nasir-ed-din recognovit. Alia exempla viginti tres figuras continent, alia viginti quinque' ; cfr. II p. 213 nr. 2496." Nieoll et Pusey bibl. Bodleian. codd. mss. orient. cata- log. II, 2 p. 260: *liber singularis Euclidis Phaenomenon Sphae- rae, cui schemata 22^.?) utra recensione Arabes usi sint, discer- nere nequeo; figurarum numerus codicum magnum in ea re pon- dus non habet. Phaenomena cum ceteris Euclidis scriptis primus Latine edi- dit Bartholomaeus Zambertus Venetiis 1505.*) in Phaenomenorum praefatione haec leguntur: *cuius disciplinae (scil. musicae) pri- - mordia quae Phaenomena sunt hoc est apparentia: cum Eucli- - des Megarensis clarissimus mathematicus mira indagatione con- - scripserit: opusculum illud hiis qui astrologiae disciplinam sibi - vendicare contendunt utile et scitu iucondum cum fortasse hisce - diebus ad nostras manus pervenisset: ne tanta utilitate studentes - earerent. Illud latinum fecimus': subscriptio est: *ex aedibus - patris XII Kal. Octobris in. XI II VI et XIX Elemento a re- conciliata divinitate". titulus: *Euclidis Megarensis philosophi Platonici mathematicique praestantissimi Phaenomena: ex tra- ditione Theonis Bartholomaeo Zam. Vene. interprete'. interpre- tationis fundamentum est cod. Mon. 361, cuius omissiones apud - Zambertum inveniuntur omnes. codicem Leidensem 7, quem ipse post Phaenomenorum interpretationem confectam e cod. Mon. descripsit, eum adhibuisse non negaverim; sed ubi is cum Mon. discrepat, hunc sequitur, non illum; v. p.34, 15 δύσεσι] - Mon., ϑέσεσι Leid., occasu Zamb.; p.58,8 ἐπ᾽ αὐτοῦ] Mon., ἀπ᾽ αὐτοῦ Leid. in ipso Zamb.; p.88,15 B4, EZ] Mon, EZ, BA Leid., ba, ef Zamb. 2.1558 Phaenomena brevissime demonstrata! cum Theodosio, Menelao, Autolyco Latine edidit Messanae Franciscus Mauroly- eus. habet hui. ed. propp. I— XIII, reliquas non habet. post prop. III est *additio duarum propositionum' et post prop. XI 'additio trium propositionum', quae sine dubio debentur recen- Sioni Arabicae. Maurolyci enim exemplar Arabicum, non Grae- . eum fuisse, rectissime iudicat Auria (v. eius Phaenomenorum 1) V. Steinschneider XXXI p. 99 sq. et Ztschr. d. D. Morgenl. Ges. 50 p. 17e 8sq.; Suter p. 151. : 2) V. Steinschneider X p. 469. 3) V. vol.V p. C II sqq., vol. VI p. LVI sqq. et p. XXIII4 e* XXXVI PROLEGOMENA interpr. praef. et p.73 scholium I prop. XIII) in fine autem ita - gloriatur: *sic Euclidis Phaenomena Theodosii et Menelai Sphaeri- corum adiumentis usi multa facilius quam author fecerat, de- monstravimus'. Maurolyci interpretationem repetivit F. M. Mer- sennus, Universae geometriae mixtae mathematicae synopsis (Parisiis 1544) p. 249—955. Dasypodius, qui *Euclidis omnes omnium librorum proposi- tiones? Graece et Latine edidit Argentinae 1571, in Phaenome- nis quoque scripturas habet codd. Marc. 301 et 302; usus est autem cod. 302; nam p. 78,5 praebet Aiyóxsoo (v. supra). ea, quae mutasse videtur suo Marte, omitto persequi. p. 112,8 no- vam incipit propositionem (x^). Post Maurolycum Latinam Phaenomenorum interpretationem edidit Iosephus Auria; titulus est: "Euclidis Phaenomena. Post Zamberti et Maurolyci editionem, nunc tandem de Vaticana Bibliotheca deprompta Scholiis antiquis et figuris optimis il- lustrata et de Graeca lingua.in Latinam conversa. A Iosepho Auria Neapolitano. His additae sunt Maurolyci breves aliquot annotationes. Romae 1591'. in praefatione Auria 'Graecum', inquit, 'exemplar nostrum manuscriptum cum omnibus exem- plaribus, quae in Vaticana servantur Bibliotheca, diligentissime contulimus, Scholia omnia antiquiora, quae in diversis annotata exemplaribus forte invenimus, latinitate donata suis proposi- tionibus annectenda putavimus'. sequitur Auria recensionem b; habet enim demonstrationes alteras, scholia 127,128, 129 textui inserta scripturasque m. 2 cod. Vat. (interpolationes m. rec. non habet) verba p.8,27 κόσμου ---10, 3 τόπον το hypothesi de- sumpsit e recensione à eodemque loco *praebet, quo cod. V. Graecum autem Auriae exemplar est cod. 22; omittit cum eo Ῥ. 38,18 λέγω — 20 φαίνεται; p.98,10 ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον (v. adp. cr.); p. 155,6 μή. non obstat, quod p. 20,2 pro ἔσται, quod cod. 22 omittit, habet est, licet aliis locis accu- rate interpretetur: erit, velut p. 12, 22; 14, 2, 4; 16, 2; 20,11 8].; est Auria addidit de suo. Gregorius in praefatione de Phaenomenis haec dicit: *in hoc edendo codices mss. diligenter contulimus, ut textus Graecus, qui nunc primo lucem aspicit, quam castigatissimus prodiret. hos codices perspicuum est fuisse recensionis b atque abundan- tes exhibuisse interpolationes cod. Vat. m. 2 et m. rec. in iis 1) Editionem a. 1609 non vidi. PROLEGOMENA XXXVII autem fuit cod. Savilianus 1, licet Gregorius eum non nominet. nam cum eo omittit p.129,9 ὅ et p.16,10 τό, scr. p.122,6 πλείονι pro πλείστῳ, scholium nr.122 in textu praebet. codicem Bod- leianum, ex quo scripturas discrepantes infra adfert, in biblio- theca Bodleiana non repperi; in codice enim Barocciano 161 plurimae earum non exstant nec Gregorius scripturas huius proprias habet. nonnulla credo eum suo consilio emendasse, velut scr. p. 12,11 οὗ pro καί et p.12,19 ἀρκτικοῦ pro qows- ροῦ πόλου; p.16,1 post Καὶ 4 add., ὁ ζωδιακός κύκλος (v. schol. nr.35); p. 16, 11 post 4 add. ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A καί; p. θ8, 8 ἀφῃρήσϑω ἡ yz: λοιπή hab. προσκείσϑω ἡ ys* ὅλη; p. 70,19 et - p. 72, 8 insolitum verborum ordinem mutavit, inconstanter p. 76, 5 et 9 non mutavit; scholii nr. 123 verba p.152,1 διά —5 48 uncis inclusa p.194,4 post περιφερείας in textum recepit. ad interpretationem Gregorius se usum profitetur 'versione Ios. - Auriae Anno 1591; at plurimis in locis emendata/. ea, quae emendasse sibi visus est, non plurimi aestimaverim. aliquoties - ÀAuriam. sequitur, contra sua verba Graeca, velut p. 78,8 ἐλα- χίστοις — ἴσοις Greg., minimo — aequali Greg. Auria; p.98, 15 post H K Greg. add. ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, in inter- pretatione cum Auria omisit. Germanice Phaenomena interpretatus est ἃ. Nokk (Friburgi 1850). nititur editione Gregorii, sed complures locos sine codi- - eum ope correxit, velut p.34,924 addidit vs; p. 68,3 Gregorii figura emendata pro eius προσκείσϑω --- ὕλη corr. ἀφῃρήσϑο — λοιπή: p. 80,11 add. καὶ δύνει; p. 82,1 Keoxívov] Nokk, Aiyó- xsoo Greg.; p.102,4 post σημεῖον add. τὸ E Greg., om. Nokk, - quae emendationes praeter p.34,24 et p.80,11 codicum auc- — toritate comprobantur. De seriptis musicis. Euclidem de musica scripsisse testes sunt Proclus, Marinus, Theodorus Metochita. atque apud Proclum in Comment. in Eu- - elidis Elementa (p. 69,3 ed. Friedlein) legimus: τοιαῦται δὲ καὶ αἱ κατὰ μουσικὴν στοιχειώσεις. Marinus autem in Comment. ad - Euclidis Data (vol. VI p. 254, 19 huius Eucl. ed.) “καὶ μουσικῆς - 0£^, inquit, 'στοιχεῖα παραδέδωκεν᾽. denique Theodorus Me- tochita Miscell. (p.108 ed. KieBling): Εὐκλείδης καὶ μουσικῶν ἅπτεται — £mioxfisov. iam quaeritur, quae intercedat ratio inter Elementa illa a Proclo Marinoque nominata et libellos XXXVIII PROLEGOMENA musicos, qui feruntur esse Euclidis. atque Introductio harmo- nica quidem Euclidi tribui non potest, cum auctor eius sit Aristoxenius, Euclides vero Pythagoreus. restat igitur Sectio canonis et altera exsistit quaestio, num Proclus et Marinus hune ipsum libellum appellaverint musicae Elementa et num Sectio, qualem nunc legimus, ipsius sit Euclidis. quamquam concedendum est, notionem στοιχείων sive στοιχει- | ὦσεως incertam esse infinitamque atque a scriptoribus varie usur- pari, tamen, si legimus ea, quae Proclus p. 72 sqq. de horum verborum disputat notione et ambitu, non sane crediderim, hunc libellum, quo partiuncula elementorum totius doctrinae musicae continetur, ab ipso Proclo appellatas esse τῆς μουσικῆς στοιχει- ὦσεις. ἢ neque aliter iudico de Marino. et ipse Carolus Ian (Mus. Gr. p. 118) haud dubius est, Euclidem alterum de musica librum scripsisse eumque illis musicae Elementis a Proclo et Marino significari. suspicatur autem, Euclidem ipsum, post- quam in illis Procli et Marini Elementis subtilius de sonis et consonantiis egerit, summam rerum in hanc Sectionem trans- tulisse. manes viri egregie mihi condonent, quod id nego veri simile esse. nam primum hoc genus translationis ab usu more- que Euclidis prorsus abhorret; tum vereor, ne iniuste et desti- nata iudicet sententia, qui sibi videtur opinari, Euclidem, quem quidem constat in omnibus scriptis exemplar subtilitatis esse et diligentiae, in excerpto ex aliquo libro suo minus subtiliter distincteque egisse quam in libro ipso; id si verum esset, sum- mus mathematicus existimandus esset aliquando parum sibi constans conveniensque alienissimam a se ipso personam in- duisse. sequitur, ut videamus, haecne Sectio sine ullo dubio Euclidi tribui possit. primum igitur inspiciamus codicum titulos, etsi non sum nescius, iis, nisi consentiant, non ita multum auctori- tatis esse tribuendum. ac mirum sane est, nonnullos codices Sectionem Cleonidi vindicare, cum in ceteris Euclidis seriptis omnes ad unum quod sciam in auctoris nomine congruant et 1) Miror, quod E. F. Bojesen in libello egregio *De harmo- nica scientia Graecorum' (Hafniae 1833) p.28 not. dicit, Cano- nis sectionem στοιχειώσεων nomine appellari apte potuisse, quia hoc libro musica theoremata non minus accurate composita et demonstrata continerentur, quam geometrica celeberrimis illis Elementis. PROLEGOMENA XXXIX conspirent. ita Neap. III C 2, Barber. Π 86 (v. Jan Mus. Gr. p. LXXIX), Vat. 221 (v. ib. p. 170 not.) libellum Cleonidi tribu- unt eique proprium titulum inscribunt περὶ φϑόγγων᾽ (Neap. in mg). atque Bonon. Bibl. Un. 2432 (v. Olivieri, Studi ital. di — fil elass. III p. 407sq.) et Riccard. 41 (v. Vitelli, Studi II p. 498) Introductionem et Sectionem ita coniungunt, ut videatur esse unum opus idque Cleonidi illi attributum. praeterea in cod. Regin. 108 titulus est: Anonymi κανόνος κατατομή. sed doctorum quoque virorum sententiae de auctore Sectionis variae sunt et discrepantes. ac primus quidem, quantum ego video, Sectionem Euclidi abiudicavit Gregorius, qui in prae- - fatione ad Euclidem *hiec tractatus', inquit, *nullo modo cen- seri potest ab Euclide scriptus, cum haec Sectio non nisi longo post Euclidem tempore primum innotuerit nullaque huius ex- stent vestigia in quoquam scriptore musico (quod scimus), qui sit antiquior Ptolemaeo'. contra Heiberg (Literaturgesch. Stu- dien üb. Euclid p. 52 sq.) et Susemihl (Gesch. d. griech. Lit. I p.717) Euclidi sine ulla dubitatione libellum adiudicandum cen- sent. Westphal autem (Metr. d. Griech. II* p. 232) dicit, Sectio- nem, licet alii auctori debeatur, tamen summo mathematico nequaquam esse indignam et Caesar (Grundz. d. gr. Rhythmik p. 28) eam adfirmat maiore probabilitate Euclidi adscribendam esse quam Introductionem harmonicam. disertissime vero Eu- elidis auctoritatem defendit Carolus Jan (Mus. Gr. p. 115 sqq.) . 80 duobus maxime nititur argumentis. primum igitur in libello . &it idem esse cogitandi genus atque in geometriae Elementis, eandem prorsus dictionem et demonstrationem, qua orsus ab ἔστω et ὑποκείσϑω auctor procedat per φημὶ δή, ut perveniat ad ἄρα illud conclusionis. at enim Heiberg (Studien p. 35 sq.) Procli testimonio nisus luculentissime demonstravit, universam illam demonstrandi formam iam ante Euclidem usitatam fuisse. itaque ex iis, quae Ian de hac forma disputat, concludere li- euerit, Euclidem Sectionis auctorem esse posse; ut sit, non sequitur; nec quisquam Catoptrica, quae falso feruntur Eucli- dis nomine, genuina esse arbitretur, quia ibi eadem fere illa demonstrationis via invenitur et oratio progreditur per illa ἔστω et ὑποκείσϑω et φημί vel λέγω. illud quoque animadvertendum est, a prop. 3 et ab omnibus propositionibus inde a prop. 10 trans- itum ad demonstrationem atque illud φημί vel λέγω plane abesse. accedit, quod in Elementis ullam demonstrationem frustra quae- siveris, quae similis sit priori demonstrationi propositionis XII. XL PROLEGOMENA etiam in rebus grammaticis mira quaedam in libello occur- runt. in iis numerandum est, quod particula ἄρα ter contra usum sermonis Graeci aetatis Euclideae collocata est, p.166,25 primo loco totius enuntiationis, p. 168, 9 et 25 primo loco apo- dosis; si quem forte iuverit, perversam istam particulae collo- cationem librarii culpae tribuere, huius quasi perfugii me non habebit socium. deinde offendor p.172,27 optativo cum ἄν, quem crediderim adscribendum esse auctoris varietati cuidam libidinique, quae ab Euclide sunt alienissimae; offendor deni- que p.176,23 particula ἄν et p.180,292 collocatione part. μέν. sed redeamus ad lanum. alterum argumentum, quo Euclidis auctoritatem servari vult, testimonium adfert Porphyrii, qui in Commentario in Ptolemaei Harmonica ter nominat Euclidem Sectionis scriptorem (v. Wallis, opp. math. p. 267, 269, 272).?) sed ne hoc quidem argumentum gravissimum est. iterum ad- fero Catoptrica, quae, licet a Proclo in Euclidis scriptis refe- rantur, tamen nostra aetate non facile quisquam Euclidi ad- iudicabit. sed utut est, lanum constat acerrimum esse originis Euclideae propugnatorem. ei vero ceterisque Euclidis patronis adversarius exstitit profecto haud contemnendus, Paulus Tan- nery, qui mihi videtur hanc quoque quaestionem tractasse acu- tissime. atque vir doctissimus statuit (Comptes rendus des séanc. de l'Acad. des inscr. et belles lettr. 1904 p.439 sqq.), proposi- tiones XIX et XX, quae in diatonieo genere versantur, contra- rias esse duarum propositionum proximarum, quae quidem ge- neris essent enharmonii, et inde colligit, illas posteriore additas esse aetate. contrarium illud esse non infitior atque hoc argumen- ium avide arripio; verum quod Tannery censet, priores duode- viginti Sectionis propositiones ante Euclidis aetatem compositas 1) De his locis v. adp. crit., de part. ἄρα posterioribus aeta- tibus initio collocata Blass-Debrunner, Gramm. d. neutest. Griech. p. 263 sq. 2) Quae ratio intercedat inter Sectionem, qualis in nostris codicibus tradita est, et exemplum, ex quo Porphyrius partem libelli deprompsit, et quae emendationes Porphyrio ipsi de- beantur, non prius potest discerni ac iudicari, quam codicibus collatis iusta editione fundamentum firmum iactum sit. equi- dem codice Monac. Gr. 385, quem nuper contuli, nisus rem per- sequi non ausim; id profiteri non vereor, in Porphyrii excerpto, quale apud Wallisium legitur, non pauca reperiri, quae digna eerte non sunt Euclide; v. infra p. XLVIII. * PROLEGOMENA XLI 6886, quoniam ibi tres propositiones arithmeticae ad demon- Sirandum adhiberentur, quas in Euclidis Elementis frustra quae- reres, a me impetrare non possum, ut ad hanc opinionem acce- | dam. nam has propositiones perspicuum est quibusdam propo- sitionibus Elementorum vel simillimas esse vel ex iis facile | derivari?, ut Euelidem ipsum eas in hoc libello adhibere non sit quod miremur. quod autem Tannery probare studet, Era- gibenis aetati duas postremas propositiones deberi, et doctri- iem viri sollertissimi admiror neque ignoro, τὸν πένταϑλον haec oque studia amplexum esse, sed non probe intellego, quid impediat, quominus Euclidis aetati atque adeo Euclidi ipsi eas B Eiribere liceat.) adde, quod, si propositiones illas longe alii "aetati tribuerimus atque eas, quae antecedunt, caputque, ut ait "poeta, absciderimus calido viventeque trunco, id quod Tannery 3 se quoque secundum suam quidem causam profert, absurdum est inscribere Sectionem canonis. aliud denique aliquid, quod Tannery ad opinionem suam stabiliendam adseverat, multum "habet dubitationis. in demonstratione enim propositionis X ?) uclidis errorem arbitratur se deprehendiase atque eum ait pro | postulato quodam prooemii huius postulati adhibuisse inversio- mem, quae plane esset absurda. quod si ad verba p. 170, 28 sq. et p. 158, 29 sqq. referendum est, fateor, errorem et inversionem illaàam me non reperire et Euclidem mihi videri conclusisse E ᾿ς populari illustri non sine modestia et verecundia adversatur |* E. Ruelle, Revue des ét. Gr. XIX (1906) p. 318 sqq. atque uctoritatem Euclidis, eui ipsum prooemium attribuere non dubi- t, ita defendit, ut libelli summatim explicet argumentum. qua uidem explicatione, quamvis perspicua sit et dilucida, tamen on video, quomodo Tannery refelli censendus sit. et quod Ruelle in fine explicationis dicit, genus enarmonium et chro- ᾿ aticum similiter tractari posse atque diatonicum, vereor, ne | vir diligentissimus difficultatem magis praeteriisse quam supe- E Tasse videatur neve contrarium illud ita non tollatur aut in- [ l fringatur. | | | Ϊ 1) V. Heiberg 1. c. p. 583 not. 2 et p. 161, 171 huius voluminis. . 9) Numerorum doctrinam iam ante Euclidem simili quadam "υἷα et ratione atque in Elementorum libris VII— IX tractatam loeo Tanneryio facile concesseris; v. Heiberg l. c. p. 33 sq. 3) II apud Tanneryium error est typographi. | ——— XLII PROLEGOMENA l ne plura, suo quisque utatur arbitrio; equidem profiteri. ausim, Sectionem, qualis in manibus nostris esk, non ipsius esse Eu-. clidis ac potius ex plenioribus illis musicae Elementis, quae. Proclus et Marinus commemorant, ab homine non admoduall sagaci diligentique petitam esse et excerptam. quod autem. nomen suum titulo non addidit, nemo erit qui mirabitur. | Deinceps videamus de libellorum codicibus. ex iis, quae Ian in Prolegomenis de codicibus MNBW eoru que cognatione fuse et accurate disputat, hic repetere libet, il- los ex eodem archetypo. manasse omnes atque M principem esse et aetate et dignitate, N vero proprium eumque egregium libel- lorum Euclideorum fontem, cum N autem artiore necessitudinis: vinculo coniunctum atque fratrem eius vel consobrinum. codi-. cem W denique Ian optimo iure dicit in Sectione aut ipsum aut. eius archetypum e codicis M propinquo quodam originem du- cere, in Introductione contra ab M optimis lectionibus disce-: dere.) quod cum ita sit, tamen ex iis non sum, qui W potiorem esse censeant codice M. cum e cod. Marc. 32, membr. s. XV (Ὁ), pro quo Ian Lipsien-: sem 25 (L) in Introductionis adparatum substituit, magnum nu-. merum codicum fluxisse constet (v. lan p. LXXXVI 8qJ), scrip- turas eius ab Iani scripturis discrepantes adferam, iis, quae in. U supra vel mg. rubro colore scripta sunt, stellula adposita et. addito (W), ubi W cum U congruit: p.186,1 vs] om., item lin. 3 (W) 2 δέ] δέ ἐστι (W) 38 sát τῶν ΘΘΕΜΑΡΕΝ τῶν δον (W) p.188,8 τιϑεῖσα] τιϑεῖται (810) 4 μετα- βάσεις] διαστάσεις μεταβάσεις (W 3) ὅ τὰ δέ] δὲ τὰ (W) 6 ἐπί- τασις δέ ἐστι καὶ ἄνεσις τὸ ἀποτέλεσμα δὲ (δέ) τούτων ὀξύτητι καὶ βαρύτητι; supra: ὀξύτης καὶ βαρύτης" (cfr. W) 12 αἱ] om. 18 καϑαπτῶν] καϑ' αὐτῶν (W) ».190, θ τρίτη] supra*; in textu: 1) Postquam cod. W nuper Romae iterum inspexi, nonnullis eius scripturis Iani adparatum auxi (v. p. 168, 29; 170, 26; 186, 3, 4; 188, 3, 6; 190,18; 199, 26, 99; 196, 20; 200,14; 202,14; 204, 23; 206, 12,13, 17, 20; 208, 28; 212,18, 18, 22; 214, 11, 22, 24; 216,4, 19; 218,3); alias et ipse cum Iano omisi ac sunt quidem hae: p. 158,8 μέλει p.188,2 κινεῖται) κι — ins. m. 2. 192,12 £veouóviog] om., item p. 194; 12 p.194,13 παρανήτη] νήτη id cm 14 ᾿διάτονος] om. 91 ἑστότες p. 200,1 - ἀνάπαλιν 16 ἢ χρώματος καὶ ἁρμονίας] om. 27 μία] uev Ῥ. 314, de de τό. 9) In adparatu errore omisi. PROLEGOMENA XLIII ψητη (W) p.192,7 λιχανὸς ὑπάτων) in ras. $8 μέσων] — co»* | gupra, in textu μέση (W); item lin. 9, 10 ante lin. 12 add. in ras. λιχανὸς συνημμένων ἐναρμόνιος (W) 14, 15, 16, 28 hab. lectiones codicis W. 11 ἐναρμόνιος] om., item lin.19 26 λιχανός --- 29 u£- 60»]| mg. m. 1 (j*); in textu: ἐναρμόνιος, λιχανὸς ὑπάτων διά- Tovog, ὑπάτη μέσων χρωματικὴ λιχανὸς ὑπάτων p.194,11 τρί- τη — 18 χρωματική] mg. m.1; in textu: νήτη διεζευγμένων, παρα- ψήτη διεζευγμένων, τρίτη ὑπερβολαίων χρωματική (W) | 94 κινού- μενοι — 26 τάσεως] mg. m.1 80 oi] οἱ δὲ οἱ (of δὲ oi) (W) μ 196,9 παρυπάτη] παρ — 18 παρανήτη — 19 παρανήτη] in | ras. 19 χρωματική) in ras., item lin. 20 20 oi δέ — 23 διά- | τορος] om. 26 σύνϑετα!) ἀσύνθετα p p.198,1 post óírovov add. | τριημιτόνιον τόνος] τόνος καὶ τόνος ὃ" (W) post ἡμιτόνιον add. ᾿δίεσις 9 πάντα (alt.)| πέντε" ἐλάττω] ἐλλάττων 10 post τόνος -add. τριημιτόνιον 14 ὥστε μὴ κραϑῆναι] μὴ ὥστε ἢ καϑαρϑῆ- yu. 19 ante μέσης add. ὑπάτης p. 200, 17 7] χρώματος καὶ &o- μονίας] om. (W?) 19 φϑόγγων τόπους (W) 20 διεσιαίῳ] δε- ᾿ σίῳ (W) 21 ἑτέρου] ὀξυτέρου 322 τετράχορδον] --- ων 28 μέν] μέση p.202,1 αὐτοῦ] αὐτῇ post διαιρέσει add. τῇ αὐτῇ 2 καί || — 6 δίεσιν (pr.)] mg. m.1 6 ante τριτημόριον add. τό" τό] om. ΟΠ post τρίτῳ add. ἀσύνϑετον διάστημα mg. add. m. 1: γράφεται xal οὕτως" καὶ δίεσιν τὴν ἡμίσειαν ἡμιτονίου τόνου τὸ διὰ πέντε χαὶ τὴν ἴσην τόνῳ καὶ τὴν τετάρτην, τὸ δὲ ἡμιόλιον κατὰ δίεσιν x«l δίεσιν. ξ μὲν ἡμιτονίων σύνϑετόν ἐστι διάστημα" τρὶς γὰρ ξ καὶ κ καὶ α (cfr. W) 9 ἑπτὰ διέσεων τεταρτημορίων 10 χρόᾳ κέχρηται χρόᾳ 12 κέχληνται (W) 14 σύνϑεσιν)] συνϑέσεως 1 ἐν- φῳπαρχουσῶν] -όντων διεσίων] διάσεων 11 post ὡσαύτως add. ᾿ καί (W) 32 καί] καὶ κατά (W) p.204,1 δι᾽] om. 16 post συμ- φώνου add. καὶ διαχφώνου p. 206, 10 post συνημμένον add. κα- ἔστι.» ' ἀρ m " λούμενον 11 πρῶτον γραφῶν τὸ διὰ τεσσάρων 18 post διὰ τεσ- σάρων add. πέμπτον τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, ἕχτον τὸ δὶς - διὰ πασῶν (W) 20 συγκειμένων () 924 ὑπό] ἀπό p.208,8 τό- - voi] τονιαῖα 14 πρῶτον ἐπί] μέσον τῶν τόνων μέσον] πρῶτον ἐπὶ τὸ ὀξύ 15 ἔστι] ἔχει ante γένεσιν add. τήν 925 τέταρτον δέ 21 προσλαμβανομένων Ὁ. 210,1 ἐπὶ τὸ βαρὺ κεῖται] om. 2΄ τρίτον — ὀξύ] om. 12 ἀπό] ὑπό 26 λοκριστί] λοκρικόν, 1) Ita scripsit librarius secutus codicem W, sed συνϑέτων (W) . pro ἀσυνθέτων scribere neglexit. 2) Cum Iano in adparatu omisi. XLIV PROLEGOMENA supra -στί" (W) 80 πρῶτον] ἕβδομον p.212,2 τρίτον] τέταρ- τον (W) 8 πρῶτον] δεύτερον (W) ὅ τρίτον] πέμπτον 6 καί] om. (W) 18 διὰ τῶν] om. (W) 26 αὐτῇ] αὐτά 26 νητῶν] om. (W) 927 αὐτῇ] αὐτά, item p.214,2 p.214,4 αὐτά] αὐτήν ΟὟ) 8 νήτην] νήτη» 11 τῷ] τό (W) 19 διορίζεται] ὁρίζεται 21 ἀμε- ταβόλῳ] ἐμμεταβόλῳ 38 ἑκατέρῳ] ἑκατέρων (W) p.210,3 &za-| ϑῆ ὄντα] ἀπαϑοῦς ὄντος (W) 4 ij (pr. --- τόνον] ἤτοι σύνθετον, ἤ (W) 6. ὀξυτάτῳ] -οὐ ἤτοι (alt.)| ἤ (W) 18 λύρα] τήνδε, 20 σ᾽] οὖν (W) 25 τόπος ὅταν λέγωμεν φωνῆς p.218,5 ózso-| τάστιος] ὑποιάστιος 6 ὑπερδώριος] supra ὑποῦ (W) 1 ὧν ὁ fla- | ρύτερος] om. 9 ὀξύτερος — 10 καλεῖται] ὁ μὲν βαρύς, ὃς xol. ἰάστιος, ὁ δὲ ὀξύς 10 ante ὑποδώριος ins. και 19 ἡμιτόνιον]Ἵ τίῳ p.220,10 δ᾽ δ᾽ αἱ μέν μέν — 12 ἐμμελεῖς] om. 14 ὅσαις}. ὅλαις 22 διασταλτικοῦ) διαστηματιχοῦ 234 διασταλτικόν] δια- στιματικόν Ῥ. 222, 1 μερῶν τῆς ἁρμονικῆς καὶ ὑποκειμένων] mg. m.1 11 τῶν] τῶν τε 17 ἡ (810). e Sectione, quam me ex U non - excussisse queror, Ian notavit: p.160,10 τόν] τό (W) 11 πολλα- πλάσιον Ῥ. 102, 12 post μετροῦνται add. εἐβιγ (W) 18 HZ] H | del.* (W) καὶ ἐπεί] supra (yo.)* (W) 15 4H] H del.* (W) - post ZZ mg. yg. (ÓLELO* (W) p.166,11 τοῦ (pr. — 12 B4]. om. 20 ΑἹ supra * p.174,9 δή] δέ p.176, 21 óírovoc] Oid- | torog Ῥ. 180, 81 μέσων] corr. ex μέσον ἢ. | ex scripturis adlatis efficitur, codicem W vel eius adfinem quendam in Rhosi, qui cod. U scripsit, manibus fuisse neque obstant loci ab Iano p. LXXXV adn. 3 commemorati neque alii complures (v. supra), quibus U ab W discedit. —— ex U quin L descriptus sit, dubitari non potest; concordant in textu his maxime locis ἢ): p. 186, 1, 2, 5; 188, 4, 5, 6, 12, 13; 190, 6; 192, 8; 194, 20; 196, 20, 26; 198, 1 (τριημιτόνιον), 9, 10, 14, 19; 200, 21, 23; 202,1 (αὐτῇ οὐ τῇ αὐτῇ), 6, 7, 12, 14, 17, 22; 204,16; 206,13, 24; 208, 3,14, 15, 25, 97; 210,1, 2,12, 26; 212, 2, 3, 5, 6, 18, 25, 27; 214, 4, 8, 11, 21, 23; 210, 3, 4, 6 (ὀξυτάτου), 25; 218, 6, 9, 19; 220, 10, 14, 24; 222, 7, 11. memorabile est autem, L p.220,20 contra U praebere rectissimum illud διασταλτικοῦ. quae in U p.192, 26; 194, 11, 24; 202,2; 222, 7 mg. m. 1 colore nigro scripta sunt, in Lipsiensis textu leguntur; ex iis, quae in U colore rubro correcta sunt, in Lipsiensis textu deprehendun- Gur scripturae p. 196, 9; 200, 22; 202, 6, 12; 204, 8; 206, 11; 1) Scripturae cod. L Iano debentur. PROLEGOMENA XLV | 218,16; reliquas in L non reperies. ceterum suspicor, librarium | codicis ἡ οὗ ipsum in consilium advocasse cod. W vel propin- | quum eius; habet enim mg. p. 198, 1 διάτονον: 200,21; ἑτέρου: | 202,9 aísdecóv ἐστι διάστημα post διάστημα add. τρὶς καὶ ἑπτὰ | sixoc. καὶ £v; 208,8 τόνοι, quae absunt ab U; fortasse etiam E 1 mg. τόνοι τόνου (τόνου mendum librarii) ex W, non |ó cod. Monacensem 104, chartac. s. XVI ex filiis cod. U natu | minimum esse non negaverim, verum idem dico fideliorem eum Ϊ esse quam L. nam contra L cum U consentit in textum receptis "etiam iis omnibus, quae in U supra vel mg. correcta sunt, .188, 3; 190, 6; 192, 8; 194, 30; 198,9 (πέντε πάντα); 200,19, ; 209, 15; 204,19 δὶ ipustefdtob U Mon., om. L); 206, 17 àv [pr.] U Mon., καὶ τῶν Τὴ, 20; 210, 26, 80; 914, 8,19; 216, 6 τοι [alt.] L, ἢ U Mon.) 18, 20; 218, 5, 7 (ὅς. quod pro óv ó αρύτερος hab. L, om. U Mon.), 10; 220, 99. in Sectione p. 162,13 ZL,ZUMon. καὶ ἐπεί U Mon., om.L p.166,20 4] U Mon., upra L. eiusdem familiae (U) sunt codd. Vatt. Reg. 94, chartac. s. XVI E. Urbinas 77, chartac. s. XVI!) in Sectione quidem adfinitatem »eum Monacensi ostendunt αὐτο communes p.166, 9 τεταρ- ᾿τομόριον 16 rob(pr)] om.: 19 τὸν ἥμισυν 22 τό] τόν Ῥ. 180, pt τόν] τό 38 ὑπερβολαίων] παρανήτη ὑπερβολαίων 34 post í add. ἐν v (y? Mon. Τ᾽, 94 mg. m. 2 ἑνί) 31 I'P] P c. signo del. et supra nr. 1 O Mon., 94, 77: O. figurarum quoque linea- enta litteraeque in 94,77 eadem sunt atque in Mon. praeterea 94 p.162,12 post μετροῦνται: εἐβιγ (Ὁ) 18 mg.: yo. καὶ ἐπεί ol. rubro (U) p. 176, 21 δίτονος] διάτονος (U), « m. 1 del. p.180, 26 καί] in textu om. (U), supra add. m. 1 31 μέσων] μέσον (U). atque his quidem locis praeter p. 180, 26 cod. 77 €odicem U non sequitur; ad W autem non minus quam Mon. -L'eorrectus est p.162,13 ΗΖ (H om. W) Mon. 15 AH] H om. W, | .punctos del. Mon. etiam in Introductione 94 proxime accedit "eod.U, quod demonstrant scripturae communes p.190,6; 194,30; 198,1 9 πάντα] πέντε supra Ὁ, πέντε πάντα 94; 200, 21; 202, 10,12. 77 vero, licet cum Ὁ p. 208,16 addat elt, non pateis '— locis ab eo discedit, velut p.194,30; 198,9,9; 200,21. mirum gest; quod p. 220, 22 solus cum L praebet διασταλτικοῦ iliud, cum . 1 IE ———————— —— πα. τ΄ 1) De hoc cod. v. Breslauer Philol. Abhandl. I, 3 p. 127sq. e—— " XLVI PROLEGOMENA j Mon. συχαστικόν (Mon. sig 6.) librario eod. 7? cod. V praesto. fuisse, docent scripturae, quibus 77 et V soli conspirent: p. 200, 20 δεσιαίῳω 26 γένος 202, 8 ἡμιόλιον — δίελιν om. 9. an διάστημα add. τό. ἢ denique cod. Vat. Reg. 169, chartac. s. XV ex U eiusve anti- grapho pendere ostendunt scripturae communes p. 180, 23; 188, 5 (δὲ v&), 13; 208,14; 218,5,6. pluribus autem locis ab U disce dit, quam codd. 94,77. quod p.164,10 solus rectissime scripsit τόν pro τό, 166, 2 δύο om. (cum M W), 188,15 solus cum W habet, δέκα καὶ ὀκτώ, 218,9 post φρύγιοι add. δέ, librarii coniecturae tribuendum arbitror. | restat, ut pauca disputem de ceteris codicibus ἃ me aut collatis aut inspectis.) atque initium facio a codice Vat. 291, chartac. s. XVI, quem contuli abhine multos annos. rectissime vidit Studemund, eadem eum manu scriptum esse ac B; utrum- | que ex eodem fonte derivatum esse, comprobatur his "maxime locis, ubi contra MW N *) eorumque progeniem vel in minutiis | concinunt ἢ): p.160,9 ἐγενήσϑω p.162," μέσοι οὐδεὶς οὔτε slg (B supra) * (V) 8 post πλείους signum obscurum et deinde (6x8 (B mg. cum signo omissionis)* (V) p.174,9 δή Ρ.118,30 διήλασιος, mg. διπλοῦς (V) ργ. 180, 27 post ἔϑηκα add: ἴσον αὖ (sic lineola m. 1 subducta; ἴσον αὐτῷ M?) p. 192, 9 παρυπάτη μέσων", B mg. 12 éveguóviog*, item lin. 16, 19, B mg. (V) 28, 99 διάτονος ᾿ ὑπάτων μέσων", B mg.(V ins) p.194,12 £v«ouóviog* 24 ὅσοι] εἰσι Ῥ. 190,9 οἵδε] om. ad lin. 19 χρωματική (alt. — lin. 22 συνημμένων mg. rubra linea anguinea Ὁ. 302, 9 post ἀσύνϑε- τον hab. καὶ τό (τό mg.) post διάστημα hab. ἑπτὰ διέσεων ὁ t τρίτω ὁ τεταρτημορίω, B mg. (V) 1 ἀπό] ἀπό, mg. ἐστι τοῦ δ) 25 x«9^] κατ᾽, mg. κἀϑώς (V) p. 304,18 1f (pr.)] δέκα 1) Valla "De expet. et fug. rebus? IX, 10: sychasticum, Bryemius (Wallis opp. math. III p. 503): εἰς ἡσυχαστικόν. 2) De cod. V v. p. VII. 3) Mirum est, quod 221 p. 122, 8 cum N solo pro ἁρμονικῆς hab. ἁρμονίας. 4) lis scripturis, quibus in codd. 221 B lineola rubra sub- ducta est (v. Ian p. LXXX), stellulam addidi; quae 221 et B habent mg. vel supra, m. 1 sunt. (V) additum significat, has scripturas in codicis V textu inveniri. PROLEGOMENA XLVII πέντε p.206,11 πρῶτον — 13 τεσσάρων] πρῶτον γὰρ αὐτῶν τὸ διὰ τεσσάρων (om. Υ), mg.: πρώτων γὰρ αὐτῶν τὸ διὰ τεσσάρων, δευτέρων τὸ διὰ πέντε, τρίτων τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων (V) 20 συγκείμεν ^ (ων V) εἰ] εἴπερ p.208,17 τοῦ δέ] τοῦ, mmg.: τοῦτο δέ (V) p. 210, 9 jp ὑπὸ πασῶν, mg.: ὑπάτων τό (V) 28 οὗ (cum signo 6) — p. 912, ὅ ὀξύ, mg.: 6 ἐν i (rubr). οὗ πρῶτόν vs καὶ τέταρτον ἐπὶ τὸ ἡμιτόνιον, δεύτερον δέ, οὗ πρῶτόν ἐπὶ τὸ ὀξύ, τρίτον δέ, οὗ δεύτερον ἐφ᾽ ἑκάτερα, τέταρτον δέ, οὗ πρῶτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ, τέταρτον δὲ ἐπὶ ὀξύ, πέμπτον δέ, οὗ πρῶτον ἐπὶ τὸ βαρύ, τέταρτον ἐπὶ τὸ ὀξύ, ἕκτον δεύτερον δέ, πέμπτον ἐπὶ τὸ ὀξύ, ἕβδομον δέ, οὗ δεύτερον μὲν ἐπὶ τὸ ὀξύ, τρίτον ἐπὶ τὸ βαρύ. et haec habet V omnia. p.212, 15 ἀλόγων] ἀναλόγων (V), ρλγββθδηι B 27 μέση] ἥ u16v, mg.: μέ- δ (V) p.220,1 ἢ ἐκ χρώματος ἢ ἁρμονίας] om. ο΄ eodieum 221, B alterum ex altero transcriptum esse facile |suspiceris; obstat, quod in 221 legitur p. 166,25 et 168,25 ὁ A ἄρα eb quod 210,30 ante οὗ habet d, quod B omittit. adparet |autem, utrumque codicem ad fidem codicis V correctum esse. | eodices Vaticani Gr. 1841 et 1346 s. XV et Introductionem Ρ. 322,14 finiunt et soli has scripturas praebent: | p-186,5 περὶ συστημάτων, msyl γενῶν 24 ἀφανῶς] ἀφανεῖς 188,9 καί] om. 26 δέ] οὖν p.190,11 Ousfevyu£vov] συνημ- Évov p.192,22 δὲ μίξιν] μίξιν δέ 26 ἐναρμόνιος — 28 διά- )voc] διάτονος χρωματικὴ ἐναρμόνιος p.194,1 post μέσων add. ἵτονος χρωματική τ. 196,8 post διάτονοι add. εἴτε οὖν ἄπυκνοι οἱ — διάτονος (alt.)] om. . 200,10 μέλος] μέγεϑος p.202, κατὰ σύνϑεσιν)] om. καί] καὶ τό . 206,10 μεχρὶ τετάρτου μῳφώνου πρόεισι, 11 ἐν αὐτῷ] om. p.208,19 ἀπό] τὸ ἀπὸ 210, 80 πρῶτον] ἕβδομον, item p.212, 8 (p. 210,30 etiam U) . 212, 4 δεύτερον) ἔχτον Ῥ. 218,32 iy] δέκα τρεῖς 19 παράλλη- 0, — 20 τριημιτόνιον] om. 20 ἀναλόγως 1841, ἀναλόγος (sic) 846 p.220,22 ἢ (pr.] ἢ εἰς. notandum etiam est, utrumque dicem p.194,20 post ὑπερβολαίων habere quae leguntor apud ristidem Quintilianum de musica ed. Iahn p.6,22 λαμβανό- vog — 7,23 ἵσταται, atque his quidem discrepantiis: p. 6, 28 & GERA χρωματική τε καὶ διάτονος) διάτονος χρωματική τε καὶ ἑναρμόνιος: item p.7,9 80 ὑπερυπάται] παρυπάται ν.ἴ, 4 μέση] μεσωτάτη. congruunt codices sescentis locis contra Ww XLVIII PROLEGOMENA cum M, velut p.188, 3; 200,21; 202,18, 22; 212,6; 218,2, 7 al mirum, quod p.212, 2 eum W pro τρίτον habent τέταρτον: p.202,25 cum W κατά pro καϑ'᾽ nullius ponderis est. cod. 1344 ex 1341 transcriptum arbitror; p. 190, 14, 15 1346 mg. m. 9 item p. 192, 7—21. Porphyrii excerptum Sectionis (v. p. IX et XL), quod apud Wallisium legitur, cum nostris Euclidis codicibus aliquantum discrepat. nam prooemium Porphyrius non habet, pro priore demonstratione prop. VI praebet alteram, '"444eg illud Eucli- dis.) continuo inserit propositionem nr. 7 signatam ?), qua nul- lam rationem multiplam esse demonstrat compositam ex rationi- bus superparticularibus nisi solam rationem duplicem; v. Iam, Proleg. in Sectionem p. 117. sequuntur Porph. propp. 8—12 — VII—XI hui. ed. in divisione propp. XII, XIII Porph. a nos Euclidis codicibus prorsus discedit: Porph. 18. — XII hui. ed p.172,12— 21; 14 — 172,22 ---98; 16 — 174,1—4 (post lin. 4 τριπλάσιον add. Porph. ἀποδέδεικται, lin. ὅ τό — ἐστιν om.; 16 si (pro ἀποδέδεικται) ἄρα — 174,6—15; 17 — XIV; 18 — XV; 19 — XVI. hane divisionem patet in Euclidem posse conferri ac dubito an Porphyrio nemo exprobret ipsi. nec vero inutile esse excerptum illud ad verba Euclidis constituenda declarant loci, quibus Porph. contra nostros Euclidis codd. veram scrip turam suppeditat: p.160,8,13; 162,9; 164,14); 172, 25; 170,3 (πλείω); praeterea cum W solo praebet p.162,3 ἐμάϑομεν, 8 ἐμ- πεσεῖται, 18 καὶ ἐπεί, cum B solo 174,9 δή. et hae lectione omnes inveniuntur in cod. Monacensi 385 s. XV Hardt IV p.197 (v. p. XL not), qui quidem cum Porphyrio p. 166, 25; 168,9,25 particulae ἄρα iustum locum adsignat. sed tamen in ceteris et. apud Porphyrium Wall. et in cod. Mon. multa deprehenduntur, quae ab Euclide profecto sunt aliena. quod ut perspicuum sit, collationem addam cod. Mon. omissis iis scripturis, quas modo commemoravi, et stellula adposita, ubi Porph. et cod. Mon. congruunt: p.160,8 τι διάστημα" 10 τόν] καὶ τόν" τοῦ ΓῚ πρὸς τὸν I^ 19 καί] om.* 18 ὁ (utrumque)| καὶ ó* καί] om. 16 πολλα- πλάσιον ἔσται" 20 οὕτως] οὕτω καί" . 162,1 πολλαπλάσιον -.---»».-»....-ὉὦὖὋὁἢἪἝἝἝΨΨ.. — 1 1) Suspicari licet, Porphyrium utramque demonstrationem. ante oeulos habuisse atque alteram priori praetulisse. 2) Adfert hanc prop. Porph. p. 272 Wall. 3) In adparatu cum Iano omisi. Ign Iq. Meer PROLEGOMENA XLIX εἶναι" 2 τόν] Mon., τοῦ codd. Wall, corr. Wall. 3 δέ] δὲ ἄρα", 'δέ del. Wall. 1 οὐδείς] om.*") μέσος] Mon., μέσοι codd. Wall., eorr. Wall. 10 ἐλάχιστοι] -ov 11 οἱ 4Z, 0] ὁ 4Z καὶ ὁ O* δ. ἄφελε] ἀφεῖλον" HZ] ZE*?) 14 ἐστιν] om.* 16 ὁ] ἡ", χΐσχα ἢπ.16 τὲ] οἵα." 16 ἐστι] οι." 4H] Mon., 4 codd. Wall., I4 E Wall 18 τοῦ] τοῦ μέν" 21 τούς] τόν" τις] οὐδείς 28 vo- ᾿σοῦτοι] Mon., -ov codd. Wall, corr. Wall 26 οὐδείς — ἐμπε- lesiro:] om. οὐδέ] ὥστε οὐδέ" p.164,6 ὅτι] οὕτως" ὁ 4] ὁ δέ |(Bic) 9 ἐστι πολλαπλάσιον" 18 τοὺς 42, ΓῚ τὸν 4 τὸν 4 τοῦ ΓῚ τὸν ΒΓ 14 add. ὅπερ ἔδει δεῖξαι" 16 ποιῇ] ποιεῖ 11 ἔσται] ἐστι" 20 post πολλαπλάσιος (pr. add. ἔσται λέγω --- πολλαπλά- 'σιος om. 91 ἐστιν] ἦ ὁ B τοῦ ΓῚ om.* 22 ἄρα (pr.)] om.* οὐκ ἔστι δέ] om.*, add. Wall. p.166,17 ὁ] τό διπλάσιος] -ον 19 τό] τόν, item lin. 22, τό codd. Wall. 21 ὁ ἄρα B* 22 B] δύο εἰσιν ἴσοι" 28 τρεῖς — 25 DI'(pr)| om.* 26 sequitur |prop.7 Wallisii; v. supra p.168,5 τοῦ (alt) — 7 4] Mon., om. | eodd. Wall, add.Wall. 5 ὁ] τό ὁ τριπλάσιον 10 τό] τόν, item |lin.22 12 ἄρα (pr) — 13.4] om.* 18 ΓῚ add. τριπλάσιος Wall. |19 4 ἄρα] ἄρα A* 20 ὀκτώ] ἧ (sic) δώδεκα] εβ΄, item lin. 28 | (utrumque) 21 Γ' ἄρα] ἄρα D'* 22 ἐννέα] 9", item lin. 24 |94 4 ἄρα] ἄρα 4 925 ὀγδόῳ] ἢ A] om. p.170,2 διαστήμα- 4 εἷς] τις Ὁ 6 2(alt.)] om. 7 4] 4E 9 ἐπεί] om.* εὑρεῖν} om., δέ codd. Wall. 9 post ἐπογδόους add. λαβεῖν Wall. ἀλλήλων] ἀλλὴ (sic), ἀλ * 4j codd. Wall. 11 μύρια] μυριάδες, item | lin.12—17 22 τό] δύο 96 διαστήματα δύοϊ τα] τό, om. codd. | Wall. p.172,5 μέσων] om.* AD']I'*, corr. Wall 6 ὄν] om.* 7 τὸ ὅλον] om.* 8 οὐδέ — πολλαπλάσιον] om.* 9 ἐπιμορίων, τον codd. Wall. 12 τό] τὸ δέ; 20 ante διπλασίου add. τοῦ“ 94 καί (pr) — 25 μέγιστα] om.* 217 ἡμιόλιος, -ον codd. Wall. p.174,1 δή] δέ" 2 ἐστιν] om." 4 xoí(pr)|om.* 14 ἄρα] γάρ 17 τό] τὸ δέ" post ἔλαττον add. ἐστιν" 20 διαστήματά sici* 21 ἐστιν] om.* 25 Β] «' 26 μέση] μέσος" μέσων] om.* Ῥ. 116,1 ἐστί" 2. τά] τὰ δέ" 3 ἐλάττονα — ΒΓῚ οτα." 8 ἴσα] ἴσους" 9. δέ] om.* 10 οὔτε εἷς} οὔτε γὰρ sig codd. Wall, , εἷς corr. Wall. 11 ὁ τόνος] om.* ἴσα] Mon., ἴσας codd. Wall. | | 1) P. 267 Wall, ubi prop.lII adfertur, οὐδείς non deest. [3 ks In fig. Wall. pro H est E, cod. Mon. figuras non habet. 3) p. 272 Wall, ubi Porph. prop. XVI adfert, pro ἴσους legitur ἴσα. Tualtdas. edd. Heilhavo s£ Manos VIII. d 1 L PROLEGOMENA | sequuntur in Mon. ea, quae leguntur apud Wallisium p. 276 δέδεικται — τοῦτο. τέλος κτλ. Mon. om. ] plurimos errores cod. Mon. et codd. Wall. patet imputandos esse librariis. Boetius in Inst. mus. IV, 2 p. 302, 8—8308, 9 ed. Friedlein Bec] tionis propp. I—IX transcripsit. Ἢ duarum denionstrationum prop. VI cum Porphyrio alteram praebet; prop. 7? eius non habet. de antigrapho Graeco Boetii nihil certi adfirmare pos- sum; in fine prop. IV p. 305,8 addit *quod oportebat ostendere' (ὅπερ ἔδει δεῖξαι Porphyrius). : Primus duos libellos musicos in unum coniunctos Latine inter- pretatus est Georgius Valla: *Cleonidae?) harmonicum introduc-| torium interprete Georgio Valla. Venetiis 1497.'*) usum esse Vallam codice N, cuius in folio extremo legitur “Γεωργίου Βάλλα ἐστὶ τὸ fifALov*), hi loci dilucide docent: p.188,26 διατόνῳ] add. γένει N, in diatono genere Valla p.196, 20 οἱ δὲ διάτονοι] ἐν δὲ διατόνῳ N, at in diatono Valla p.200,20 διεσιαίῳ] δὲ- σιαίῳ N, disiaeo Valla p.9202,2 δίεσιν (pr.)] δ. τεταρτημόριον N, | diesim quartam portionem Valla 7 κατά] καί N, et Valla 9 ἀσύν- ϑετον καὶ διάστημα N, incompositum etiam intervallum Valla. p. 204,1 δι᾽ ἀριϑμῶν] ἐν ἀρυιϑμῷ N, in numero Valla 30 τριῶν καὶ ju. N, trium et dimidii Valla p.206,20 ἀριϑμοῦ] -ὦ N,. numero Valla εἰ περὶ ἄξης — 31 ἀνομοίου N, om. Valla; non. intellexisse videtur*) Ὁ. 212, 34 τετραχόρδων N, tetrachordorum Valla p.214,3 νητῶν] τῶν N, om. Valla 9 ὑπάτων μέσων] ὑπὸ τῶν μέσων N, sub mediis Valla 23 ἑκατέρῳ N, utrique Valla. p. 216,14 ἔχεις ἀεί N, habes semper Valla p. 9220,22 διασταλ- τικοῦ] διαστητικοῦ N, diastetico Valla. in Sectione (titulus: περὶ φϑόγγων N, de phthongis Valla) v. p. 158, 9 οὐδέν] οὐδέ N, ne- quidem nihil Valla p.166,8 ἐπεί] om. N, Valla p.176,10 μέ- σοι] N, medii Valla p.180,29 post ἔϑηκα add. ἴσον αὐτῶν N, aequalem ipsis Valla. 1) Euclidem non nominat. 2) Valla etiam 'De expet. et fug. rebus' VII, 2 Cleonidem nominat; post quam enim tria genera *modulatus' enumeravit, * Pappus tamen', inquit, *'et Cleonides addit commune vel mixtum". 3) Editionem ἃ. 1488, quam commemorat Fabricius Bibl. gr. ed. Harles IV p. 56, non vidi. 4) V. Ian p. LIV. 5) V. Bebe: Neue Jahrb. f. Philol. Suppl. XII p. 378. PROLEGOMENA LI Introductionem et Sectionem primus Graece et Latine edidit Ioannes Pena Parisiis 1557; titulus est: Εὐκλείδου εἰσαγωγὴ &o- μονική. τοῦ αὐτοῦ κατατομὴ κανόνος. codex quidam Parisinus ("ex bibliotheca Regia"), ex quo Pena libellos musicos edidit, arta necessitudine cum familia cod. U coniunctus est et pluri- mas habet cod.U ipsius discrepantias; v. in Introductione praeter locos ab Iano p. LXIX not. adlatos p. 188,4 μεταβάσεις] διαστά- σεις μεταβάσεις; 198,19 ὑπάτης μέσης; 200,921 ὀξυτέρου; 202,1 αὐτῇ, 2 add. τῇ αὐτῇ 9 διέσεων τεταρτημορίων 10 χρόᾳ κέχρη- ται χρόᾳ 14 συνθέσεως 10 ἐνυπαρχόντων; 204,1 δι᾽ om. 16 καὶ ᾿διαφώνου; 9206,24 ἀπό 9208,15 ἔχει; 210,12 ὑπό; 212, 2 τρί- τον] τέταρτον; 214,19 ὁρίξεται; 220,10 μέν — 192 ἐμμελεῖς] om. ubi L ab U discedit, hunc potissimum sequitur: p. 192, 16, 19 £veouóvioc] L, om. U, Pena; 198,1 add. τόνος καὶ τόνος U, Pena, το x. τόνοῦ L; 200,13 τό] Ὁ, Pena, om. L; 206, 17 τῶν (pr.)] U, "Pena, καὶ τῶν L; 210,830 πρῶτον] L, ἕβδομον Ὁ, Pena; 216,6 ἤτοι (alt.)] L, ἤ Ὁ, Pena; 218,7 ὧν ὁ βαρύτερος] om. Ὁ, Pena, ὅς L. cum L contra U Pena conspirat p.188,3 (τέϑειται); 200, 20 (διεσίῳ); 204,19 καὶ ἐμμεταβόλου om.). itemque in Sectione cod. Penae adfinitatem cum familia cod. U prae se fert; v. p. 166, 11 τοῦ (pr. — 12 B.4] om. U, Pena; p.174, 9 δέ] Ὁ, Pena; p. 176, 21 óírovog] διάτονος U, Pena; p. 180, 23 ante ὑπερβολαίων add. παρανήτην Ὁ, Pena. praeterea cum Mon. 104 p.166,16 τοῦ (pr.) om. (U?). animadvertendum est autem, Penam codicem suum sine dubio secutum in Introductione addere p.198,13 διαφωνία δὲ τοὐναντίον δύο φϑόγγων ἀμιξία et in Sectione p.170, 26 ἔσα. Ῥ. 168, 26 particulae ἄρα iustum dat locum. Dasypodius Introductionem integram, Sectionis praeter pro- oemium propositiones solas in *Euclidis omnes omnium libro- rum propositiones! (v. p. XXXVT) Graece et Latine recepit. totus pendet ἃ Pena, quocum in Introductione habet p.194,26 οὐ μεταβάλλουσι; pro p.196,18 λιχανός — 38 διάτονος: παρανήτη ὑπερβολαίων χρωματική Ὁ. 198,18 διαφωνία --- ἀμιξία p. 202,8 δίτονον ἀσύνθετον: pro 4 βαρυτάτη --- 5 δέ: τὸ μὲν καλεῖται μα- Aexüóv χρῶμα, τὸ δὲ ἡμιόλιον, τὸ δὲ τονιαῖον. τὸ μὲν οὖν μαλα- ᾿ κὸν χρῶμα. μελῳδεῖται 6 τὸν τριτημόριον Ἱ τρίτῳ ἀσύνθετον διάστημα Ῥ. 204, 8 ἕκαστος Ῥ. 308, 17 εἰσι Ὁ. 216, 20 σεπτάτο- vov Ῥ. 218,4 ὧν ὀξύτερος καὶ f (sic) ὑποιάστιος καλεῖται. om. eum Pena ἢ. 188, 2 τάς p.198,8 πάντα -- 9 διὰ τεσσάρων p.202,6 τό p.222,17 ἐν — 18 φϑόγγου. in Sectione hae nobis occurrunt lectiones Dasypodio cum Pena communes: p.158, 10 a* 1 PROLEGOMENA ἐπείπερ] εἴπερ 11 σύγκειται, item lin.12 14 κινήσεων 321 πολυ- | πλασίονι 174,9 δέ 17 post ἕλαττον add. ἐστιν. interpretatio | Dasypodii ex Pena ad verbum expressa est. Penae interpretationem libellorum musicorum repetivit Pos- | sevinus in Bibliotheca selecta Romae 1593 II p. 187—200 *Eu- clidis Musica e Bibliothecae Vaticanae ac Fulvii Ursini manu- scriptis codicibus Graecis'. praesto ei fuit cod. Vat. Gr. 1341 (v. p. XLVII) atque eum sequitur Pena relicto p.196,188qq., ubi 18 λιχανός — 23 διάτονος (pr.) om. Pena, 20 οἱ — 23 διάτονος | (alt. om. Possevinus. mg. autem adnotavit ex 'cod. Vat. ad | p.186, 24 ἀφανεῖς, ad p.200, 10 μέγεϑος (pro μέλος), ad p. 200,19 ἐν διεσιαίῳ τόπῳ et hae ipsae sunt scripturae codicis 1841. eum eodem codice Introductionis finem facit p.9222,14. com- | pluribus Introductionis partibus Possevinus excerpta ex Aristi- de Quintiliano et Bryennio Graece et Latine inseruit; v. Ian - p. LXXIV not. Tertius Penae interpretationem redintegravit Petrus Herigo- nus 'Cursus mathematicus! Paris. 1644 vol. V p. 802—851 prae- scripto titulo "Euclidis musica". p.196,17 Herigonus et Penam et Poissevinum reliquit; nam omittit lin. 17 λιχανός — 23 διά- τονος (alt.); in Sectionis demonstrationibus mathematicorum ra- lione procedit. interpretationi Latinae addidit Gallicam. Inter *Antiquae musicae auctores septem', quos Marius Mei- bomius restituit et explicavit (Amstelodami 1652), etiam libel- los Euclidis recepit, cui utrumque tribuere non dubitavit. ex iribus codicibus, quos adhibuit, optimo iure cod. Leidensi 135 Vuleanii maxime confisus est. multa Penae menda correxit, ali- quot scripturas veras sine codicum adiumento restituit, velut p. 164,13, 14 τόν — πολλαπλάσιον --- ἐπιμόριον, p.166, 28 δυσί, Ρ. 188, 1 add. καί p. 210,1 add. ἐπὶ τὸ βαρύ Ῥ. 216, 2ὅ scr. τό- zog φωνῆς, ὅταν λέγωμεν (p. 118, 4 προσκείσϑω iam apud Pe- nam legitur) sed cum codices ili non optimi sint generis, minime mirum est, recensionem Meibomii nostris hominibus minus probari Penae interpretationem propter multos eius errores contempsit ac novam confecit. notae vero, quas ad musieae antiquae imperitiores adiuvandos addidit, exquisitam ut temporibus illis cognitionem et scientiam musicae Graecae declarant. Gregorius in praefatione profitetur, se in libellis musicis edendis *Meibomii editionem in textu graeco fere per omnia' secutum esse, Sectionis quidem uno, quantum video, loco & | | ! t kl 1 * PROLEGOMENA LIII Meibomio recessit; p. 174, 6 enim habet τῶν — λόγοις, Meibom vero ὅτι τῶν συμφώνων μέγιστον ἐν τρισὶ λόγοις. interpretatio- nem quoque Meibomii “αὖ plurimum" retinuit, nonnulla autem rectissime vituperavit, velut varietatem eius libidinemque in eonvertenda voce τάσεως pro tensione et quod rationes nomi- nat sescuplam, supertertiam, superoctavam et non sesqui alte- ram cett. Introductionem tamquam Pappi fragmentum (ἐκ τοῦ Πάπ- zov) e cod. Parisin. 2460 a. 1839 edidit I. A. Cramer, Anec- dota Paris. vol. I p. 47sqq. cod. 2460 sine dubio originem ducit e cod, B; eum eo omittit p. 186, 1 “ρμονική — 4 ἑπτά, addit |— p.188,18 τόν ante τόνον, habet p.198,14 τραχῦναι 925 ὁ δὲ τόνος 28 διτόνιον Ῥ.200,1 διατόνου 9 ἔστω pro ἔσται 14 ἑστώ- τῶν φϑόγγων 15 ἐνφαίνονται 25 om. ἡ p. 202, 14 hab. καὶ αὐτῷ 18 κλύεταν p.206,20 εἴπερ ἡ τάξις p.214,1 ἡ ἐκ τοῦ p. 218,3 ὁ καί. Α. 1895 Caroli Ian prodiit editio Musicorum Graecorum, in qua libellos, qui Euclidis nomine feruntur, musicae Graecae existimator doctus et intellegens noluit desiderari. atque Ian codicibus antiquissimis et praestantissimis, Porphyrii emenda- lionibus, suis aliorumque coniecturis nisus textum constituit, quo nemo negabit huius aetatis iudicio et adprobationi ab- unde satisfieri. verba autem singulorum scriptorum ita ad in- tellegentiam legentium accommodavit, αὖ eos, quod supra com- memoravi, ad ceteros musicos Graecos delegaret et notis, qua- libus nune utimur, difficillimam litterarum antiquarum partem illustraret. idem secutus est cum in ceteris introductionibus unieuique scriptorum praemissis, tum in iis, quae Euclidis Sec- lioni de Pythagoreorum veterum doctrina praefatus est. in totius vero operis prolegomenis plus quam ducentorum codicum conspectum dedit?) et, qua necessitudine inter se contineren- - tur, singulari ingenii acumine aperuit. quae cum ita sint, Ian in hoc tanto tamque lubrico campo, in quo per duo proxima saecula pauci iique ad exiguum tempus quasi praeludentes versati sunt, monumentum aere perennius exegisse censen- dus est. 1) Sie Cramer; cod.: ἐκ τῶν τοῦ Πάππου. 2) Iani codd. Parisinis addendus est Paris. Suppl. Gr. 195, E quiet Euclidis Introductionem; v. hui. ed. vol. VII p. XVII. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. dq LIV PROLEGOMENA Introductionem Germanice reddiderunt O. Paul, Boetius u. die griech. Harmonik 1872 p. 230—244 et O. Waldapfel, Über das Idealschóne in der Musik 1892 p. 94—102. Chr. E. Ruelle, Annuaire des ét. Gr. 17, 1883, p. 261 s8qq., postquam de libellorum Euclidis codd., edd., interpretationibus disputavit, interpretationem addidit Gallicam, cui subiunxit ad- notationes et criticas et explicantes. ^w à X c bo PON. à » : 1 : ΒΥ y ᾿ D À uM * Y "T. l χὰ xà i «X : QN Ὗ E ἐχὰ ? ᾿ i | ὁ [ ru" D 1 , 7 ὯΙ 5 D 3! Put " : - » 4 H " ji z d Um s Li TP ADR : T zmepi : AM σι . ὡς ἐν τοῖς ὀπτικοῖς δείκνυται, ϑετέον, τὰ ἄστρα ἐγκυ- 10 15 20 | ᾿Επειδὴ ὁρᾶται τὰ ἀπλανῆ ἄστρα ἀεὶ ἐκ τοῦ d τόπου ἀνατέλλοντα καὶ εἰς τὸν αὐτὸν τύπον δυόμενα καὶ τὰ ἅμα ἀνατέλλοντα ἀεὶ ἅμα ἀνατέλλοντα καὶ τὰ ἅμα. δυόμενα ἀεὶ ἅμα δυόμενα καὶ ἐν τῇ ἀπ᾽ ἀνατολῆς ἐπὶ δύσιν φορᾷ τὰ πρὺς ἄλληλα διαστήματα τὰ αὐτὰ ἔχοντα, τοῦτο δὲ γίνεται ἐπὶ τῶν ἐγκύκλιον φορὰν φερομένων μόνον, ἐπὰν ἡ ὄψις πάντῃ τῆς περιφερείας ἴσον ἀπέχῃ, κλίως φέρεσϑαι καὶ ἐνδεδέσθαι ἐν ἑνὶ σώματι καὶ τὴν ὄψιν ἴσον ἀπέχειν τῶν περιφερειῶν. ὁρᾶται δέ τις ἀστὴρ μεταξὺ τῶν ἄρκτων οὐ μεταλλάσσων τόπον ἐκ τύπου. ἀλλ᾽ ἐν ἧ ἐστι χώρα, ἐν ταύτῃ στρεφόμενος. ἐπεὶ δὲ οὗτος πρὸς τὰς περιφερείας τῶν κύκλων, καϑ᾽ ὧν οἱ λοιποὶ ἀστέρες φέρονται, ἴσον ἀπέχων πάντῃ φαίνεται, ϑετέον, τοὺς κύκλους πάντας παραλλήλους εἶναι, ὥστε πάντα τὰ ἀπλανῆ ἄστρα κατὰ παραλλήλων. φέρεσϑαι πόλον ἐχόν- τῶν τὸν προειρημένον ἀστέρα. τούτων δὲ ἔνια οὔτε ἀνα- τέλλοντα οὔτε δυόμενα ὁρᾶται διὰ τὸ ἐπὶ μετεώρων κύ- xÀov φέρεσϑαι, oUc καλοῦσιν ἀεὶ φανερούς. ταῦτα δέ, ἐστι τὰ ἑπόμενα τῷ φανερῷ πόλῳ ἄστρα ἕως τοῦ ἄρκχτι- κοῦ κύκλου. καὶ ἐπὶ ἐλασσόνων μὲν κύκλων φέρονται οἱ ἔγγιον τοῦ πόλου ὄντες ἀστέρες, ἐπὶ μεγίστου δὲ οἱ ἐπὶ τοῦ ἀρκχτικοῦ, οἱ καὶ φαίνονται ξύοντες τὸν ὁρίζοντα. τὰ | δὲ πρὸς μεσημβρίαν τούτων ἐχόμενα πάντα καὶ ἀνατέλ- TIT.: εὐκλείδου φαινόμενα codd. 1. ἐπειδή] inras.V. &s(]om.Vat. | 3. ἀνατέλλοντα (alt.)] ἀνατέλλονταιτα. 2Vat. 4. dvóuseve(pr.)) mut. | in δύονται m. 2 Vat. 6. γίγνεται m. 2Vat.. ἐγκύκλιον] -o- in ras. v. 7. ἀπέχει Ll. 8. ὀπτυκοῖς v. 192. ἤ ἐστι χώρα Vat. ἐν (alt.)] po- stea add. m. 1 Vat. ταύτη Vat. 13. λοιποί] λοιπή (m in ras.) v. 16. ἄστρα] ἄστμα v, sed supra pg scr. o m. 1. πόλον] corr. ex πωλον Vat.; πόλιν v. 18. μετεώρων] μετεώρον V, μετεωρότε- ρον m. 92, μετεοροτέρων cett. 20. ἐστι] Seq. τὰ νοτιώτερα αὐτῷ V, - sed del m.2. τὰ ἑπόμενα τῷ φανερῷ πόλῳ] eras. et scr. τὰ ἐχό- —- Quoniam stellae inerrantes semper ex eodem loco orien- tes et in eundem locum oceidentes conspiciuntur et eae, quae simul oriuntur, semper simul orientes et eae, quae simul occidunt, semper simul occidentes atque in motu ab ortu ad occasum eadem inter se intervalla habentes, id autem fit in iis solum, quae circulari motu moventur, cum visus in omnes partes ab ambitu aequali intervallo distet, αὖ in opticis demonstratur, ponendum est, stellas cireulari motu moveri et in uno corpore illigatas esse el visum a cireumferentiis aequaliter distare. cernitur autem stella quaedam inter septentriones, quae locum de loco non mutat, sed quo loco est, eo convertitur. quae eum ad eircumferentias circulorum, per quos ceterae stellae feruntur, in orfines partes aequaliter distans ad- pareat, ponendum est, omnes circulos parallelos esse. itaque omnes stellae inerrantes per parallelos feruntur, qui polum habent stellam, quam modo commemoravimus. ex iis autem nonnullae neque orientes neque occidentes eonspieiuntur, quia in sublimibus circulis feruntur, quos voeant semper conspicuos. hae autem eae stellae sunt, quae conspieuum polum sequuntur usque ad arcticum eireulum. et in minoribus cireulis eae stellae feruntur, quae polo propiores sunt, maximo autem, quae in arctico sunt, quae etiam horizontem radentes adparent. eae autem, quae meridiem versus has deinceps sequuntur, μενα τοῦ φανεροῦ πόλου m. 2Vat.; idem, add. yo. in mg.V m. 2, L. 21. ἐπὶ ἐλασσόνων μὲν κύκλων] ἐλάχιστον μὲν κύκλον Vat. 22. ἐγ- γειον V, sed ε (alt.) punctis del. ἀστέρες --- 28. &oxrixo?] mg. m.1V; ἐπὶ — &gxrixoo mg. Ll; om. ν΄; μέγιστον δὲ oi ἐπὶ τοῦ ἀρκτικοῦ" οἱ δὲ ἐπὶ τοῦ ἀρχτικοῦ κύκλου ὄντες Vat. μεγίστου] μεγίστων v. 38. oi καί] om. Vat. 24. πάντα] πάντη v, ἅπαντα Vat. 1 * 10 1ὅ 20 25 4 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ Aovr« καὶ δυόμενα δρᾶται διὰ τὸ τοὺς κύκλους αὐτῶν μὴ ὅλους εἶναι ὑπὲρ γῆς, ἀλλὰ μέρος μὲν αὐτῶν ὑπὲρ γῆς, τὸ δὲ λοιπὸν ὑπὸ γῆς. τῶν δὲ ὑπὲρ γῆς τμημάτων ἑκάστου αὐτῶν μεῖξον φαίνεται τὸ ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν ἀεὶ φανερῶν, τῶν δὲ ὑπὸ γῆν ἐλάχιστον τὸ ἔγγιόν τοῦ εἰρημένου κύκλου διὰ τὸ τὸν χρόνον τῆς ὑπὸ γῆν φορᾶς τῶν ἐπὶ τούτου τοῦ κύκλου ἀστέρων ὄντων ἐλά- χιστον ἔχειν, τῆς δὲ ὑπὲρ γῆν φορᾶς πλεῖστον, τὰ δὲ ἐπὶ τῶν ἀπώτερον τούτων ἀεὶ τῆς μὲν ὑπὲρ γῆς φορᾶς ἐλάσσονα χρόνον ἔχειν, τῆς δὲ ὑπὸ γῆν πλείονα" ἐλάχι- στον δὲ χρόνον ἕξει τῆς ὑπὲρ γῆν φορᾶς τὰ ἔγγιστα τῆς μεσημβρίας ὄντα, τῆς δὲ ὑπὸ γῆν πλεῖστον. φαίνονται δὲ οἱ ἐπὶ τοῦ κατὰ μέσον τούτων ὄντες ἰσοχρόνιον ποιού- μένον τὴν ὑπὲρ γῆν φορὰν τῇ ὑπὸ γῆν" διὸ λέγομεν τοῦτον τὸν κύκλον ἰδημερινόν" οἱ δὲ ἐπὶ τῶν ἴσον ἀπ- ἐχόντων τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου ἰσοχρόνιον ποιούμενοι τὴν φορὰν ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τμήμᾳσιν, oiov τὰ ὑπὲρ γῆς τῶν πρὸς ἄρχτους ὄντων τοῖς ὑπὸ γῆν τῶν πρὸς μεσημ- βοίαν, τὰ δὲ ὑπὲρ γῆς τῶν πρὸς μεσημβρίαν τοῖς ὑπὸ γῆν τῶν πρὸς ἄρκτους ὄντων" ὃ δὲ συναμφότερος χρόνος ἑχάστου κύκλου ὅ τε ὑπὲρ γῆς καὶ ὃ συνεχὴς ὑπὸ γῆν ἴσος φαίνεται. ἔτι δὲ Ó τοῦ γάλακτος κύκλος καὶ ὁ ξῳδια- χὸς λοξοὶ ὄντες πρὸς τοὺς παραλλήλους κύκλους καὶ τέμνοντες ἀλλήλους ἐν τῇ περιφορᾷ. ἀεὶ ἡμικύκλια ὑπὲρ γῆς ἔχοντες φαίνονται. διὰ δὴ τὰ προειρημένα πάντα ὁ χόσμος ὑποκχείσϑω σφαιροειδής" εἴτε γὰρ ἦν κυλινδροειδὴς ἢ κωνοειδής, οἱ 2. γῆς] γῆν v', item lin. 3 (tert.). 8. γῆς (8ec.)] γῆν Vat., d. m. 3 τήν. 4. usi£ov v. ἔγγειον 11, αὖ lin.6. 8. τῆς] τόν V. τῆς — φορᾶς] e corr. Vat, τήν — φοράν cett. γῆν] γῆς Vat. corr. m. 2. 8--9, τὰ δὲ ἐπὶ τῶν ἀπώτερον] in ras. m. 2 V. 14. γῆν (pr)] γῆς Vat. 15. ἰσημερηνόν Vat., item lin. 17 ἰσημερήνου; corr. m. 2. ἴσον] v, ἴσων cett. 17. γῆς] γῆν vv, item lin. 19. 21. 25. γῆς] γῆν vv, ut lin. 21, 25. 20. ὄντων) ὄντα v. ἴσος] supra add., τῷ συναμφοτέρῳἑκάστου m. 2 V, in textu hab. Ll ν΄ Vat, τῶν ἀμφοτέρων ἑκάστου ἴσα v. : PHAENOMENA 5 omnes et orientes et occidentes conspiciuntur, quia cir- culi earum non toti super terram sunt, sed pars eorum super terram, reliqua autem sub terra. atque ex iis seg- mentis uniuscuiusque eorum, quae super terram sunt, id maius adparet, quod maximo circulorum, qui semper conspicui sunt, propius est, eorum autem, quae sub terra sunt, id minimum, quod eidem circulo propius est, quo- niam tempus motus subterranei earum stellarum, quae in hoe circulo sunt, minimum, motus autem, quem fa- ciunt super terram, maximum, et eae, quae in circulis ab his remotioribus sunt, motum super terram semper per minus tempus habent, motum autem sub terra per maius; minimum vero tempus motus super terram eae habebunt, quae meridiei proximae sunt, motus autem sub terra maximum. adparent autem eae stellae, quae in medio inter illos eireulos circulo sunt, tempore aequa- lem facientes motum et super terram et sub terra; quam- obrem hune cireulum vocamus aequinoctialem et eae, quae in circulis a circulo aequinoctiali aequaliter distan- libus sunt, motum tempore aequalem facientes adparent in alternis segmentis, qualia sunt segmenta, quae super lerram ad septentriones sunt, eaque, quae sub terra ad meridiem sunt, atque ea, quae super terram ad meri- diem sunt, eaque quae sub terra ad septentriones sunt. coniuncta autem tempora uniuscuiusque circuli et super terram et continui sub terra aequalia adparent. praeterea eireulus lacteus et zodiacus, qui ad parallelos circulos obliqui sunt et inter se secant, in conversione semper semicireulos super terram habentes adparent. itaque propter haec omnia, quae supra diximus, mun- dus ponatur sphaerae formam habens; nam si cylindri 22. καί] ins. m 2 V. 924. ἀεί] « supra add. m. 2. Vat. 27. oi — p. 6 lin, 1, κύκλιον ὡς ἐπὶ τὸν λοξὸν κύκλον v. o 10 15 20 25 6 $AINOMENA ἐπὶ τῶν λοξῶν κύκλων καὶ τεμνόντων τὸν ἰσημερινὸν δίχα λαμβανόμενοι ἀστέρες ἐν τῇ περιφορᾷ οὐκ ἂν ἐφαί- vovro ἀεὶ ἐπὶ ἡμικυκλίων ἴσων φερόμενοι, ἄλλ᾽ ὅτε μὲν ἐπὶ μείξονος ἡμικυκλίου τμήματος, ὅτε δὲ ἐπ’ ἐλάσσονος. ἐὰν γὰρ κῶνος ἢ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ μὴ παρὰ τὴν βάσιν. ἡ τομὴ γίγνεται ὀξυγωνίου κώνου τομή,. ἥτις ἐστὶν ὁμοία ϑυρεῷ. δῆλον οὖν, ὅτι τοιούτου σχήματος διὰ τοῦ μέσου τεμνομένου κατά τε τὸ μῆκος καὶ πλάτος ἀνόμοια τμήματα ποιεῖ: δῆλον δέ, ὅτι κἀν λοξαῖς τομαῖς τμηϑῇ διὰ τοῦ μέσου, καὶ οὕτως ἀνόμοια τμήματα ποιεῖ, ὕπερ οὐ φαίνεται τοῦτο γινόμενον κατὰ τὸν κόσμον. διὰ δὴ ταῦτα πάντα ὃ κόσμος ἐστὶ σφαιροειδὴς x«l στρέφε- ται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἄξονα, οὗ ὃ μὲν εἷς πόλος ὑπὲρ γῆν, φανερός, ὃ δὲ εἷς ὑπὸ γῆν ἀφανὴς àv. ὁρίζων δὲ καλείσϑω τὸ διὰ τῆς ὄψεως ἡμῶν ἐπίπεδον ἐχπίπτον εἰς τὸν χόσμον καὶ ἀφορίξον τὸ ὑπὲρ γῆν ὁρώμενον τμῆμα᾽ ἔστι δὲ κύκλος" ἐὰν γὰρ σφαῖρα ἐπι- πέδῳ τμηϑῇ, 7 τομὴ κύκλος ἐστίν. μεσημβρινὸς δὲ κύκλος χαλείσϑω ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας καὶ ὀρϑὺς πρὸς τὸν δρέξοντα. τροπιχοὶ δέ, ὧν ὁ διὰ μέσων τῶν ξῳδίων κύκλος ἐφάπτεται τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐχόντων τῇ σφαίρα. ὁ δὲ διὰ μέσων τῶν ξῳδίων κύκλος καὶ ὁ ἰσημερινὸς μέγιστοί εἶσιν: δίχα γὰρ τέμνουσιν ἀλλήλους" ἥτε γὰρ ἀρχὴ τοῦ Κριοῦ καὶ ἡ ἀρχὴ τῶν Χηλῶν κατὰ διάμετρόν τέ εἶσι καὶ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ οὖσαι κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλουσί τε καὶ δύνουσι μεταξὺ αὐτῶν ἔχουσαι τῶν μὲν δώδεκα ξωδίων τοῦ ξῳδιακοῦ ἕξ, τοῦ δὲ ἰσημερινοῦ 8. ἴσων) ἴσην v. 4. ἐπὶ ἐλάσσονος Vat. ὅ. κύλινδρος] ἡμικύλινδρος V, sed ἡμι- del. m. 1. 6. γίγνεται] y. (alt.) ins. m. 2 Vat. 7. ϑυρεῷ] in ras. V, ϑηρεῷ L. 8. τεμνομένης v. γιγνόμενον Vat. 19. ἐστί] ἔσται Vat. 18. róv] om. Vat., τῶν L. 14. γῆν] γῆς Vat. ἀφανής] « (pr) ins. m. 2 v. ὧν] om. Gregorius. 16. ógítov] in ras. m. 2 V. διὰ τῆς ὄψεως} δι’ Vat. 16. ἐχπίπτον — ἀφορίξον)] in ras. V. ἀφορίξων Vat. 17. τμῆμα] ἡμισφαίριον v Vat, yo. ἡμισφαίριον PHAENOMENA 1 aut coni formam haberet, eae stellae, quae in obliquis et aequinoctialem bifariam secantibus circulis sumuntur, in conversione non adparerent in aequalibus semper semi- eireulis moveri, sed modo in maiore semicirculi segmento, modo in minore. nam si conus aut cylindrus plano secatur basi non parallelo, seetio est coni aeutianguli seetio, quae clipeo similis est [Apollon. Con. 1, 9; Ser. de reet. cyl. 9]. manifestum igitur, talem figuram per medium sectam et longitudine et latitudine dissimilia segmenta efficere. manifestum autem, eam, etiamsi in sectionibus obliquis per medium secetur, sic quoque segmenta dissimilia efficere, id quod in mundo non fieri adparet. itaque propter haee omnia mundus sphaerae formam habet et aequabiliter cirea axem convertitur, euius alter polus super terram est conspicuus, alter sub terra occultus. horizon autem vocetur planum per visum nostrum in mundum incidens et id segmentum, quod super terram conspicitur, determinans; est autem circulus; nam si sphaera plano secatur, sectio circulus est ['T'heodos. I, 1]. meridianus autem is circulus vocetur, qui per polos Sphaerae transit οὖ perpendicularis est ad horizontem. iropiei autemaii circuli vocentur, quos circulus, qui transit per media zodiaci signa, tangit et qui eosdem polos habent, quos sphaera. eireulus autem, qui per media zodiaci signa transit, et aequinoctialis maximi circuli sunt [ib. I, 12]; nam bifariam inter se secant. principium enim Arietis et principium Librae iuxta diametrum opposita sunt, et eum in aequinoctiali sint, coniugate et oriuntur et oc- cidunt habentes inter se ex duodecim zodiaci signis sex, supra m. 2 Vl. ἔστιν Vat. γάρ] δέ v. 20. ὀρθῶς Ll. 51. δύ- vovotv Vat. αὐτῶν] supra scr. τῶν ἀρχῶν m. 2 V et deleto αὐτῶν m. 2 Vat. 28. τοῦ ξωδιακοῦ] om. Vat. £5] ἕξ ξῴδια Vat. τοῦ δέ] corr. ex καὶ vo? V. 10 15 20 25 30 ΨΥ. - -- --- πυτα γελύπης τοὶ 8 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ κύκλου ἡμικύκλια δύο, ἐπειδήπερ ἑκατέρα ἀρχὴ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου οὖσα ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ φέρεται, ἡ μὲν τὴν ὑπὲρ γῆς φοράν, ἡ δὲ τὴν ὑπὸ γῆν. ἐὰν on σφαῖρα στρέφεται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα, τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἕν τῷ ἴσῳ, χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διέρχεται τῶν παραλλής, λῶν κύκλων, xc9' ὧν φέρεται" ὁμοίας ἄρα περιφερείας, διέξεισι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου, ἧ μὲν τὴν ὑπὲρ γῆς; ἧ δὲ τὴν ὑπὸ γῆν" ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἵ περιφέρειαι" Tui | κύκλιον ἄρα ἑκάτερόν ἐστιν τὸ γὰρ ἀπ’ ἀνατολῆς ἐπὶ ἀνατολὴν ἢ ἀπὸ δύσεως ἐπὶ δύσιν ὅλος κύκλος ἐστίν" δίχα ἄρα τέμνουσιν ἀλλήλους ὅτε τῶν ζῳδίων κύκλος, καὶ ὃ ἰσημερινός. ἐὰν δὲ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι arse ἀλλήλους δίχα, ἑκάτερος τῶν τεμνόντων μέγιστος ἔσται" ὁ ἄρα τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὃ ἰσημερινὸς μέγιστοί indi καὶ ὁ ógífov uiv τῶν μεγίστων ἐστὶ κύκλων" τόν vt. γὰρ τῶν ξῳδίων κύκλον καὶ τὸν ἰσημερινὸν μεγίστους. ὄντας ἀεὶ δίχα τέμνει τῶν τε γὰρ δώδεχα ζῳδίων τὰ ἕξ ἀεὶ ὑπὲρ γῆς ἄνω ἔχει, καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ δὲ κύκλου. τὸ ἡμικύκλιον ὑπεράνω ἀεὶ ἔχει" καὶ γὰρ τὰ ἐπὶ τούτου ἄστρα ἅμα ἀνατέλλοντα καὶ δύνοντα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ παραγίγνεται, τὸ μὲν ἀπ᾽ ἀνατολῆς: ἐπὶ δύσιν, τὸ δὲ ἀπὸ δύσεως ἐπὶ ἀνατολήν. φανερὸν οὖν ἐν τῶν πρότερον ἀποδεδειγμένων, ὅτι τοῦ ἰσημερινοῦ ἀεὶ ὑπὲρ τὸν ὁρί- ξοντά ἐστιν ἡμικύκλιον. ἐὰν δὲ ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος δίχα τέμνῃ τινὰ τῶν μεγίστων κύκλον ἀεὶ φερόμενον, καὶ ὃ τέμνων μέγιστός ἐστιν᾽ ὃ ὁρίξων ἄρα τῶν μεγίστων ἐστὶ κύκλων. κόσμου περιστροφῆς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἕκαστον τῶν ἀπλανῶν ἀστέρων ἀπ’ ἀνατολῆς ἐπὶ τὴν ἑξῆς ἀνατολὴν 2. οὖσα] ὄντα ν. a ὁ v. 6. διεξέρχεται Vat. 8. γῆς] γῆν v' item lin. VR SUMA πῃ ἡ codd. 10. ἀπὸ ἀνατολῆς Vat. ut lin. 22. om. D. τέμνουσιν V. 16. μὲν] δέ m. 2 V, Vat. NO κύκλος Vat. 18. ἀεί] PHAENOMENA 9 aequinoctialis autem circuli duos semicireulos, quoniam utrumque principium, quod in circulo aequinoctiali est, eodem tempore fertur, alterum motum super terram faciens, alterum sub terra. sin autem sphaera aequa- biliter cirea axem suum convertitur, omnia in superficie sphaerae puncta aequali tempore similes arcus circu- lorum parallelorum, per quos feruntur, percurrunt [Auto- lyc. de sph. 2]. similes igitur arcus circuli aequinoctialis percurrunt, una ex parte arcum super terram, altera ex parte arcum sub terra. quare arcus aequales sunt. ita- que uterque est semicireulus; quod enim ab ortu ad ortum est vel ab occasu ad occasum, totus circulus est. ergo circulus zodiacus et aequinoctialis bifariam inter se secant. sin autem in sphaera duo circuli bifariam inter se secant, uterque eorum, qui inter se secant, cir- eulus maximus erit [ib. 12]. ergo cireulus zodiacus et aequinoctialis maximi sunt. ei horizon ex maximis circulis est. nam circulum zodiacum et circulum aequinoctialem, qui maximi sunt, semper bifariam secat; ex duodecim enim signis sex semper super terram habet et circuli aequinoctialis semi- eireulum semper supra habet. etenim earum stellarum, quae in eo sunt quaeque simul oriuntur et occidunt, eodem tempore pars ab ortu ad occasum, pars ab oc- casu ad ortum pervenit. adparet igitur ex iis, quae ante demonstrata sunt, aequinoctialis semicireulum semper super horizontem esse. sin autem in sphaera circulus manens maximorum quendam circulorum, qui semper fertur, bifariam secat, etiam ille, qui hune secat, maxi- mus est [ib.] ergo horizon ex maximis circulis est. mundi conversionis tempus est, quo unaquaeque stel- αἰεί Vat. 19. ἀεί αἰεί mg. m. 2 V; in textu Ll, item lin. 20, 29. κόσμου — p. 10 lin. 2 τόπον] om. Vat, ct 10 15 20 10 $AINOMENA παραγίνεται ἢ ἀφ᾽ οὑδηποτοῦν τόπου ἐπὶ τὸν αὐτὸν τόπον. ἐξαλλαγὴ περιφερείας φανεροῦ ἡμισφαιρίου ἐστίν, ὅταν τοῦ προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ὄντος τὺ ἑπόμενον ἀνατεῖλαν καὶ διελϑὸν ὅλον τὸ ὑπὲρ γῆν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς δύσεως γένηται" ἀφα- νοῦς δέ, ὅταν τοῦ προηγουμένου σημείου τῆς περιφε- θξίας ἐπὶ τῆς δύσεως ὄντος τὸ ἑπόμενον δῦναν καὶ διελ- ϑὸν ὅλον τὸ ὑπὸ γῆν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς γέ- vacet. , α΄. Ἢ γῆ ἐν μέσῳ τῷ κόσμῳ ἐστὶ καὶ κέντρου τάξιν ἐπ- ἔχει πρὸς τὸν κόσμον. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ AB, γῆ δὲ ἡμετέρα ὄψις. ἡ πρὸς τῷ Z1 σημείῳ, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη và I, δυτικὰ δὲ τὰ 4, καὶ τεϑεωρήσϑω διὰ διόπτρας κειμένης πρὸς τῷ Z4 σημείῳ Καρκίνος ἀνατέλλων κατὰ τὸ Γ' ση- μεῖον" ϑεωρηϑήσεται ἄρα διὰ τῆς αὐτῆς διόπτρας Αἰ- γόχερως δύνων᾽ ϑεωρείσϑω κατὰ τὸ Α' σημεῖον. καὶ ἐπεὶ τὰ 4, 2, I' σημεῖα διὰ διόπτρας τεϑεώρηται. εὐ- ϑεῖά ἔστιν 1j διὰ τῶν A, 4, I. ὥστε ἡ AAT διάμετρός ἐστι τῆς τε τῶν ἀπλανῶν σφαίρας καὶ τοῦ ξῳδιακοῦ, ἐπειδήπερ τοῦ ξῳδιακοῦ ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα $E ξῴδια ἀποτέμνει. πάλιν δὴ μετακινηϑέντος τοῦ τε τῶν ζῳδίων 8. ἐξαλλαγή — 9. γένηται] om. Vat.; v. schol. nr. 106 et 114. ἐναλλαγήν. ἐστί V. 4. προειγουμένου v, Sed corr.; item lin. 9. 5. ὄντος] οὗτος v. ὅλον] ὅλου v τ΄. 6. τό] corr. ex τόν (comp.) m. 2 V. $8. δύσεως} e corr. m. 1 V. ὄντος τὸ ἑπόμενον δῦναν] in ras. v. δῦναν] corr. ex ἀνατεῖλαν m. 1 V. — 9. τὸ ὑπό] 6 corr. m. 1 V. 14. AB] e corr. V. γῆ δέ] corr. ex γῆ ῥΜέ, ἐφ ἥν m. 1 V. Ante ἡμετέρα add. ἡ m. 2 V. 15. μέν] om. a. 19. ϑεωρείσθω)] ϑεωρήσϑω vv; τεϑεωρήσϑω Vat. ut p. 12 lin. 4. A] in ras. V. 20. Ζ eras. Vat. Post τεϑεώρηται add. τῆς 2 m. 9 Vat, item p. 12 lin. 4. 21. ἡ] om. Vat., add. m. 2. ὥστε] ἔστω ἡ 44 I. φανερὸν δή, ὅτι Vat. 252. scu add. κύκλου m. 2 Vat. ἐπειδήπερ — 924. ἀποτέμνει] fort. delenda. . Verba figurae adscripta hab. V, om. Vat. PHAENOMENA 11 larum inerrantium ab ortu ad proximum ortum pervenit vel a quolibet loco ad eundem locum. permutatio cireumferentiae conspicui hemisphaerii est, si, cum antecedens punctum circumferentiae in ortu est, sequens, postquam ortum est et totum hemisphaerium, quod super terram est, percurrit, in occasu est; occulti autem, sj, cum antecedens punctum circumferentiae in 0ecasu est; sequens, postquam occidit et totum hemi- sphaerium, quod sub terra est, percurrit, in ortu est. L Terra in medio mundo est et ad mundum centri loeum obtinet. βαρέας D καρκίνος ὑδροχόος E p B λέων elyóxsoog A νότος sit in mundo horizon 4B, terra autem visus noster δα punctum Zf, et sint orientales partes I', occidentales autem 4, et conspectus sit per dioptram in puncto Z/ positam Cancer in puncto I' oriens; itaque per eandem -dioptram Capricornus conspieietur occidens. conspiciatur in puncto 4. et quoniam puncta 4, Z1, I' per dioptram conspecta sunt, linea per 4, 71, I' ducta recta est. quare 444 diametrus est et sphaerae stellarum inerrantium et zodiaci, quoniam a zodiaco super horizontem sex signa ab- 12 $AINOMENA J κύκλου καὶ τῆς διόπτρας, τεϑεωρήδθω “έἕων ἀνατέλλων, κατὰ τὸ B σημεῖον: ϑεωρηϑήσεται ἄρα διὰ τῆς αὐτῆς διόπτρας Ὑδρφοχόος δύνων. ϑεωρείσϑω κατὰ τὸ E ση- μεῖον. καὶ ἐπεὶ τὰ Ε΄, ΖΙ. B σημεῖα τεϑεώρηται διὰ διόπτρας, εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν E, 4, B. ἔστω ἡ EAB-*. ἡ EZB ἄρα διάμετρός ἐστι τῆς ve τῶν ἀπλανῶν σφαί- Qc καὶ τοῦ ξῳδιακοῦ κύχλου. ἐδείχϑη δὲ καὶ ἡ AAT". τὸ zl ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς τῶν ἀπλανῶν σφαί- ρας, καί ἐστι πρὸς τῇ γῇ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, ὃ ἂν, 10 ληφϑῇ σημεῖον ἐπὶ τῆς γῆς, κέντρον ἐστὶ τοῦ κόσμου. ἡ γῆ ἄρα ἐν μέσῳ τῷ κόσμῳ ἐστὶ καὶ κέντρου τάξιν. ἐπέχει πρὸς τὸν κόσμον. [^] B. "Ev μιᾷ κόσμου περιφορᾷ ὃ uiv διὰ τῶν πόλων ie 15 σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρϑὸς πρὸς τὸν δρίξοντα" δ᾽ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος πρὸς μὲν τὸν μεσημβρινὸν δὶς, ἔσται ὀρϑός, πρὸς δὲ τὸν Óp(fovra οὐδέποτε. ὅταν δ᾽ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ ἦ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου. [ἐὰν δὲ ἐπί τινος τῶν τροπικῶν ὃ ἶ 20 πόλος 1j jj τοῦ δρίξοντος, ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ἅπαξ ὀρϑὸς ἔσται πρὸς τὸν δρίζοντα᾽ ὅταν δὲ ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος, üevobo τῶν τροπικῶν κύκλων ὑπάρχῃ, δὶς ἔσται ὃ τῶν. ξῳδίων κύκλος ógfüg πρὸς τὸν δρέξοντα.} ἔστω ὁρίξων κύκλος ὃ EBI, καὶ μέγιστος μὲν τῶν 26 ἀεὶ φανερῶν κύκλων ἔστω ὃ Q4, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ἔστω ὁ EZ, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικχὸς ὁ ΗΘΚ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ “ΜΝ, ὁ δὲ τῶν ξῳδέων κύκλος. ϑέσιν ἐχέτω ὡς τὴν KA, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας τὰ 5.0 σημεῖα. καὶ γεγράφϑω διὰ τῶν A, Ο μέγιστος κύκλος. 1. τεϑωρήσϑω Vat. 4. 47 eras. Vat. ὅ. Post διόπτρας add. zt 4 m. 2 Vat. ἔστω ἡ Ἐ4 Β] mihi admodum suspecta. ἡ (tert) — ἐστι] διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ EAB v. — EAB (sit )] ἦε 4 B (sic) v. ἄρα] comp. V, ἔτε L.. 7. ἡ] αἱ v. 9. 6] om, v, ἄν] ἐάν codd. 12. Post κόσμον del c» ἑξῆς m. 1 V. PHAENOMENA 13 seindit. rursus et circulo zodiaco moto et dioptra Leo conspieiatur oriens in puncto B. itaque per eandem di- optram Aquarius eonspicietur occidens; conspiciatur in puneto E. et quoniam puncta E, Z4, B per dioptram con- . Speeta sunt, linea per E, 7, B ducta recta est. sit EZB. itaque £Z/ B diametrus et sphaerae stellarum inerrantium et cireuli zodiaci est. sed demonstratum est, etiam 421 Γ diametrum esse. ergo punetum z/ centrum sphaerae stella- - rum inerrantium est, et est in terra. similiter demon- Strabimus, quodcumque punctum in terra sumatur, id mundi centrum esse. ergo terra in medio mundo est et ad mundum centri locum obtinet. II. In una mundi conversione circulus per polos sphaerae descriptus ad horizontem bis erit perpendicularis, cir- eulus autem zodiacus ad meridianum bis erit perpendi- eularis, ad horizontem autem nunquam, si polus hori- zontis inter aestivum tropieum et polum conspicuum est. [sin autem polus horizontis in alterutro tropicorum est, zodiacus semel ad horizontem perpendicularis erit. sin vero polus horizontis inter circulos tropicos est, zodiacus bis ad horizontem perpendicularis erit.] sit cireulus horizon EBI, et maximus circulorum, qui semper conspieui sunt, sit $27/, maximus autem eorum, qui semper occulti sunt, sit EZ, et aestivus iropieus ΗΘΚ, hiemalis tropicus AMN, zodiaqis autem positionem habeat vel ut K A, sphaerae autem poli sint puncta E, O. et ΩΣ έτος A, O cireulus maximus 18. j. ϑερείνου ἢ Vat sed corr. m. 2; item lin. 26. 19. φανεροῦ πόλου] supra ser. yg. καὶ τοῦ ἀρκτίνου τι. 2. V. ἐάν — 28. ὁρί- | sehe post Pappum interpolata; v. prolegomena. 20. ὀρϑός] ὀρϑῶς v. 25. ἀεὶ ἀφανῶν] ἀειφανων V, sed corr. m. 2. .98. Post 4 ras. 1 litt. V. 29. τῶν &, ΟἹ τοῦ ΚΞ καὶ ἑνὸς τῶν “τοῦ EBI' κύκλου πόλων ἃ (τῶν om, v.) 14 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ὁ 4ΞΕΟ Π' λέγω, ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆ: σφαίρας ὁ uid διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρϑὸς πρὸς τὸν ὁρίξοντα, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος πρὸς μὲν τὸν μεσημβρινὸν δὶς ἔσται ὀρϑός, πρὸς δὲ τὸν ὁρίζοντα οὐ- 6 δέποτε. ὅταν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ τοῦ ΗΘΚ κύχλου καὶ τοῦ (ὶ' πόλου ὑπάρχῃ. A ὅτι μὲν οὖν ὃ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας πρὸς τὸν BET δὶς ὀρϑός ἐστιν, δέδεικται. 1. AH II om. Vat., seq.: ἥξει ἄρα καὶ διὰ τοῦ OV, - sed punctis del, om. cett. 3. μέν] om. Vat. 6. τοῦ — - πόλου) supra scr. γρ᾽ καὶ τοῦ ΒΘ κύκλου τι. 3 V, m. 1]; mg. yo. τοῦ Q4 v; τῶν ΗΘΚ, &4 Vat. HOK H2A0K v. 7. ὃ] supra scr. m. 1 V. 8. Post BET' add. ὁρίξοντα v et supra - m. 2 V. Post δέδεικται hab. schol. 82 in textu [2] ν΄. PHAENOMENA 15 AEEOII; dico, in una sphaerae conversione circulum per polos sphaerae descriptum bis perpendicularem fore ad horizontem, zodiacum autem bis perpendicularem fore ad meridianum, ad horizontem autem nunquam, si polus horizontis inter cireulum H 0 K et polum & sit. eireulum igitur per polos sphaerae descriptum ad BEI' bis perpendieularem esse, demonstratum est (Au- tolye. de sph. 10). 1) Fig. cod. V, in qua duplex ductus inter puncta et K, 4 et H, N quid sibi velit, non video. prior fig. cod. V mirifice depravata est. 2) Fig. cod. Vat. ex 10 15 20 25 30 16 $AINOMENA λέγω, ὅτι καὶ ὃ KA πρὸς τὸν 4.0 μεσημβρινὸν δὶς 1 ἔσται ὀρϑός. ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἵ 42). ΒΓ, ΗΘΚ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν γέγρα- zc. μέγιστος κύκλος ὁ 4ΘΟ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ HO περιφέρεια τῇ ΘΚ' διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ATI τῇ ΠΝ περιφερείᾳ. καί ἐστιν ἴση dj HO K περιφέρεια τῇ ATIN — περιφερείᾳ. ἴση ἄρα καὶ ὁμοία ἡ 4 Π περιφέρεια τῇ ΚΘ περιφερείᾳ. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ K σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΘ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παρα- γίνεται. ἐν τούτῳ καὶ τὸ 4 τὴν AII περιφέρειαν διελ- ϑὸν ἐπὶ τὸ II παρέσται καὶ ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν OBIIT. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ot HOK, ΘΒΠΓ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΞΘΟΠ, ó ΞΘΟΠ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ OBIIT πόλων καὶ ἔσται ὀρϑὺς πρὸς αὐτόν᾽ ὥστε καὶ ó OBIIT πρὸς τὸν Ξ ΘΟ ὀρϑός ἐστιν" πάλιν, ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΘΗ περιφέρεια τῇ ΠΝ περιφερείᾳ, ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ H παραγίνεται. ἐν τούτῳ καὶ τὸ II ἐπὶ τὸ Ν καὶ ὁ τῶν ζῳδίων xóxAog ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν HEN. πάλιν, ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ H.A περιφέρεια τῇ ΜΝ περι- φερείᾳ, ἐν à χρόνῳ τὸ H ἐπὶ τὸ A4 παραγίνεται, ἐν τού- τῷ καὶ τὸ Ν ἐπὶ τὸ Μ καὶ ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν ΑΒΜΤ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΜΙ, 46 ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπταιδ 4,500, : ὀρϑὸς ἄρα ἐστὶν ὁ 4X ΘΟ πρὸς τὸν ABMI" ὥστε καὶ ὁ ABMI' πρὸς τὸν Α4Ξ3ΘΟ ὀρϑός ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ — ὁμοία ἐστὶν ἡ AK περιφέρεια τῇ .4M περιφερείᾳ, ἐν 1. λέγω δή Vat. ὁ ΚΑ ἕῳδιακός v. 46Θ] A09 Ll, AGB v, AO Vat. 9. ἐπεί] ἐπειδή v. HOK] AHOK Vat., ut lin. 14. 4. τέμνουσιν] τέμνουσι V, κτήνουσιν v. 5. Post ἡ add. μέν Vat. 6. διά — ἡ] ἡ δέ Vat. 7. περιφερείᾳ] om. Vat. 8. ὁμοία] om. Vat. 10. παραγίγνεται Vat. αὖ PHAENOMENA 17 .. dieo, etiam K/ ad meridianum 446 bis perpendicu- larem fore. |. mam quoniam in sphaera duo cireudi 9BI, ΗΘΚ secant inter se, per polos autem eorum maximus cir- | eulus 4490 descriptus est, arcus HO arcui ΘΚ aequalis | est (Theodos. II, 9); eadem de causa etiam areus 4 Π areui ΠΝ. et arcus ΗΘΚ arcui A4IIN aequalis est (ib. II, 19). quare etiam arcus A41I arcui KO aequalis et Similis est. quo igitur tempore punetum K, postquam incepit a Καὶ et arcum K6O percurrit, ad Θ pervenit, | eodem etiam 4, postquam arcum 4411 percurrit, ad 17 | perveniet (Autolye. de sph. 2) et circulus zodiacus posi- tionem habebit velut 6 B II: iam quoniam in sphaera | duo eireuli 4 HO K, GBIII' inter se contingunt, per alterutrius autem polos et punctum contaetus maximus eireulus ZG0II descriptus est, E GO0II etiam per polos eireuli 8 BII T veniet (TTheodos. IL 5) eritque ad eum | perpendicularis (ib. I, 15); quare etiam 6 BIII' ad 59011 perpendieularis est. rursus, quoniam arcus ΘΗ arcui .JIN similis est, quo tempore Θ ad H pervenit, eo etiam II ad N et circulus zodiacus positionem habebit velut ΣΝ. rursus, quoniam arcus H.4 arcui MN similis est, quo tempore H ad 4 pervenit, eo etiam Ν ad M et eireulus zodiacus positionem habebit velut 4 BMI-. lam quoniam in sphaera duo circuli 4B MI, 40 inter se contingunt, per alterutrius autem polos et punctum eontactus maximus circulus 4,59 0 descriptus est, cir- eulus 45090 ad ABMI' perpendicularis est (ib. IL 5; L 15); itaque etiam 4BMI' ad 4500 perpendicu- laris est. rursus, quoniam areus 4 K areui MA si- lin. 20, 23. 11. Post 4 add. ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A4 καί Gre- orius. 16. καί OBIII'] supra scr. m. 2 V. 18. Post ἐστιν . 4—6 litt. a praeter v. ἐπεὶ ὁμοία] ὁμοία ἐπεί v. 21. £o- δίω» eorr. ex ξῳδιακῶν V. 38. H— 4] A— H v. 29. Ante πάλιν lac. 3 litt. V. 30. 4M] MA Vat. Euclides, edd, Heiberg et Menge. VIII. 9 1 e 15 20 25 18 $AINOMENA Q ἄρα χρόνῳ τὸ 4 ἐπὶ τὸ Καὶ παραγίνεται, àv τούτῳ καὶ τ 4 4 τὸ M ἐπὶ τὸ 4 παρέσται καὶ ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος 9 σιν ἕξει ὡςτὴν K A. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Καὶ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΘΗ Καὶ περιφέ- ρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Καὶ παραγίνεται, ὅς ἐστι χρόνος μιᾶς τοῦ κόσμου περι- φορᾶς, ἐν τούτῳ ó KA κύκλος δὶς ἔσται ὀρϑὺς πρὸς τὸν AO κύκλον. τῶν αὐτῶν ὑπο- κειμένων ἔστω ὃ πόλος τοῦ BEI κύκλου μεταξὺ τῶν Θ, AX σημείων" λέγω, ὅτι οὐδέ- πότε ἔσται ὁ ΚΑ ξῳδιακὸς κύκλος ὀρϑὸς πρὸς τὸν ΒΕΓ δρίξοντα. εἰ γὰρ ἔσται ὁ ΚΑ óg90g πρὸς τὸν ΒΕ ΓΚ, τεμεῖ αὐτὸν διὰ τῶν πόλων καὶ ἐλεύσεται διὰ τοῦ πόλου τοῦ Figuras p. 18, 20, 23 praebet Vat. 1. ἄρα] om. Vat. παραγίγνεται Vat. ut lin. 9. 92. ὁ] om. v. 3. KA] KZXA in ras. Vat. 17. KOHA Vat. —9. παραγίνεται] om. v. 10. μιᾶς τοῦ] mg. m. 2 V. 11. τοῦ — 14. ὀρϑός] περι- φορᾶς τῆς σφαίρας, δὶς ἔσται ὁ KA κύκλος πρὸς ὀρϑάς Vat. 13. ὁ ΚΑ κύκλος] in ras. V. κύκλορ] ξῳδιακός v; v. 5080). nr. 46. 14. Post ἔσται del. κύκλος v. 1ὅ. 40] ARO00 Vat. m.2. A40O κύκλον] ὁρίξοντα V, sed del. et mg. scr. AO κύκλον PHAENOMENA 19 milis est, quo tempore 44 ad K pervenit, eo etiam M ad 4 perveniet et cireulus zodiaeus positionem habebit velut Κα. ergo quo tempore K, postquam a puneto K incepit et areum KO HAK percurrit, ad Καὶ pervenit, quod tempus est unius mundi conversionis, eo circulus ΚΑ ad cireulum 4 O bis perpendicularis erit. iisdem suppositis polus eirculi B ET' sit inter puncta 6, E; dico, circulum zodiaeum K// ad horizontem ΒΕΓ nunquam perpendicularem fore. nam si KA perpendicularis erit ad ΒΕ ΓΚ, secabit eum per polos ((Theodos.I, 13) et veniet per polum ho- rizontis, qui inter puncta Θ, X est, et secabit cireulum AH K, id quod fieri non potest. ergo circulus zodiacus ad horizontem BEI'K nunquam perpendicularis erit. [sit autem polus horizontis in cireulo 4HMK?) punctum M; dico, circulum zodiaeum semel ad hori- zontem perpendicularem fore. nam quoniam areus K M arcui ANN similis est, quo tempore K, postquam areum KM percurrit, ad M per- venit, eo etiam .4 ad Ν᾿ perveniet et cireulus zodiacus (comp.) m. 1. Post κύκλον add. ἤτοι τὸν μεσημβρινόν v; v. schol. nr.47. 16. y vv. 18. BEI'| BAT'V, BEI'K Vat. 19. μεταξὺ τῶν 0, E σημείων] supra scr. m. 2 V et e corr. m. 2 Vat.; m. 1 V Vat: τὸ O σημεῖον. 25. ὁρίξοντα — 26. BED'K] om. Vat. mg. add. m. 2. 27. διά (alt) — p. 20 lin. 1 σημείων] mg. m. 2 V (γράφεται); in textu διὰ τοῦ Θ᾽ σημείου punctis del.; διὰ τοῦ αὐτοῦ τοῦ Θ (Ὁ) σημείου Vat. sed τοῦ O σημείου eras. et in ras. scr. τοῦ πόλου, ὅς ἐστι μεταξὺ τῶν Θ, E ση- μείων τοῦ τροπικοῦ καὶ τοῦ ἀρκτικοῦ καί m. 9. 1) Ea manus, quae figuris cod. V (v. p. 21) litteras addidit, per totam sequentem demonstrationis partem super M scr. 6, II super N (om. p. 22 lin. 19); v. prolegomena. 9* 20 ὁρίζοντος, ὅς ἐστι μεταξὺ τῶν O, & σημείων, καὶ τεμεῖ τὸν AH K, ὕπερ ἀδύνατον. οὐδέποτε ἄρα ἔσ ὁ KA ἕῳδιακὸς πρὸς τὸν ΒΕΓΚ 5 ὁρίζοντα. [ἔστω δὲ ὁ πό- Aog τοῦ ὁρέξοντος ἐπὶ τοῦ AHMK "0 M σημεῖον" 10 λέγω, ὅτι ἅπαξ ἔσται ὃ ξῳδιακὸς κύκλος ὀρϑὸς πρὸς τὸν ὁρέ- — ξοντα. 16 ἐπεὶ γὰρ ὁμοία ἐστὶν ἡ K M περι- φέρεια τῇ AN περιφερείᾳ, ἐν à χρόνῳ τὸ Καὶ τὴν 20 ΚΑΜπεριφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ . M παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ 4 ἐπὶ τὸ Ν παρ- 25 ἕσται καὶ ὃ τῶν ζῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν ΜΒΝΙ͂. ἐπεὶ οὖν ὁ ΜΒΝΓ τὸν ΗΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ 4 Ν 2. AHK] AOK Vat. Supra AH K scr. τροπικόν m. 2. V, in textu m. 1 Vat. ἄρα] comp. V, ἔτε Ll; item saepissime. 6. ἔστω — p.22 lin. 25 óoífovra post Pappum interpolatum; v. prolegomena. 11. ὁ ἕζωδιακός] ὁ ΚΑ Vat. 571. ὡς τήν] καὶ τοῦ v. 29. ΜΒΝΤῚ M corr. ex K m. 2 Vat; add. ξῳδιακός v. HBI'.H mut. in Καὶ m. 2 Vat; add. ὁρίξοντα Vat. v et supra m. 2 V. δίχα — p. 22 lin. 1 vsusi] supra scr. m. 2 V. ταν ὀρϑὸς PHAENOMENA 21 positionem habebit velut MBNI: iam quoniam circulus MBNT' circulum HBI' per polos secat, et in duas partes aequales eum secabit et ad angulos rectos ('Theodos. I, 15). ergo circulus zodiaeus ad horizontem perpendicularis est. sit autem polus horizontis inter tropicos punctum O; dico, circulum K 4 ad horizontem bis perpendicularem fore. desceribantur per polum O circuli maximi ΣΟΊ, ΠΟΡ eireulum 4HMK contingentes; contingent igitur etiam eireulum ΝΡ (ib. II, 6). et quoniam HOP circulum Figurae vitiosae codd. a ad interpolatam demonstrationis partem hae suni: α ϑερινός T διὰ τοῦ πόλου τῆς σφαίρας ν χειμερινός κύκλος μεσημβρινός. In fig. 1 om. y, f, in fig. 2 μι, y L. 10 15 20 25 22 $AINOMENA τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρϑάς" ὀρϑὸς ἄρα ἐστὶν ὃ τῶν ξῳδίων κύκλο: πρὸς τὸν δρέξοντα. ἔστω δὲ ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ τῶν τροπικῶν τὸ O σημεῖον" λέγω, ὅτι δὶς ἔσται ὁ ΚΑ κύκλος ὀρϑὺὸς πρὸς τὸν ὁρίξοντα. γεγράφϑωσαν διὰ τοῦ Ο πόλου μέγιστοι κύκλοι οἱ Z0 T, ΠΟΡ ἐφαπτόμενοι τοῦ AHM K*. ἐφάψονται δὴ καὶ τοῦ NP. καὶ ἐπεὶ ὃ IIO P vóv ΠΕ Κ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρϑάς" ὀρϑὸς ἄρα ἐστὶν ὃ ΠΡ κύχλος πρὸς τὸν H E K. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ EOT πρὸς τὸν HE Καὶ ὀρϑός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτω- τόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ Καὶ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ K, A4 μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ 2) ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ và 2, T μέρη, ὁμοία ἐστὶν ἡ ΚΣ περιφέρεια τῇ AT. περιφερείᾳ. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ K ἐπὶ τὸ 2) παραγίνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ 4 ἐπὶ τὸ T παρέσται καὶ ὃ Κ4 κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν ZT κύχλον᾽ ὁ δὲ ET κύκλος ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν HEK* καὶ ὃ KA ἄρα κύκλος ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν ΠΕ Κ κύκλον. πάλιν. ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἣ ZMII περιφέρεια τῇ TNP, ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Z2 ἐπὶ τὸ II παραγίνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ T ἐπὶ τὸ P παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν IIO P κύκλον ὁ δὲ IIO P κύκλος δρϑός ἐστι πρὸς τὸν HEK: καὶ ὁ τῶν ξῳδίων ἄρα κύκλος ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν HEK ὁρίξοντα. δὶς ἄρα ἔσται ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος ὀρϑὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.] 1. ἄρα] comp. V, ἔτι Ll. 4. ΟἹ corr. ex 8 V. 6. el 6 a. 7. EO TT, ΠΘΡ à (prius € corr. ex O m. 2 V); item lin. 23 IIOP (utrumque) 8. NP] TNP Vat. 9. αὐτόν] αὐτοῦ v. 10. ΠΡῚ IIOP Vat. 11. XOT] XOT a. 14. AT] supra HII deletum scr. m. 1 V. 17. XT (prius)] e corr. m. 2 V, EII Llv' ὁ — 18. καί] mg. m. 2 V (κεέμενον). 18. κύκλος] om. Vat. ἐστι] om. Vat, add. m. 2; item τόν. 19. ZMII] deleto TP scr. ZII m. 1 V; AMII v. 20. παραγίγνεται Vat. 21. παρέσται] παραγίνεται v. 22. ipse -&, e corr. V. κύκλος] om. Vat, add. supra m. 2. 94. τόν] corr. ex τήν m. 2 Vat. Latinis PHAENOMENA 28 . HEK per polos secat, et in duas partes aequales eum | secabit et ad angulos rectos. itaque circulus ΠΡ ad cir- culum HEK perpen- dieularis est. eadem de causa igitur etiam ZOT ad HEK per- pendieularis est. et quoniam semicircu- lus a puncto K ad partes K, 4 cum se- micirculo a puneto Z ad partes Z, T non concurrit, arcus K X arcui 4 T' similis est (Theodos.II, 13). quo igitur tempore Καὶ ad Z pervenit, eo etiam 4 ad T perveniet et cir- culus K 4 cum circulo ZT congruet. verum cireulus ZT ad HEK perpendieularis est. quare etiam circulus KAadceireulum HEK perpendieularis est. rursus quoniam areus 2M IJ arcui TNP similis est, quo tempore Z ad II pervenit, eo eliam T' ad P perveniet et circulus zodiacus cum cir- eulo Z7/O P congruet. verum cireulus ΠΟΡ ad HEK perpendieularis est. quare etiam circulus zodiaeus ad horizontem HEK perpendicularis est. ergo circulus zodiaeus ad horizontem bis perpendicularis erit.] Fig. littera B addita integram dedi ex Vat., etsi Manitius recte animadvertit, horizontem H K E per circulorum arctici et antarctiei polos E et B describendum fuisse; propter demon- sirationem ipsam nihil mutavi. 24 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ 4 | | , | 7. | Τῶν ἀπλανῶν ἄστρων τῶν ἀνατολάς τε καὶ δύσεις, ποιουμένων ἕκαστον κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ hb ἀνατέλλει καὶ δύνει. ὅ ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ó ABI, καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν κύκλων ἔστω ὃ 441 κύκλος, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὃ BHZ, καὶ εἰλήφϑω ἄστρον τὸ Θ᾽ τῶν ἀνατολὰς καὶ δύσεις ποιουμένων. καὶ ἔστω ἀνατο- λικὰ μὲν τὰ Γ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ K- λέγω, ὅτι τὸ Θ᾽ 10 σημεῖον ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλ- λὲν τε καὶ δύνει στρεφομένης τῆς σφαίρας. ἔστω κύκλος, καϑ' οὗ φέρεται τὸ Θ σημεῖον. ὁ Καὶ ΘΓ" ὁ ΚΘΓ ἄρα κύκλος τέμνει τὸν δρέζοντα καὶ ὀρϑός ἐστι, πρὸς τὸν ἄξονα τῆς σφαίρας. οἱ δὲ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρϑὰς 15 ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες τὸν δρίξοντα τὰς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ δρίξοντος ποι- οὔνται. ὃ KOI' ἄρα κύκλος ἀεὶ κατὰ μὲν τὸ I' σημεῖον ἀνατέλλει, κατὰ δὲ τὸ K δύνει. καὶ φέρεται τὸ Θ ἄστρον ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΚΘΙΓ κύκλου" καὶ τὸ O ἄρα 20 ἄστρον ἀεὶ κατὰ μὲν τὸ Γ σημεῖον ἀνατέλλει, κατὰ δὲ τὸ K δύνει. δ΄. Ὅσα τῶν ἄστρων ἐστὶν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφε- θείας, ὃς μήτε τέμνει τὸν μέγιστον τῶν ἀεὶ φανερῶν 26 χύχλων μήτε ἐφάπτεται αὐτοῦ, τούτων τὰ πρότερον ἀνατέλλοντα καὶ πρότερον δύνει καὶ τὰ πρότερον δύ- νονταὰ πρότερον ἀνατέλλει. i. y'] ἄλλως v, δ΄ ν΄. 4. τε καί Vat. 6. κύκλων] in ras. V, om. Vat. 7. ἀφανῶν] & postea add. m. 1 V, Vat. ἄστρον] ἄστον v; σημεῖον Vat. ut lim. 18, wet 11. στρεφομένης τῆς σφαίρας fortasse interpolatum. o] ὅν ἃ. 16. τάς] om. Vat. 22. δΊ ε΄ v. 234. τέμνη Vat. 25. ἐφάπτηται Vat. πρότερα v. 21. ἀνατέλλει] ἀνατέλλοντα v. PHAENOMENA 25 I1. Unaquaeque stellarum inerrantium, quae et ortus et occasus faciunt, in iisdem punctis horizontis et oritur et occidit. sit in mundo horizon ABI, et maximus cireulorum, qui semper conspicui sunt, sib 471 E, maximus autem eorum, qui semper occulti sunt, B HZ, et sumatur stella 6€ ex iis, quae ortus et occasus faciunt, et sint partes orientales I, occidentales autem K; dico, punctum Θ᾽ in sphaerae conver- sione semper in iisdem horizontis punctis et oriri et occidere. sit circulus, per quem punctum 6 fertur, KO I* itaque circulus KOI' horizontem 'secat et ad axem sphaerae perpendicularis est (Autolyc. de sph. 1). circuli autem, qui ad axem perpendicu- lares sunt et horizontem secant, et ortus et occasus in iisdem ho- rizontis punctis faciunt (ib. 1). itaque cireulus K OI' semper in puncto Γ᾽ oritur et in K occidit. et fertur stella Θ᾽ in ambitu circuli K OT. ergo stella Θ᾽ semper in puncto Γ᾽ oritur et in K oc- cidit. IV. Quaeeumque stellae in ambitu cireuli maximi sunt, qui maximum circulorum, qui semper conspicul sunt, neque secat neque contingit, earum, quae prius oriuntur, etiam prius occidunt, et quae prius occidunt, prius ori- untur. 10 15 20 26 $AINOMENA ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὃ ABI' καὶ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ὃ AA E, ἕτερος δὲ μέγιστος κύκλος ἔστω ὃ ΓΖΒ, μήτε τέμνων τὸν A4 E κύκλον μήτε ἐφαπτόμενος αὐτοῦ. καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΓΖΒ κύ- κλου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Z, H: λέγω, ὅτι τῶν Z, H. σημείων τὸ πρότερον ἀνατέλλον πρότερον δύνει καὶ τὸ πρότερον δῦνον πρότερον ἀνατέλλει. ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Γ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Β, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι, xo9' ὧν φέρεται τὰ Ζ, H σημεῖα, οἱ ΘΚ, AM, καὶ διὰ τοῦ Ζ γεγράφϑω μέγιστος κύχλος ὁ NZE ἐφαπτόμενος τοῦ 44} κύκλου, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ E ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ E, Z, Ν μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ 44 ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ A, | μέρη. ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖ περιφέρεια τῇ ΜΝ περι- φερείᾳ᾽ λοιπὴ ἄρα ἡ ZO περιφέρεια καὶ ἡ συνεχὴς αὐτῇ ὑπὸ γῆν ἡ μέχρι τοῦ K σημείου ὁμοία ἐστὶ τῇ ΝΖ περι- φερείᾳ καὶ τῇ συνεχεῖ αὐτῇ ὑπὸ γῆν μέχρι τοῦ M ση- μείου. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὰ Z, Ν σημεῖα τὰς ZO, NA καὶ τὰς συνεχεῖς αὐταῖς μέχρι τῶν K, M σημείων δια- πορεύεται. τὰ Ζ, Ν ἄρα σημεῖα ἅμα ἀνατέλλει" τὸ δὲ Η τοῦ Ν πρότερον ἀνατέλλει" καὶ τὸ Η ἄρα τοῦ Ζ πρότερον ἀνατέλλει. λέγω, ὅτι καὶ πρότερον δύνει. γεγράφϑω διὰ τοῦ Ζ σημείου μέγιστος κύκλος ὁ EZ ἐφαπτόμενος τοῦ 441 κύκλου, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ 41 ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ 44, Z, A μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ .4 ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 4, 0 μέρη" ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ A περιφερείᾳ" ἐν ἴσῳ ἄρα 2. In. AZ E desinit v. 8. μήτε (pr.)] μή Vat. 6. Super δύνει et l 7 super ἀνατέλλει add. καί m. 2 Vat. 18. E] om. Vat. ΓΊῚ Καὶ Vat. 17. αὐτῇ τῇ Vat. 421. καί — 32. &va- τέλλει] supra m. 2 V. 26. 4 (prius)] corr. ex 4 m. 2 V. 28. ZO] ante Z 1 litt. del, Θ᾽ add. m. 2 V. EA] 4 corr. ex 4 m. 1 V. PHAENOMENA 21 sit in mundo horizon 4BI' et maximus circulorum, | qui semper conspicui sunt, 471 E, alius autem circulus maximus sit l'ZB circulum 471 E neque secans neque | eontingens, et sumantur in ambitu circuli I'ZB duo quaevis puncta Z, H; dico, punctorum Z, H utrum prius oriatur, id prius occidere, et utrum prius occidat, id prius oriri. sint partes orientales I; occidentales autem B, et sint circuli paralleli, per quos puncta Z, H feruntur, ΘΚ, AM, et per Z describatur maximus circulus NZE cir- culum 471 E ita contingens, ut semicireulus ab E ad partes E, Z, N cum semi- circulo ab 44 ad partes 4, Γ non concurrat ('Theodos. IT, 15). itaque arcus KZ arcui MN similis est (ib. II, 13). reliquus igitur arcus ΖΘ et continua eius pars, quae sub terra est, usque ad punetum K similis est arcui ΝΖ. et continuae eius parti, quae sub terra est, usque ad punetum M. aequali igitur lempore puncta Z, N arcus ZO, ΝΖ et continuas eorum paries usque ad puncta Καὶ, M percurrunt (Autolyc. de sph.2). itaque puncta Z, N simul oriuntur. verum H prius oritur quam .N. ergo H etiam prius oritur quam Z. dico, idem prius occidere. describatur per punctum Z maximus circulus EZ eireulum 421 E ita contingens, ut semicirculus ab Z/ ad partes Z/, Z, ' cum semicirculo ab 4 ad partes 4, 9 non concurrat (Theodos. II, 15). itaque arcus Z6 arcui Figuras propp. IV et V praebet Vat., figg. codd. a depra- vatae sunt. 10 1ὅ 20 28 $AINOMENA 1 El 3: χρόνῳ τὸ Z σημεῖον τὴν ZO περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ τὸ Ξ' σημεῖον τὴν EA περιφέρειαν. τοῦ Z ἄρα ση- μείου ἐπὶ τὸ Θ σημεῖον παραγενομένου καὶ τὸ ΚΞ ἐπὶ τὸ A παρέσται" τὰ Z, E ἄρα σημεῖα ἅμα δύνει. τὸ δὲ H τοῦ X πρότερον δύνει᾽ τὸ Η ἄρα xol τοῦ Ζ πρότερον δύνει. ᾿ ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ πρότερον δῦνον πρό- τερον ἀνατέλλει. , es Ὅσα τῶν ἄστρων ἐστὶν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφε- φείαρ, ὃς τέμνει τὸν μέγιστον τῶν ἀεὶ φανερῶν, τούτων͵ τὰ πρὸς ταῖς ἄρχτοις ὄντα πρότερον μὲν ἀνατέλλει,, ὕστερον δὲ δύνει. ἔστω ἐν χύσμῳ δρίξων ὁ 4181 καὶ μέγιστος τῶν àal φανερῶν ὃ AAE, ἕτερος δὲ μέγιστος κύκλος ἔστω δ᾽ ΓΖΒ τέμνων ibn AAE κύκλον. καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΓΖΒ κύκλου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Z, H, καὶ ἔστω τὸ Z σημεῖον πρὺς ταῖς ἄρκτοις" λέγω, ὅτι τὸ Z σημεῖον τοῦ Η πρότερον μὲν ἀνατέλλει, ὕστε- ρον δὲ δύνει. ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ I' μέρη.. δυτικὰ δὲ τὰ B, καὶ ἔστωσαν κύκλοι παράλληλοι, καϑ᾽ ὧν φέρεται τὰ Ζ, H σημεῖα, οἱ ΘΚ, AM, xci γεγράφϑω διὰ τοῦ Z σημείου μέγιστος visis ὃ ΝΖΕ ἐφαπτόμενος τοῦ 441 κύκλου, ἰ ' ; 1 1. Z] corr. ex Καὶ m. 1 V. 2. A] corr. qu Mm 1 V; item - lin. 3. 4. A] corr. ex Z m. 1 de τὸ δέ (comp.) xei] om. V, sed δέ del. m. 2; καὶ τό Vat. 9. ἀπ v. 12. ταῖς] comp. Vl, τοῖς ν΄ Vat. 28. oi] corr. ex ἡ m. 2 V, - αἱ Ll. PHAENOMENA 29 EA similis est. aequali igitur tempore punetum Z ar- eum ΖΘ percurrit e& punetum X arcum &4. itaque cum punetum Z ad punetum 6 pervenit, etiam X ad 4 per- veniet. quare puncta Z;5 simul occidunt. verum H prius occidit quam X. ergo H etiam prius occidit quam Z. |. similiter demonstrabimus, punctum prius occidens etiam prius oriri. V. -. Quaecumque stellae in ambitu cireuli maximi sunt, qui maximum circulorum, qui semper conspieui sunt, secat, earum, quae ad septentriones sunt, prius oriuntur, poste- rius autem occidunt. sit in mundo horizon 4BI' et maximus cireulorum, qui semper con- Spieui sunt, AAE, alius au- tem circulus maximus sit I' ΒΖ cireulum AZLE secans et sumantur in ambitu cireuli I'ZB duo quae- vispuncta Z, H, et sit punctum Z ad septentri- ones;dico,pune- tum Z prius oriri quam IH, posterius autem occidere. . sint partes orientales I', occidentales autem B, et sint €ireuli paralleli, per quos puneta Z, H feruntur, 6 K, -4M, et describatur per punetum Z maximus circulus ΝΖΕ cireulum A4Z/E ita contingens, ut semicirculus ab e 10 15 20 25 30 30 OAINOMENA ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ E ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Z, N τῷ ἀπὸ τοῦ A4 ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 4, Γ, K μέρη" ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἣ ΖΚ περιφέρεια τῇ NM πε- ριφερείχ᾽ λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΖ περιφέρεια καὶ ἡ συνεχὴς αὐτῇ ὑπὸ γῆν Μέχρι τοῦ Καὶ σημείου ὁμοία ἔσται τῇ AN. περιφερείᾳ καὶ τῇ συνεχεῖ αὐτῇ τῇ ὑπὸ γῆν μέχρι τοῦ M σημείου. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὰ Z,N ϑήμενα τὰς Z0, NA περιφερείας καὶ τὰς συνεχεῖς αὐταῖς τὰς μέχρι τῶν K, M σημείων διαπορεύεται" τὰ Ζ, Ν σημεῖα ἄρα ἅμα ἀνατέλλει" τὸ ὃὲ Ν τοῦ H πρότερον ἀνατέλλει" καὶ τὸ Ζ ἄρα τοῦ Η πρότερον ἀνατέλλει. λέγω, ὅτι καὶ ὕστερον δύνει. γεγράφϑω διὰ τοῦ Z σημείου μέγιστος κύκλος ὁ E Z4 ἐφαπτόμενος τοῦ 441 E κύκλου, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ 21 ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ 4, A μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ 4 ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 4, O μέρη. ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ £O περιφέρεια τῇ A περιφερείᾳ. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ. τὸ Z τὴν ZO περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Ξὶ τὴν Ξ4 τοῦ Z ἄρα ἐπὶ τὸ Θ σημεῖον παραγενομένου καὶ τὸ 3 ἐπὶ τὸ 4 παρέσται. τὰ Ζ, A ἄρα σημεῖα ἅμα δύνει. τὸ δὲ H τοῦ XM πρότερον δύνει" καὶ τὸ H ἄρα τοῦ Z πρότερον δύνει" ὥστε τὸ Z τοῦ Η ὕστερον δύνει" ἐδείχϑη δὲ καὶ πρότερον ἀνατέλλον᾽ τὸ Z ἄρα τοῦ Η πρότερον μὲν ἀνατέλλει, ὕστερον δὲ δύνει. E. Τὰ ἐπὶ τοῦ ξῳδιαχκοῦ κύκλου ἄστρα và κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει" ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ. ἔστω ἐν κόσμῳ δρίξων ὃ ABI, ὃ δὲ τῶν ξωδίων. rci ϑέσιν tre τὴν AHBA, ἰσημερινὸς δὲ ἔστω ὃ 9. N]e corr, ex K m. 2 V. Post N add. μέρη m. 1 Vat. A νῶι om, Vat. 8. ὁμοία — 9. διαπορεύδται) mg. m. 2 V (xslusvov). 3. NM] MN Vat. 9. Post σημεῖα ras. 3 litt. V. PHAENOMENA 31 E velut ad partes Z, N cum semicireulo ab 4 velut ad | partes I; K non coneurrat (Theodos. II, 15). itaque areus ΖΚ areui NM similis est (ib. II, 13). reliquus igitur areus ΘΖ et continua eius pars, quae sub terra est, usque ad punctum K similis erit areui ΔΝ et con- linuae eius parti, quae sub terra est, usque ad pune- ium M. aequali igitur tempore puncta Z, N arcus ΖΘ, INA et continuas eorum partes usque ad puncta K, M pereurrunt (Autolye. de sph. 2). itaque puneta Z, N simul oriuntur. verum NN prius oritur quam H. ergo eliam Z prius oritur quam H. dico, idem posterius occidere. describatur per punctum Z maximus circulus 5 Zz eireulum 47/1E ita contingens, ut semicireulus ab 7f velut ad partes 7f, 5! eum semicireulo ab 4 ad partes 4, Θ non coneurrat (Theodos. II, 15). itaque areus ΖΘ areui 5 similis est (ib. II, 13). aequali igitur tempore Ζ arcum ΖΘ percurrit et Ξἰ areum ΞΔ (Autolyc. de sph. 2). itaque cum Z ad punctum O pervenit, etiam A ad 4 perveniet. quare puncta Ζ, καὶ simul oecidunt. verum ΠῚ prius oecidit quam A. ergo Z posterius oc- eidit quam H. sed demonstratum est, idem prius oriri. ergo Z prius oritur quam ΕἾ, posterius autem occidit. VI. Eae stellae, quae in cireulo zodiaco iuxta diametrum oppositae sunt, coniugàte et oriuntur et occidunt; simi- liter etiam eae, quae in aequinoctiali sunt. sit in mundo horizon 4BI;, zodiacus autem circulus positionem habeat 4HB 1, aequinoctialis autem sit EZ 7, 15. 4] (alt)] Z Vat. 16. 4, 0] O, 4 in ras. m. 2 Vat. ὁμοία — 20. παρέσται mg. m. 2 V. ἄρα] ἔτι Ll. 20. Post τά add. δέ (comp.) m. 2 V. 24. μέν] om. Vat. 25. 5 P v. 80, 484 Vat. Post ἔστω add. αὐτῶν Vat. 10 15 20 25 39 GAINOMENA e EZLZ: καὶ ἔστω τὰ ὑπὲρ γῆν τμήματα τὰ AHB,EH Zo κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν 4 σημεῖον τῷ 8. τὸ à E τῷ Z' λέγω, ὅτι τά τε .4, B σημεῖα καὶ τὰ E, Z ση- μεῖα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει. ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ 4, I' μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ B, E, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι, x«9' ὧν φέρεται τὰ 4, B σημεῖα οἱ 40, BI, καὶ ἔστω τὸ μὲν 4 τμῆμα τὸ ὑπὲρ γῆν, τὸ δὲ Β Γ τὸ ὑπὸ γῆν. ἐπεὶ κατὰ διάμετρόν ES d eot ἐστι τὸ μὲν A σημεῖον τῷ B, τὸ δὲ E τῷ Ζ, ἴση ἄρα dj ΕΒ περιφέρεια τῇ AZ περιφερείᾳ ἀλλ᾽ ἡ ΕΒ τῇ ZIP ἴση ἐστίν. xol ἡ AZ ἄρα τῇ ZI' ἴση ἐστιν. καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΕΖΖ ἴσος ἄρα ἐστὶν ὃ 49 κύκλος τῷ Β΄ κύκλῳ. καί ἔστιν αὐτῶν τὰ ἐναλλὰξ τμήματα τὰ 40, BI" ἴση ἄρα ἐστὴν ἡ 40 περιφέρεια | vj BI' περιφερείᾳ ἐν ἰσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ A4 σημεῖον |. τὴν 41Θ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παρέσται καὶ τὸ B τὴν ΒΓ διελϑὸν ἐπὶ τὸ Γ' παρέσται. ἀλλὰ τὸ μὲν | A τὴν AO διελϑὺὸν καὶ ἐπὶ τὸ Θ παραγενόμενον δύνει. τὸ δὲ B τὴν ΒΓ διελϑὸν καὶ ἐπὶ τὸ Γ' παραγενόμενον ἀνατέλλει" τοῦ 4 ἄρα δύνοντος τὸ B ἀνατέλλει. ὁμοίως δὲ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ 44 ἀνατέλλοντος τὸ B δύνει. πάλιν, ἐπεὶ ἡμικύκλιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΗΖ. ZAE, ἴση ἐστὶν ἡ Z4 E περιφέρεια τῇ E H Z περιφερείᾳ" ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΖΕ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ E παρέσται καὶ τὸ E τὴν ΕΖ Z περιφέ- 1. EZ4] EZ Vat. Post τά (pr. ins. μέν Vat. 2. ἄρα] om. ; Vat, supra add. m. 2. 3. σημεῖα] punctis del. Vat. 5. ΓἾ om. Vat. ΕἸ om. Vat. 7. οἱ] corr. ex ὁ V. 8. γῆν (prJ] γῆς Vat. ἐπεί] supra add. καί m. 2 Vat. 9. ἄρα] om. Vat. ἡ] ἐστίν ἡ Vat. 11. καί ἐστι] mg. m. 9 V. 12. EZ4| E42 Vat. 14. 40 (pr)] AZ V. 15. τῇ BI' περιφερείᾳ] mg. m. 2 Vat. 21. δέ] δή Vat. 422. ΕΗΖ] cor. ex EZH V. 84. ΖΕ] ZHE Vat. Verba figurae cod. V et adscripta et inscripta om. Vat., item in propp. seqq. deno... PHAENOMENA 38 el sint eorum segmenta super terram A4HB, ΕΗΖ. ita- que puncta 4, B et E, Z iuxta diametrum opposita sunt; dieo, puncta et 4, B et E, Z coniugate et oriri et oc- cidere. sint partes orientales 4, I, occidentales autem B, E, et sint eireuli paralleli, per quos puncta A4, B feruntur, 40. ΒΓ, et sit 46 segmentum super terram, BI'autem segmentum sub A παράλληλον terra. quoniam puneta 4, B et E, Z iuxta diametrum op- posita sunt, arcus ΚΒ arcui 44Z aequalis est; verum EB ipsi ZI' aequalis est; quare eliam 432. ipsi ZI' aequalis est. et EZ4 maximus cir- culorum parallelo- rum est. itaque cir- culus 46 cireulo BI' :5dá est ((Theodos. II, 11). et 40, BI'alterna eorum segmenta sunt. flags arcus 49 areui BI' aequalis est (ib. II, 19). aequali igitur tempore punctum 4, postquam areum 446 percurrit, ad 6 perveniet et B, postquam areum BI' percurrit, ad I' perveniet (Autolye.de sph.2). verum .4, postquam arcum 446 percurrit et ad Θ᾽ pervenit, occidit, B autem, postquam areum BI' percurrit et ad I" pervenit, oritur. ergo puncto 44 occidente B oritur. similiter demonstra- bimus, etiam 44 oriente B occidere. rursus, quoniam uterque arcus ΕΗΖ, Z4ZE semicircu- lus est (Theodos. I, 11), arcus ZZE arcui EHZ aequalis est. aequali igitur tempore punctum Z, postquam arcum ΖΕ pereurrit, ad E perveniet et E, postquam arcum Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 8 10 15 20 25 30 34 Q$AINOMENA v θείαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Z παρέσται. ἀλλὰ τὸ μὲν Z τὴν ΖΕ διελϑὸν καὶ ἐπὶ τὸ E παραγενόμενον δύνει, τὸ δὲ E τὴν EAZ διελϑὸν καὶ ἐπὶ τὸ Ζ παραγενόμενον ἀνατέλ- λει τοῦ Z ἄρα δύνοντος τὸ E ἀνατέλλει. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ Ζ ἀνατέλλοντος τὸ Ε δύνει. ὁμοίως δὲ καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τοῦ ξῳδιακοῦ κύκλου ἄστρα, καὶ τὰ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα xarà συξυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει. E. Ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρί- ξοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν κύχλων ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, ὅταν ὃ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν μὴ μείξων ἦ τοῦ τροπικοῦ κύκλου, καὶ τροπᾶς ποιεῖται ἐναντίως μεϑιστάμενος. ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσ- ημβρίαν μεϑίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεϑ- ἱστάμενος φαίνεται" ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρχτους μεϑίστηται, ταῖς δύδσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεϑιστάμενος φαίνεται. καὶ ἀλλοτε ἄλλως ὕπερ ἡμᾶς ἵσταται. ἔστω ἐν κόσμῳ δρίξων ὃ ABI' καὶ ϑερινὸς μὲν τρο- πικὸς ὃ A421, χειμερινὸς δὲ ὁ BI, ὃ δὲ ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AEB, καὶ ἔστω τὸ μὲν Ζ ΕΒ τμῆμα ὑπὸ γῆν, τὸ δὲ 42 B ὑπὲρ γῆν" λέγω, ὅτι Ó τῶν ξῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει καὶ τροπὰς ποιεῖ- ται ἐναντίως μεϑιστάμενος. ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατο- λαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεϑίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεϑιστάμενος φαίνεται᾽ ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρχτους μεϑίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεϑιστάμενος φαίνεται. καὶ ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς ἵσταται. 2. ΖΕ) ZH " ZHE Vat. 4. δύναντος ἃ. E] Ez V, sed 4 del. m. 1. 6. δέ] δή "n 8, , τέ] om. V. Seq. in Vat. demonstr. altera, v. app. E13 v. 10. τόν] om. Vat. PHAENOMENA 35 E4Z percurrit, ad Z perveniet. verum Z, postquam areum ZE percurrit et ad E pervenit, occidit, E autem, postquam arcum ZEZ/Z percurrit et ad Z pervenit, oritur. ergo puncto Z occidente E oritur. iam similiter demonstrabimus, etiam puncto Z oriente E occidere. similiter autem et omnes stellae, quae in cireulo zodiaco et eae, quae in aequinoctiali iuxta diametrum oppositae sunt, coniugate et oriuntur et occidunt. VII. Cireulus zodiacus toto loeo horizontis, qui inter cir- eulos tropicos est, et oritur et occidit, si maximus cir- eulorum, qui semper conspicui sunt, non maior est, quam cireulus tropicus, et conversiones facit in contra- rias partes se movens, nam si ortibus ad meridiem se movet, occasibus ad septentriones se movens adparet; sin autem ortibus ad septentriones se movet, occasibus ad meridiem se vertens adparet. et alio tempore aliter super nos stat. sit in mundo horizon ABI, et aestivus tropicus sit 44, hiemalis autem BI, zodiacus autem circulus posi- tionem habeat ZEB, et segmentum ZEB sub terra sit, 2128 autem super terram; dico, cireulum zodiacum toto loeo horizontis, qui inter tropicos sit, et oriri et occi- dere et conversiones. facere in contrarias partes se mo- ventem. nam si ortibus ad meridiem se movet, occa- sibus ad septentriones se movens adparet, sin autem ortibus ad septentriones se movet, oecasibus ad meri- diem se movens adparet. et alio tempore aliter super nos stat. 12. ὅταν — 18. κύκλου] mg. m. 2 Vat. 18. ἄλλοτε] -o- in ras. V. 19. Post roozixóg add. ἔστω Vat. 20. Post δέ (pr.) add. rgozixóg Vat. 23. τόν] om. Vat., item p. 36 lin. 2. 24. τε] om. Vat. 8* σι 10 μ᾿ ex 236 $AINOMENA 8 ἔστω ἀνατολικὰ uiv τὰ 41, I' μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ A, e s -» ΄ D ^ , ' 4 B. ὅτι μὲν οὖν ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν . τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, φανερόν, ἐπειδήπερ μειξόνων κύκλων ἐφ- ἄπτεταν ἢ ὧν ὁ ὁρίξων ἐφάπτεται. λέγω, ὅτι καὶ τροπὰς ποιεῖται ἐναντίως μεϑιστάμενος. εἰλήφϑωσαν γὰρ ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ AE, ZB, καὶ γεγράφϑωσαν παράλληλοι κύκλοι, xo" ὧν φέρεται τὰ E, Z σημεῖα, οἱ HEO, KZA. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AE περιφέρεια τῇ ZB περιφερείᾳ, κοινὴ προσ- κείσϑω ἡ EB: ὅλη ἄρα ἡ AEB ὅλη τῇ EB Z ἐστιν ἴση ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ ΖΦ Ε Β΄ ἡμικύκλιον ἄρα καὶ τὸ EBZ' κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ E σημεῖον τῷ Σ' ση- μεδίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ε Ζ περιφέρεια τῇ 4M περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ BN, ἀλλ᾽ ἡ AE τῇ ZB ἐστιν 4. ἐπειδήπερ — ὅ. ἐφάπτεται] fortasse interpolata. 4. μειζόνων] in ras. V. κύκλων] supra comp. add. m. 1 V. χύκλων ἐφάπτε- ται] ἐφάπτεται κύκλων Vat. ὅ. ἢ ὧν] in ras. V. ó] om. ἃ. ὁρίξων ἐφάπτεται) supra m. 2 V. 6. λέγω] λέγω δέ Vat. 7. ἀπειλήφϑωσαν Vat. γάρ] om. Vat. 9. ἐπεί add. καί m. 2 Vat. 10. rj ZB περιφερείᾳ] supra m. 9 Vat. 12. ἡμι- κύκλιον δέ ἐστι τὸ 4Ε Β] supra m. 2 Vat. Post ἄρα add ἐστί Vat. 15. ἀλλά Vat. In figg. codd, à A44 et BI semicirculi sunt; litteras M, E, II add. m. 9 V. PHAENOMENA 31 sint partes orientales Z/, I, occidentales autem .4, B. zodiaeum igitur cireulum toto loco horizontis, qui inter iropicos sit, et oriri et occidere, manifestum est, quo- niam maiores circulos tangit quam quos horizon tangit (Autolyc. de sph. 11). dico, eundem conversiones facere in contrarias partes se moventem. ϑερινός χειμερινὸς τροπικός sumantur enim aequales et oppositi arcus ΖΕ, ZB, et deseribantur circuli paralleli, per quos puncta E, Z, feruntur, HEO, KZ4. quoniam arcus Z/E arcui ZB aequalis est, communis adiciatur areus E B. totus igitur areus Z/EB toti areui EBZ aequalis est. sed AJEB semieireulus est; quare etiam EBZ semicireulus est; itaque puneta E, Z iuxta diametrum opposita sunt. et quoniam areus EZ/ areui ΖΜ aequalis est et arcus ZB arecui ΒΝ (Theodos. IT, 13), areus 4E autem 10 1ὅ 20 28 80 38 Q$AINOMENA ἴση, καὶ ἡ 4 M ἄρα τῇ ΒΝ ἐστιν ἴση" κοινὴ προσκείσϑω ἡ MB: ὅλη ἄρα ἡ 4MB ὅλῃ τῇ ΜΒΝ ἐστιν ἴση. ἡμι- κύκλιον δέ ἐστι τὸ 4. MB ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ MBN: κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ M σημεῖον τῷ Ν σημείῳ. καὶ ἐπεὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τὰ κατὰ διά- μετρον ὄντα δημεῖα κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, τοῦ “] ἄρα σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ 4 σδη- μεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ B δύνει κατὰ τὸ B σημεῖον καὶ τοῦ E ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ € σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Z δύνει κατὰ τὸ Καὶ σημεῖον καὶ τοῦ NN σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ 14 σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Μ δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἔτι τοῦ B σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Γ δὴμεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Z1 δύνει κατὰ τὸ A4 σημεῖον. ὅταν ἄρα ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεϑίστηται. ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεϑ- ἱστάμενος φαίνεται. . λέγω, ὅτι καί, ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεϑ- ἔίστηται. ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεϑιστάμενος φαίνεται. ἀνατείλαντος γὰρ τοῦ ZEB ἡμικυκλίου ὃ τῶν fo- δίων κύκλος ϑέσιν ἕξει τὴν ΑΞ Γ. καὶ ὁμοίως δείξο- uev, ὅτι κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ μὲν ΚΞ σημεῖον τῷ O σημείῳ, τὸ δὲ P τῷ IL. καὶ ἐπεὶ τοῦ I' σημείου ἀνα- τέλλοντος κατὰ τὸ l' σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ 4 δύνει κατὰ τὸ 4 σημεῖον, τοῦ δὲ Ο σημείου ἀνα- τέλλοντος κατὰ τὸ 44 σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ E δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον, τοῦ δὲ II σημείου ἀνα- τέλλοντος χατὰ τὸ Θ᾽ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ P δύνει κατὰ τὸ Καὶ σημεῖον καὶ ἔτι τοῦ 4 σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ 241 σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ I' δύνει κατὰ τὸ B σημεῖον, ὅταν ἄρα ὁ τῶν 2. ἴση] supra m. 2 Vat. ὅ. κύκλου] corr. ex κύκλων m. 2 ———— ΥΥ ὙΨ Υ, - Eh ἢ νὰ ae s 2 m t PHAENOMENA 39 areui ZB aequalis est, etiam arcus Z/ M arcui ΒΝ ae- qualis est. communis adiciatur areus MB; totus igitur areus ΖΦ ΜΒ toti arcuài MBN aequalis est. sed ΖΦ ΜΒ semicirculus est; quare etiam MB N semicirceulus est; itaque puneta M, N iuxta diametrum opposita sunt. et quoniam ea cireuli zodiaci puncta, quae iuxta dia- metrum opposita sunt, coniugate et oriuntur et occidunt (prop. VI), puncto Z/ oriente in z/ punctum B iuxta diametrum ei oppositum in puncto B occidit et puncto E oriente in Θ᾽ punctum Z iuxta diametrum ei oppo- situm in puncto .K occidit οὐ puncto .N oriente in puncto | 4 punctum M iuxta diametrum ei oppositum in puncto H occidit et praeterea puncto B oriente in puncto I' punctum z/ iuxta diametrum ei oppositum in puncto 4 occidit. ergo circulus zodiacus, si ortibus ad meridiem se movet, occasibus ad septentriones se movens adparet. dico, eundem, si ortibus ad septentriones se moveat, occasibus ad meridiem se moventem adparere. nam postquam semicirculus Z/ EB ortus est, circulus zodiaeus positionem habebit 4.5 Γ. et xoiHing demon- strabimus, punctum & puncto O iuxta diametrum op- positum esse, P autem puncto 77. et quoniam puncto I' in puncto [Γ΄ oriente punctum .4 iuxta diametrum ei oppositum in puncto 4 pond puncto O autem in puneto A oriente punctum X iuxta diametrum ei op- positum in puneto H occidit, puncto II autem in puncto Θ᾽ oriente punctum P σχῶ diametrum ei oppositum in puncto K occidit et praeterea puncto 4 in puncto 7 oriente punctum Γ' iuxta diametrum ei oppositum in puneto B occidit, cireulus zodiacus, si ortibus ad sep- Vat. 21. ἀνατείλαντος] corr. ex ἀνατέλλοντος m. 2 V. 28. ΟἹ] e Wes V. 80. ἔτι] e corr, V. 4] eorr. ex M V. 82. Γ] ἴῃ ΤΕ σι 40 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ξῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεϑίστηται., ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεϑιστάμενος φαΐένεται. ἐδείχϑη δέ. ὅτι καὶ ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημ- βοίαν μεϑίστηται., ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρχτους μεϑιστά- μενος φαίνεται. καὶ φανερόν, ὅτι ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς ἵσταται. ὅταν μὲν γὰρ ἡ συναφὴ τοῦ ξῳδιακοῦ κύκλου καὶ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἐπὶ τῆς διχοτομίας ἦ τοῦ ὑπὲρ γῆν τμήματος τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ κύκλου, ὀρϑύότατος ἔσται πρὸς ἡμᾶς" ὅταν δὲ ἐπὶ τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὸ γῆν τμήματος τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ, ταπεινότατος ἔσται πρὸς ἡμᾶς" καὶ ἀεὶ μὲν ποῤῥώτερον γιγνόμενος τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὲρ γῆν τμήματος τοῦ ϑερινοῦ τροπι- χοῦ. μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος" ὁμοίως δὲ ἔσται κεκλι- μένος, ἴσον ἀπέχων ὁποτεραδσοῦν τῶν διχοτομιῶν. η΄. Τὰ ξῴδια ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλει τὲ καὶ δύνει" καὶ ἐν μεγίστοις μὲν τὰ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἐλάσσοσι δὲ τὰ ἑξῆς τούτων" ἐν ἐλαχίστοις δὲ τὰ πρὸς τοῖς τροπιχοῖς, ἐν ἴσοις δὲ τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ 48 ΓΖΩ͂, τροπικοὶ δὲ οἱ AI, B4, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν BI, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ὁ EZ, καὶ διῃρήσϑω ἕκα- τέρα τῶν ΓΗ, HB εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ N, K, I1, T σημεῖα λέγω, ὅτι αἱ ΓΝ. NK, KH, HII, IIT, TB περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλ- λουσί τε xal δύνουσι, καὶ ἐν μεγίστοις μὲν αἱ KH, HII, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ K N, II T, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ 7. καὶ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ] om. Vat. 8. ἢ] post κύκλου (lin. 7) ser. Vat. 9. κύκλου] om. Vat. ὀρϑότατος] ὀρϑό- in ras. V. 13. γῆν] γῆς Vat. 16. y] 9 v. 17. ἐν} supra ΒΟΥ, PHAENOMENA 41 ntriones se movet, occasibus ad meridiem se movens adparet. demonstratum autem est, eundem, si ortibus ad meridiem se moveat, occasibus ad septentriones se moventem adparere. . et manifestum est, eum alio tempore aliter super nos stare. nam si eontaetus circuli zodiaci et cireuli aestivi in puneto medio est segmenti circuli aestivi, quod super terram est, ad nos rectissimus erit; sin autem in puneto medio est segmenti circuli aestivi, quod sub terra est, ad nos humillimus erit; et remotior semper factus a puncto medio segmenti circuli aestivi, quod super terram est, magis erit inclinatus; similiter autem erit inclinatus, 81 ab utrovis puncto medio aequali intervallo distat (Theodos. 11, 22). VIIL Signa inaequalibus segmentis horizontis et oriuntur et occidunt, ac maximis quidem ea, quae ad aequi- noctialem sunt, minoribus autem ea, quae haec deinceps sequuntur, minimis autem ea, quae ad tropicos sunt, aequalibus autem ea, quae ab aequinoctiali aequali inter- vallo distant. sit in mundo circulus horizon 4BI7!, tropici AT, ΒΖ, zodiacus autem circulus positionem habeat BI; aequinoctialis autem circulus EZ, et uterque arcus ΓΗ͂, HB in ires partes aequales dividatur in punctis N, K, II, T; dico, areus I'N, NK, KH, HII, II T, TB in- aequalibus segmentis horizontis et oriri et occidere, ac maximis quidem KH, HII, minoribus autem ΚΝ, ΠΤ, m. 1 V. ἀνίσοις] « in ras. V. 22. ἐν κόσμῳ] om. Vat. 24. ΒΓῚ ΓΒ Vat. BI] mg. μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ ΦΧ τὰ. 2} V (κείμενον), in textu post BI' v, post ΒΖ Vat, 26. ὅτι καί Vat. c 10 15 20 25 42 Q$AINOMENA ΓΝ, B T, àv ἴσοις δὲ ἡ uiv KH τῇ HII, ἡ δὲ ΚΝ τῇ ΠΤ, ἡ δὲ ΝΓ τῇ TB. | ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι, x«9 ὧν φέρεται và Ν᾿ K, II, T σημεῖα, οἱ ΜΗ. 641, OP, ΣΎ. καὶ ἐπεὶ περι- φέρειαι αἱ HK, ΚΝ, ΝΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ 24, 4.5. ET' ἄρα μείξους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ με- γίστης τῆς ΖΑ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ΕΘ. ΘΜ. MA μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς EO0* καὶ ἔτι αἱ μὲν ΖΡ, PT, TA μείζους εἰσὶν ἀλλήλων. | ἀρχόμεναι ἀπὸ pera τῆς ZP, καὶ ἔτι αἱ EO, 0X, t ZB μείξους εἰσὶν ἀλλήλων vinta ἀπὸ iiia vie EO. καὶ ἐπεὶ ci ΓΝ, NK, KH, HII, IIT, TB ἀνα-, τέλλουσι μὲν κατὰ τὰς ΓΞ, AA, AZ, ZP, PT, TÀÀ περιφερείας. δύνουσι δὲ κατὰ τὰς 4M, M 6, ΘΕ, 'EO, i ΟΣ, ZB, [ὥστε] ἐν ἀνίδοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος &va- τέλλουσί τε καὶ δύνουσιν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλλη- - λον κύκλοι οἱ ΘΑ͂, ΟΡ μεγίστου τινὸς κύχλου περιφε- θείας τοῦ ΓΒ τὰς ΠΗ͂, ΗΚ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ, ἴσος ἄρα ἐστὶν Ó. 64 κύκλος τῷ OP κύκλῳ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι v6 καὶ παράλληλοι κύκλοι οἵ 94, ΟΡ μεγίστου τινὸς κύ- κλου περιφερείας τοῦ ABI τὰς 42. ZP ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν EZ, ἴση ἄρα ἐστὲν ἡ AZ περιφέρεια τῇ ZP περιφερείᾳ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ X Z περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ Z T περι- 8. παράλληλοι κύκλοι] post σημεῖα (lin. 4) scr. "T 4. xol ἐπεὶ περιφέρειαι] ἐπεὶ οὖν Vat. (οὖν supra m. 2). 5. εἰσί V, - ut lin. 6, 8. 6. μείζονες Vat., ut lin. 8, 9, 11. 10. ἔτι] corr. ex ἄρα (comp.) m. 2 V. 15. ὥστε] deleo. 38. τόν (alt. i corr. ex τῶν m. 2 V. ἄρα] om. Vat. 24. περιφέρεια] om. Vat. δή] | corr. ex δέ V et m. 9 Vat. 25. Post an ras. 1 litt. V. Post περιφερείᾳ add. ὧν ἡ AZ τῇ ZP ἐστιν ἴση Vat. Figuram bis praebet V (in altera “δρίξων᾽ om. in fig. V at add. arcticum; v. adp. crit. verba terne inscripta hab. V; item in propp. seqq. PHAENOMENA 43 minimis autem ΓΝ, BT, aequalibus autem KH et HII, ἊΝ et ΠΤ, ΝΓ et TB. sint eireuli paralleli, per quos puncta N, K, IT, T fe- runtur, ME, Θ΄. OP, ΣΎ. et quoniam areus HK, ΚΝ, ANI' inter se aequales sunt, Z4, 435. Ξ I' maiores inter 86 sunt incipientes a maximo Z 4 (Theodos. III, 7). eadem de causa etiam arcus E9, 6 M, MA maiores inter se sunt incipientes a maximo EO, et praeterea ZP, PT, TZ maiores inter se sunt incipientes a maximo ΖΡ, et praeterea EO, OZ, ZB ma- jores inter se sunt incipien- tes a maximo EO. et quo- niam arcus ΓΝ, NK, KH, HII, ΠΤ, TB inareubus ΓΙ, EA, AZ, ZP, PT, T4 on- untur et in AM, ΜΘ.ΘΕ. EO, OZ, XB occidunt, in- aequalibus horizontis segmentis et oriuntur et occidunt. el quoniam in sphaera circuli paralleli 9/4, OP maximi alicuius circuli ΓΒ aequales arcus ΠΗ͂. ΗΚ ad maxi- mum parallelorum EZ auferunt, cireulus ΘΔ circulo OP aequalis est (ib. IL, 17). iamquoniam in sphaera circuli aequales et paralleli 6/4, OP maximi alicuius eireuli 4BI arcus AZ, ΖΡ ad maximum parallelorum EZ auferunt, areus AZ arcui ΖΡ aequalis est (ib. IL, 18). iam similiter demonstrabimus, etiam arcum ,$Z arcui τροπικὸς ϑερινός 10 1ὅ [^1] 44 $AINOMENA φερείᾳ" λοιπὴ ἄρα ἡ AA λοιπῇ τῇ PT ἴση ἐστίν. τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΞ ἴση ἐστὶ τῇ TA. : τὰ ἄρα ξῴδια ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ δρίξοντος ad τέλλει τε καὶ δύνει, xol ἐν μεγίστοις μὲν τὰ πρὸς TG ἰσημερινῷ. iv ἐλάσσοσι δὲ và ἑξῆς τούτων. ἐν ἐλα-- χίστοιρ δὲ τὰ πρὸς τοῖς τροπικοῖς. ἐν ἴσοις δὲ τὰ ἴσον. ἀπέχοντα τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου. 1 9.7) L Too τῶν ξῳδίων κύκλου τὰ ἡμικύκλια, ὅσα τὰς ἀρχὰς : μὴ ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἀνίσοις χρό- νοις ἀνατέλλει, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν τὸ μετὰ τὸν Καρκχί- νον, ἐν ἐλάσσονι δὲ τὰ μετὰ αὐτὸν ἑξῆς, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερων, ὅ ὅταν ὁ βόρειος πόλος ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα jj καὶ ἔτι ὃ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ἐλάττων ἢ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ" ὅσα δὲ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει. Recensio b. 9. Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου và ἡμικύκλια, ὅσα μὴ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνα- τέλλει ὅλα, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον, ἐν ἐλάσσονι δὲ τὰ ἑξῆς τούτου, ἐν ἐλαχίστοις δὲ τὸ μετὰ τὸν “Αἰγόκερω᾽ ὅσα δὲ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλ- λήλων, ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλει. a. 1. ἐστιν ἴση Vat. 8. 91 v v. 11. τό V, item lin. 18; τά Ll. μετά] κατά L; Κατά (με τὰ. 1) v'; item lin. 12. 18. ὅταν — 15. τροπικοῦ] expunetum , sed punctis erasis restitutum V; fort. οὐ apa 13. Post πόλος del. τῶν παραλλήλων V, om. cett. 14. E natam V. ὁ] V, mg. ὅταν ὁ m. 3. ἀεὶ φανερῶν) in ras. V. φανερῶν] comp. l, φανῶν ων΄. 16. ἀρχάς] supra m. 1 V. b. 4. ὅλα] fort. interpolatum. PHAENOMENA 45 T aequalem esse. itaque reliquus areus X reliquo eui PT aequalis est. eadem de causa etiam arcus ΓΞ eui T71 aequalis est. ergo signa inaequalibus segmentis horizontis et oriun- '&ur et occidunt, ac maximis quidem ea, quae ad aequi- mnoctialem sunt, minoribus autem ea, quae haec deinceps |sequuntur, minimis autem ea, quae ad tropicos sunt, et aequalibus ea, quae ab aequinoctiali circulo aequali inter- vallo distant. | IX. Cireuli zodiaci semicireuli, quieumque in eodem cir- -eulo parallelo prineipia non habent, inaequalibus tem- poribus oriuntur, ac maximo quidem is, qui post Can- erum est, minore autem ii, qui hune deiriceps sequuntur, minimo autem is, qui post Capricornum est, si polus Reptentrionalis supra horizontem est atque etiam maxi- mus eireulorum, qui semper conspicui sunt, minor est iropico aestivo; quieumque autem principia in eodem eireulo parallelo habent, aequali tempore oriuntur. Recensio b. IX. Cireuli zodiaci semicirculi, qui in eodem circulo parallelo principia non habent, inaequalibus temporibus toti oriuntur ae maximo quidem is, qui post Canerum est, minore autem li qui hune deinceps sequuntur, minimis autem is, qui post Capricornum est; quicumque autem principia in eodem cir- eulo parallelo habent, aequalibus temporibus oriuntur. 1) In hac propositione cod. V ad cod. Vat. eiusve audfinem & m. 2 corréctus est; etiam litterae textus ad figuram perti- nentes et ipsius figurae in litteras rec. b mutatae sunt; ego det litteras, quarum magna pars plane evanuit, restitui. lv' correctiones manus 2 V in textum receperunt. in figura cod. V pro N est M; M igitur bis usurpatur; verba τὸ μετὰ (μετὰ τά V) τὸν αἰγόκερω et τὸ μετὰ τὸν καρκίνον m. 2 V, item δύσις. in figg. codd. L1 Z et N desunt; in v' pro N est Z, om. N. 5 10 15 20 b 46 $AINOMENA ἔστω ἐν κόσμῳ δρίξζων ὁ ABI, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ 44, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ET, ὁ δὲ τῶν ξωδί κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 4 ΓΖ. καὶ ἔστω τὸ μετὰ " ctt OC Xd: el Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ AZI* τὸ δὲ ΓΗ ἡμικύκλιον ἔστω τὸ μετὰ τὸν | A(yóxs- ρῶν x«i ἔστω ὑπὲρ γῆς. ἀπειλήφϑω- σαν δὴ ἴσαι περιφέρειαι «i l'H, ZA, ὥστε εἶναι τὸ Ζ τῷ Η κατὰ διάμετρον, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι. καϑ' ὧν φέρεται τὰ Ζ, Η σημεῖα, οἱ BZO, KH.4': τὸ ἄρα M τῷ Ν κατὰ διάμετρον" λέγω, P ᾿ x ? ϑερινός ἔστω ἐν κόσμῳ ὀρίζων ὃ ABI, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὃ 44, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὃ BI, ὃ δὲ τῶν ξωδίων wóxÀog ϑέσιν ἐχέτω τὴν 4Ε ΒΖ, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Γ, 4 μέρη, δυτικὰ δὲ rà A4, B, καὶ τὸ μὲν ΕΒ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον, τὸ δὲ ΒΖ4 τὸν μετὰ τὸν Aiyóxtgo λέγω, ὅτι τοῦ τῶν ἕῳδίων κύκλου và ἡμικύκλια, ὅσα μὴ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλει, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν τὸ μετὰ τὸν. Καρκίνον τὸ AEB, ἐν ἐλάσσονι δὲ τὰ ἑξῆς τούτου, ἐν ἐλα- ἃ. 3. Supra AI'Z add. m. 2 V secundum rec. b lin. 3. καί — lin. 4. 4, B (κείμενον), in textu cett. có] suprà m. 1 L. . b. 1. ABI'] add. z m. 2 Vat. PHAENOMENA 4T sit in mundo horizon 4BI aestivus autem tropicus 414, hiemalis autem tropieus EI, zodiaceus autem cir- eulus positionem habeat AI'Z, et sit semicireulus 42, qui post Canerum est, sub terra; I'H.4 autem semicir- eulus sit post Capricornum et sit supra terram. iam auferantur arcus aequales ΓΗ͂, Z4, ut sit Z puneto H iuxta diametrum oppositum, et sint cireuli paralleli, per quos puneta Z, H feruntur, BZO, KH; punetum M igitur puncto N iuxta diametrum oppositum; - Sit in mundo horizon ABI, et aestivus tropicus sit 42, hiemalis autem tropieus BI zodiacus autem cireulus posi- tionem habeat ΖΕ: ΒΖ. et sint partes orientales I, Z1, oc- cidentales autem 4, B, et 4EB sit semi- cireulus post Can- crum, BZ4 autem semicireulus post Capricornum; dico, eos circuli zodiaci semicireulos, qui principia in eodem circulo parallelo non habeant, in- aequalibus tempo- ribus oriri ac maxi- mo quidem semi- cireulum ZEB, qui post Cancrum est, minore autem eos, qui hune deinceps sequantur, minimo 6. ἔστω corr. ex ἐστί V; item lin. 8. 9. γῆς γ΄. Post γῆς mg. add. m, 2 V secundum rec. b lin. é : S da p. 48 ἘΣ ἀνατέλλει, in textu cett. 29. Supra KH. add. m. 2 V se- eundum rec. b p. 48 lin. 6. καί — lin. 8. Z (xsíusvov), in textu cett. Post KH. del. καὶ ἔστω ὁμοι (sic) m. 1 V. λέγω — p. 48 lin. 3. 'MA] del. m. 2 V, om. cett. σι 10 10 MT T 48 Q$AINOMENA 15 dei δή, ὅτι ἐν πλείστῳ μὲν χρόνῳ τὸ AZI ἡμικύκλιον ἀνα- τέλλει, ἑξῆς δὲ τὸ ZI'H, μετὰ δὲ τοῦτο τὸ NI'M, ἐν | ἐλαχίστῳ δὲ τὸ I'M A. P. ἐπεὶ yàg μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ μὲν 414 περιφέρεια τῆς ΒΜΘ. LU δὲ BMO τῆς AHK, ἡ δὲ AHK τῆς ΓΕ, ἐν λείου ὦ ἄρα χρόνῳ τὸ Α τὴν AA περιφέρειαν δια- πορεύεται ἤπερ TO Z ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται, ἐν πλείονι δὲ ἀρξάμενον ἀρόνῃ τὸ Ζ ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΗ 4 διαπορεύεται καὶ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ τὴν ΚΗ 4 διαπορεύεται ἤπερ τὸ I' ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Γ τὴν ET διαπορεύεται" ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν τὸ 4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν 44 περι- φέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ χίστῳ δὲ τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερω τὸ BZ4, ὅσα δὲ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνα- τέλλει. . ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι at A4 E, ΒΖ καὶ γεγράφϑω- | σαν παράλληλοι κύκλοι οἵ HEO M, KZA N, xa9 àv φέρε- | ται τὰ E, Z σημεῖα, xol ἔστω αὐτῶν rà ὑπὲρ γῆν τμήματα | τὰ H M6, KZ A. ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ μὲν E σημεῖον τῷ Ζ σημείῳ, τὸ δὲ M τῷ Ν. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία 1j AA περιφέρεια τῆς HM C! | περιφερείας, ἡ δὲ HMO τῆς KZA καὶ ἔτι ἡ KZA τῆς ΒΓ. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ 4 σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 " τὴν 44 περιφέρειαν διαπορεύεται 4 ἤπερ τὸ E ἀρξάμενον ἀπὸ | τοῦ 6 τὴν 6 M H περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ τὸ E ἀρξά- μένον ἀπὸ τοῦ Θ ἐν πλείονι χρόνῳ τὴν ΘΜΗ͂ διαπορεύεται | 5 ἧπερ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AZ K περιφέρειαν. διαπορεύεται, καὶ τὸ IN ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ .4 ἐν πλείονι χρόνῳ τὴν .4Z K διαπορεύεται ἤπερ τὸ B ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ l' τὴν I'B περιφέρειαν διαπορεύεται. ἀλλὰ ἐν ᾧ μὲν ἃ. 5. ΒΜΘ (utrumque)] B om. γ΄. 6. Post 4 supra add. ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 V (m. 2) l, mg. ἴω, in textu v', 8. δια- PHAENOMENA 49 | dico igitur, maximo tempore semicireulum A ZI" oriri, deinceps autem ZI'H, post hunc autem N I'M, minimo | autem I'M A. nam quoniam maior est quam similis arcus 7/74 arcui BMO, BMO autem arcui 4HK, A4HK autem arcui ΓΕ, maiore tempore 44 arcum .447/ percurrit quam Z exor- sum ἃ Θ᾽ arcum 6G MB percurrit, maiore autem tempore Z exorsum a 9 arcum 6MB percurrit quam IN exorsum a K arcum KH. percurrit οὐ N exorsum a K maiore lempore areum. K HA percurrit quam Γ΄ exorsum a I' arcum Εἰ Γ᾽ percurrit. verum quo tempore 44 exorsum ab 4 arcum 42] percurrit, eo Γ΄ iuxta diametrum ei autem BZ4, qui post Capricornum est; quicumque autem in eodem circulo parallelo principia habeant, eos aequa- libus temporibus oriri. auferantur aequales areus ΖΕ, ΒΖ et describantur cir- culi paralleli HE0M, KZ.AN, per quos puncta E, Z ferun- tur, et sint segmenta eorum super terram HM 0, KZ A. similiter igitur atque antea demonstrabimus, puncta E, Z et M, N iuxia diametrum opposita esse. et quoniam arcus A4 maior est quam similis areui HM, HMO autem arcui KZ. et praeterea KZ 4 areui ΒΓ (Theodos. II, 20), maiore lempore punctum Zf exorsum a zf arcum zí 4 percurrit quam E exorsum a Θ᾽ arcum 0.M H percurrit et E exorsum a 6 maiore tempore arcum 0M H percurrit quam JN exorsum à 4 arcum /44ZK percurrit et Ν᾽ exorsum a 74 maiore tem- pore arcum “42 Καὶ percurrit quam B exorsum a l' arcum πορεύεται] seq.: ἤπερ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν KHA διαπορεύεται καὶ ἔτι τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ ἐν πλείονι χρόνω V, sed punctis notatum; om. cett. ἐν — 11. διαπορεύεται) om. L. 8. ἀρξάμενον --- Z] χρόνῳ τὸ Z ἀρξάμενον v. 10. τὴν KHA διαπορεύεται) punctis del. V. Ante τό 1 litt. (comp.?) macula del. V; post N add. ἄρα γ΄. 18. zmsgigéosvev] supra eomp. add. V. b. 5. oi] om. Vat Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 4 10 15 10 50 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ τὸ I' ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ D τὴν ὑπὸ γῆν διαπορεύεται 1 τοῦ ΓΕ κύκλου καὶ ἀνατέλλει τὸ AZ Γ ἡμικύκλιον" ἐν ᾧ δὲ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν ANK διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΖΓῊΗ ἡμικύκλιον" ἐν à δὲ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν KH περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ | κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Β τὴν ΒΖ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΝΓΜ ἡμικύκλιον: ἐν ᾧ δὲ τὸ I' ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ E τὴν . EI' ὑπὲρ γῆν περιφέρειαν διαπορεύεται, àv τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ .4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 44 τὴν 2.44 ὑπὸ γῆν περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει Cms AR Tu -——e τὸ ΓΜΑ͂ ἡμικύκλιον. ἐν πλείστῳ μὲν ἄρα χρόνῳ τὸ . 442Γ ἀνατέλλει, τουτέστι. τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον, ἑξῆς δὲ τὸ ΖΓΗ͂, μετὰ τοῦτο τὸ NI'M, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ τὸ ΓΜΑ͂, τουτέστι τὸ μετὰ τὸν Alyóxegov. χρόνῳ τὸ 4 σημεῖον τὴν 44 περιφέρειαν διαπορεύεται. ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Β σημεῖον τὴν ἐναλλὰξ | τὴν Br περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ A4EB ἡμικύκλιον" iv à δὲ χρόνῳ τὸ E ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν K NA διαπορεύεται καὶ — ἀνατέλλει τὸ EBZ ἡμικύκλιον ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ IN ἀρξάμε- νον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AZK διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΗῈΘ δια- πορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ NBM ἡμικύκλιον ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ | τὸ B ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Γ τὴν ΓΒ διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ 4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν ἐν- αλλὰξ τὴν 44 διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΒΖ4 ἣμι- a. 3. 42] ΑΖΓΔΎ. 4. καί] δὲ καί VLL. 8. B] om. 1 v' (lae. 1 litt), E L. 11. ED] É sustulit macula in V. ὑπὲρ γῆν] lineola del. m. 2 V, om. cett. Ante τό hab. καί ex- punctum m. 1 V. 13. ὑπὸ γῆν] del. et supra ser. ἐναλλάξ V PHAENOMENA 51 oppositum exorsum a Γ᾿ eum areum cireuli ΓΕ per- eurrit, qui sub terra est (prop. VI), et semicireulus A4ZI' oritur. quo autem tempore Z exorsum a 9 arcum 9MB pereurrit, eo etiam ΕἾ iuxta diametrum ei oppositum exorsum ἃ 44 areum ΑΝ percurrit, et semicireulus ZI'H oritur. quo autem tempore N exorsum a K ar- eum KH.A percurrit, eo etiam M iuxta diametrum ei oppositum exorsum a B arcum BZO percurrit et semi- eireulus NI'M oritur. quo autem tempore I' exorsum ab E arcum EI, qui super terram est, pereurrit, eo 4 iuxta diametrum ei oppositum exorsum a Z/ areum Z1 A, qui sub terra est, percurrit et semicirculus I'M.A oritur. ergo maximo tempore 421, h. e. semicireulus post Cancrum oritur, deinceps autem ZI'H, post eum NI'M, minimo autem I'MA, h. e. semicireulus post Capri- eornum. ΓΒ percurrit. verum quo tempore punctum 7f arcum 214 pereurri£, eo punctum JB iuxta diametrum ei oppositum alternum arcum BI' percurrit (prop. VI) et semicirculus AEB oritur; quo autem tempore E exorsum a 6 arcum 6MH percurrit, eo Z iuxta diametrum ei oppositum exor- sum à Καὶ areum ΚΝ A4 percurrit et semicireulus EBZ oritur; quo autem tempore Ν᾽ exorsum a 74 arcum Z/ZK percurrit, eo M iuxta diametrum ei oppositum exorsum ab H arcum HEO percurrit et semicireulus NBM oritur; quo autem tempore B exorsum a I' arcum 1'B percurrit, eo Ζ΄ iuxta diametrum ei oppositum exorsum ab 4 alternum arcum A44 percurrit et semieireulus BZZf oritur. ergo maximo tem- (m. 2) L; ἐναλλάξ in textu lv. 14, χρόνῳ] supra Vl, om. L. 16. NI'M]J NI'MH V, sed lineola del. et supra ser. ἐν ἐλάσ- σονε καὶ ἔτι τοῦ EBZ ἐν ἐλάσσονι τὸ NB4 m. 2, et ita in textu cett. (N44 pro NBZ v); v. p. 52 lin. 28q. rec. b. 17. 'MA] om. Ll, lac. 3 litt. b. 6. K NA] add. περιφέρειαν supra m. 2. Vat. A* 59 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ λέγω δέ, ὅτι καὶ ὅσα τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει. ἐπεὶ γὰρ ἐν ᾧ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἕν τούτῳ καὶ τὸ M ἀρξάμε- νον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἀλλ ἐν ᾧ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν 6M B διέρ- χεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AN K περιφέρειαν διέρχεται καὶ ἀνατέλ- λει τὸ ZI'H ἡμικύκλιον. [προανατέλλει γὰρ τὸ μὲν Z τοῦ I, τὸ δὲ Γ τοῦ Η ἐν ᾧ δὲ τὸ M ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διά- μέτρον αὐτῷ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν ANK διέρχεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΜΑ͂Ν ἡμικύκλιον, [προανα- τέλλει γὰρ τὸ μὲν M τοῦ Z, τὸ δὲ Z τοῦ ΝῚ τὰ ΖΓΗ, MA N ἄρα ἡμικύκλια ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει. κύκλιον. ἔν πλείστῳ ἄρα χρόνῳ ἀνατέλλει τὸ μετὰ τὸν Καρ- κίνον ἡμικύκλιον τὸ 4 ΕΒ, ἐν ἐλάσσονι δὲ τοῦ AEB τὸ EBZ καὶ ἔτι τοῦ EBZ ἐν ἐλάσσονι τὸ NBM, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερω, τὸ BZA. λέγω, ὅτι ὅσα τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλ- λήλων, ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλει. ἐχέτω γὰρ τὰ MANN, EBZ ἡμικύκλια τὰς ἀρχὰς ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων λέγω, ὅτι ἐν ἴσοις: χρόνοις ἀνατέλλει τὰ ΜΩ͂Ν, EBZ ἡμικύκλια. ἐπεὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ M σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Εὶ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν 6MH περιφέρειαν διαπορεύεται, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ M σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΗ διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ NN ἀρξά- μενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν KNNA περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ MAN. ἡμικύκλιον, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ E σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ O σημείου τὴν ΘΜΗ περιφέρειαν δια- ἃ. 2. Post ἀνατέλλει add. secundum rec. b lin. 7. ἐχέτω --- 9. ἡμικύκλια (κείμενον) supra et mg. V, in textu cett, 9. ZI'H] PHAENOMENA 53 dico autem, eliam quicumque semicireuli principia in eodem circulo parallelo habeant, eos aequali tempore oriri. nam quoniam quo tempore Z exorsum a Θ᾽ arcum ΘΜΒ percurrit, eo etiam M exorsum a Θ᾽ areum €9MB pereurri, verum quo tempore Z exorsum a 6 arcum 6 MB percurrit, eo H iuxta diametrum ei oppositum. ab 4 exorsum areum ΔΝ Καὶ percurrit et semicirculus ZI'H oritur, [nam Z ante I' oritur, I' autem ante H]; quo autem tempore M a Θ᾽ exorsum areum ΘΒ per- eurrit£, eo N iuxta diametrum ei oppositum ab 4 exor- sum areum ΤΙΝ ΑΚ percurrit, et semicireulus MAN oritur, [nam M ante Z oritur, Z autem ante N]; semicireuli ZUH, MAN aequali tempore oriuntur. pore semicirculus ZEB, qui post Cancrum est, oritur, minore autem quam ZEB semicirculus EBZ et praeterea minore quam ΕΒΖ semicireulus NBM, minimo autem is, qui post Capricornum est, BZ4A. dico, eos semicirculos, qui principia in eodem circulo parallelo habeant, aequalibus temporibus oriri. nam habeant semicirculi MAN, EBZ principia in eodem eirculo parallelo; dico, semicireulos MZAN, EBZ aequalibus temporibus oriri. quoniam aequali tempore punctum JM exorsum a Ó ar- cum 6MH percurrit et E exorsum a Θ areum MH per- currit, verum quo tempore punctum JM exorsum a Θ᾽ arcum 6MH percurrit, eo N iuxta diametrum ei oppositum exor- sum ἃ Καὶ areum K ΝΖ percurrit et semicirculus MAN oritur, quo autem tempore punctum E exorsum a puncto € arcum om. Ll, lac. 3 liti. προανατέλλει --- 10. H et 13. προανατέλλει — 14. N] lineolis del. V, om. cett. interpolata sunt. 10. M] om. Ll, lac. 1 litt. 14. τά — 15. ἡμικύκλια] del. et supra ἐν add. ἄρα (comp.), mg. τὰ MAN, EBZ ἡμικύκλια (κείμενον) V, et ita in textu cett. b. 10. ἐπεί] add. γάρ m. 2 Vat. 10 15 54 $AINOMENA τοῦ ἄρα τῶν ξῳδίων κύχλου τὰ ἡμικύκλια, ὅσα τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει. , L. 'Eóv τοῦ τῶν ἕῳδίων κύκλου δύο ἡμικύκλια ἐν ἀν- ίσοις χρόνοις ἀνατέλλῃ κοινήν τινὰ ἔχοντα περιφέρειαν, καὶ αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις &va- τέλλουσιν, καὶ ἡ αὐτὴ διαφορὰ ἔσται τῶν χρόνων, ἐν οἷς τά τε ἡμικύκλια ἀνατέλλει καὶ αἱ ἀπεναντίον περι- φέρειαι ἀνατέλλουσιν" καὶ ἐὰν τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου δύο ἡμικύκλια ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλῃ κοινήν τινα ἔχοντα περιφέρειαν, καὶ αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλουσιν. . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 4ΕΓ4,. καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ 44], ΓΕ" κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ 4 τῷ Ε. τὰ δὲ AAT, 4 DE ἡμικύκλια ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατελλέτω" λέγω, ὅτι καὶ αἱ ἀπεναντίον περι- φέρειαι αἱ 421, ΓΕ ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσι καὶ πορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ K τὴν KNA περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ EBZ ἡμικύκλιον. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ἀνατέλλει và MAN, EBZ ἡμικύκλια. 4. v] vo^ γ΄. 6. ἀνατέλλῃ) post ἡμικύκλια (lin. 5) scr. Vat. 7. ἀπεναντίων V. ἀνατέλλουσι V, ut lin. 18. 8. ἡ — ἔσται) αἱ αὐταὶ διαφοραὶ ἔσονται Vat. 10. ἀνατέλλουσιν] om. Vat. Recensio b. p.54,14sqq. ἔστω κύκλος ὁρίζων ὃ 4.84, καὶ ϑερινὸς μὲν ερυκεκὸς ὁ AT, χειμερινὸς δὲ ὁ Β4, ξωδιακὸς δὲ ὃ ΓΒ, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι “περιφέρειαι αἴ ΓΕ, BZ' τὰ ἄρα PHAENOMENA 55 ergo cireuli zodiaci semicireuli, quicumque principia in eodem circulo parallelo habent, aequali tempore ori- untur. X. Si duo circuli zodiaci semicireuli communem aliquem habentes arcum inaequalibus temporibus oriuntur, etiam arcus oppositi inaequalibus temporibus oriuntur et eadem differentia erit temporum, quibus et semicirculi et arcus oppositi oriuntur; et si duo circuli zodiaci semicirculi communem aliquem habentes ar- cum aequali tempore oriuntur, etiam arcus oppositi aequali tem- pore oriuntur. sit in mundo horizon ABI; zodiacus autem circulus positio- nem habeat AEI, et auferantur aequales areus 24421, ΓΕ iuxta diametrum igitur oppositum est punctum Ζ΄ puncto E. iam semi- eireuli 441, 4T'E inaequalibus temporibus oriuntur; dico, etiam areus oppositos 471, ΓΕ inaequalibus tem- 0MH percurrit, eo Z iuxta diametrum ei oppositum exor- sum a K arcum KN.A4 percurrit et semicireulus EBZ oritur, aequali tempore semicireuhi. Mzf N, EBZ oriuntur. 11. ἐν ἴσοις χρόνοις Vat., ut lin. 12. ἔχοντα] -v« corr. ex των m. 2 V 14. £oó(ov] corr. ex ξῳδιακῶν m. 1 V. 17. ἀνίσοις] &v- add. süpra m. 2 V, ut p. ὅθ lin. 4 et 7 (ἀνίσῳ). Recensio b. sit cireulus horizon ABA' et aestivus tropicus AI, hie- malis autem ΒΖ et zodiacus ΓΒ, et auferantur aequales areus ἰ E, ΒΖ. itaque semicirculi ΓΕΒ, EBZ inaequalibus 10 10 56 O$AINOMENA ἡ αὐτὴ διαφορά ἐστι τῶν χρόνων. ἐν oig τὰ «44 Γ, ATE | | ἡμικύκλια ἀνατέλλει καὶ ἐν οἷς αἱ 44]. ΓΕ περιφέρειαι ἀνατέλλουσιν. | ἐπεὶ γὰρ τὰ AT, ATE ἡμικύκλια ἐν ἀνίσοις χρό- - νοις ἀνατέλλει, κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ τῆς Z1' ἀνατολῆς χρόνος" (ἡ γὰρ 4 Γ' περιφέρεια ἑαυτῇ ἀεὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει)" λοιπαὶ ἄρα αἱ 44, ΓΕ περιφέρειαι ἐν ἀνίσῳ χρόνῳ ἀνατέλλουσι καὶ αἵ αὐταὶ διαφοραί εἶσι τῶν χρό- vov, ἐν οἷς τά τε AAT, ATE ἡμικύκλια ἀνατέλλει. καὶ αἵ ἀπεναντίον SEHE αἱ A4, DE. πάλιν δὴ τὰ AAT, ATE ἡμικύκλια ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει" κοινὸς — ἀφῃρήσθω ὁ τῆς ΓΖΩ͂ περιφερείας χρόνος" λοιπαὶ ἄρα αἱ 44, ΓΕ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλουσιν. | ΓΕΒ. EBZ ἡμικύκλια ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλει" λέγω, ὅτι. καὶ ef I'E, ΒΖ περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλ- — λουσιν. ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΕΒ τοῦ ΕΒΖ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει, κοινὸς ἀφῃρήσϑω ὃ τῆς ΕΒ περιφερείας ἀνατολῆς χρόνος" ἡ γὰρ ΕΒ περιφέρεια ἑαυτῇ ἀεὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει" λοιπὴ “ἄρα ἡ ΓΕ τῆς ΒΖ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει, καὶ φανερόν, ὅτι αἱ αὐταὶ διαφοραί εἰσι τῶν χρόνων, ἐν οἷς τά τε ΓΕΒ. EBZ ἡμικύκλια ἀνατέλλει καὶ αἱ ἀπεναντίον περι- | φέρειαι ad IE, ΒΖ. φανερὸν δέ, ὕτι, κἂν ἡμικύκλιά τινὰ ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλῃ. καὶ af ἀπεναντίον περιφέρειαι ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν. ἃ. 1. 4 (alt)] mg. add. m. 2 V. 3. ἀνατέλλουσι V, ut lin. 18. 6. ἡ — "1. ἀνατέλλει) fort. interpolata. b. 6. — ἀνατέλλει] fort. interpolata. —— 8. αἱ αὐταί] corr. ex αὐταὶ αἱ m. 2 Vat. PHAENOMENA δ᾽ | poribus oriri e& eandem differentiam temporum esse, . quibus semicireuli 42/1 ΖΓΕ oriantur et quibus arcus | AA, ΓΕ oriantur. |. gam quoniam semicireuli 44/1, 4I'E inaequalibus temporibus oriuntur, commune auferatur tempus ortus areus Z/I* arcus Z1' enim semper aequali tempore oritur. itaque reliqui arcus 4421, I'E inaequali tempore oriuntur ei eaedem differentiae sunt temporum, quibus semicir- eui 441, 4I'E et areus oppositi 4421, I'E oriuntur. lam rursus semicirculi 421, ΔΓΕ aequali tempore ori- untur; commune auferatur tempus arcus I74. ergo 42, I'E aequali tempore oriuntur. temporibus oriuntur (prop. IX); dico, etiam arcus ΓΕ, ΒΖ inaequalibus temporibus oriri. nam quoniam I'EB maiore tempore oritur quam EBZ, commune auferatur tempus ortus arcus EB (nam arcus EB semper aequali tempore oritur) itaque reliquus areus 1 Ε maiore tempore oritur quam BZ, et adparet, easdem diffe- rentias esse temporum, quibus et semicireuli ΓΕΒ, EBZ et arcus oppositi ΓΕ, ΒΖ oriantur. manifestum est autem, si aliqui semicirculi aequalibus temporibus oriantur, etiam arcus oppositos aequalibus temporibus oriri. 10 15 10 58 $AINOMENA , ux. Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑἕτέρα ἀνατέλλει, ἡ ἑτέρα δύνει, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα δύνει, ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει. Ἵ ἔστω ἐν κόσμῳ ópítov ὁ ABI, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 4ΕΓΖ,. xdi ἔστω ὑπὸ γῆν τὸ AAT ἡμικύκλιον, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι τε καὶ ἀπε- ναντίον περιφέρειαι αἱ 424, ΓΕ’ λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ 44 περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΓΕ περιφέρεια | δύνει, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΓΕ ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ 44 περιφέρεια δύνει. ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι, x9? ὧν φέρεται τὰ E, 4 σημεῖα, οἱ EOB, ΚΖ. καὶ ἐπεὶ τὰ ἐπὶ τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου ἄστρα κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συξυ- γίαν ἀνατέλλει, τὲ καὶ δύνει, τοῦ E ἄρα ἀνατέλλοντος Recensio b. p. 58, 5 sqq. ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ABAT, καὶ ϑερινὸς - μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΓ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΒΖ. ἑῳδιακὸς δὲ ἔστω ὁ ΓΒ, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἐπ᾽ αὐτοῦ ἴσαι καὶ ἀπεναντίον | περιφέρειαι αἱ I'E, BZ' λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΓΕ ἀνα- τέλλει, ἡ ΒΖ δύνει. | ἔστωσαν x«9' ὧν φέρεται τὰ E, Z σημεῖα παράλληλοι κύκλοι of ΝΘ, Κα. καὶ ἐπεὶ τὰ ἐπὶ τοῦ ξῳδιακοῦ ἄστρα κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει, τε καὶ δύνει, τοῦ E | ἄρα ἀνατέλλοντος τὸ Ζ δύνει" ἐν o ἄρα χρόνῳ τὸ E ἀρξά- μένον ἀπὸ τοῦ E τὴν EO περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O | ἃ. 1, ταἹ ιβ΄ γ΄. 2. ἀπεναντίων V. 3. περιφερειῶν) περι- — supra m. 1 V. 4. καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ] iv ᾧ δέ Vat. 18. EZ] AE V. EOB, K44) 4OHB, ZKOA V. 16. ἄρα] corr. ex γάρ V. b. 7. Post ἕῳδιακοῦ add. κύκλου m. 2 Vat. PHAENOMENA 59 XI. Circuli zodiaci arcuum et aequalium et oppositorum quo tempore alter oritur, alter occidit, et quo tempore alter occidit, alter oritur. si& in mundo horizon ABI; circulus autem zodiacus positionem habeat AEI'f, et sit sub terra semicireulus AAT, et auferantur arcus et aequales et oppositi 44, ΓΕ; dico, quo tempore ar- eus 4421 oriatur, eo arcum I'E occidere, et quo tem- pore ΓΕ oriatur, eo arcum 44 occidere. nam sint circuli paralleli, per quos puncta E, Ζ fe- runtur, EO B, K 4 Δ. etquo- niam eae stellae, quae in cireulo zodiaco iuxta dia- metrum oppositae sunt, coniugate et oriuntur et occidunt [prop. VI], puncto ' Recensio b. sit cireulus horizon 4 ΒΖ Γ᾽, et aestivus tropicus sit AI, hiemalis autem Bzf, zodiacus autem sit I'B, et auferantur in eo aequales et oppositi arcus I'E, ΒΖ; dico, quo tem- - pore ΓΕ oriatur, arcum ΒΖ occidere. sint circuli paralleli, per quos puncta E, Z feruntur, ΝΘ. KA. et quoniam eae stellae, quae in zodiaeo iuxta diametrum oppositae sunt, coniugate et oriuntur et occidunt '[prop. VI], puneto E oriente Z occidit. itaque quo tempore .E ab E exorsum, postquam arcum EO percurrit, ad 6 per- In fig. cod. V, puncta, in quibus circuli BO et ΜΚ zodiaco secantur, litteris 4j, H et Z, E notantur, sed Ζ et E deletae et iusto loco positae sunt; H, Z plane inutiles sunt. 10 15 20 25 60 $AINOMENA χατὰ τὸ Θ τὸ xarà διάμετρον αὐτῷ TO 4| δύνει κατὰ τὸ 1: ἐν ᾧ ἄρα τὸ E τὴν ΕΘ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Zl τὴν 44 διελϑὸν ἐπὶ τὸ 4 παραγίνεται. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν τὸ 4 τὴν 4 4 δια: πορεύεται, ἡ 4144 ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ τὸ E τὴν EO δια- παραγίγνεται. ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ζ τὴν ΖΚ διελϑὸν ἐπὶ τὸ Καὶ παραγίγνεται" ἀλλ᾽ ὅταν μὲν τὸ E τὴν EO διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγένηται, ἀνατέλλει ἡ ΕΤ' περι- φέρεια, ὅταν δὲ τὸ Ζ τὴν ΖΚ διελϑὸν ἐπὶ τὸ K παραγέ- νηται, δύνει ἡ ΒΖ περιφέρεια" ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΓΕ περιφέρεια ἀνατέλ- λει, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΒΖ περεφέρεια δύνει. λέγω, ὅτι καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΒΖ ἀνατέλλει, ἡ ΓΕ δύνει. μετακεκι- νήσϑω γὰρ ἐν τῇ De πτώσει ὃ τῶν £g δίων κύκλος καὶ ϑέσιν ἐχέτω τὴν ΓῈ ΒΖ. [Aéyo, ὅτι, ἐν & χρόνῳ ἡ ΒΖ ἄνα- τέλλει,. ἡ ΓῈ δύνει.] ntl ἐπεὶ κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ Ζ σημεῖον và E σημείω. vob " e , . d ἄρα Z ἀνατέλλοντος τὸ E δύνει" ἐν ᾧ ἄρα χρόνω τὸ Z tqv * , ^ x , , , ZA περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ ^4 παραγίγνεται, ἐν τούτω καὶ τὸ E τὴν ἘΝ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ NN παρέσται. ἀλλ᾽ ὅταν μὲν τὸ Z τὸν Z.A περιφέρειαν διελϑὺν ἐπὶ τὸ 1 ἃ. 2. E] inras. V. ΕΘ] E corr. ex 4 V. Post ΕΘ scr. ἄρα. περιφέρειαν — 8. O] supra add. m. 2 V. 8. παραγίνεται] yiv- in ras. V. 47] corr. ex Z V. Post 4| supra add. ἀρξάμε-, vov ἀπὸ τοῦ 4 (corr. ex Z) m. 9 V. 44] corr. ex ZA V. PHAENOMENA 61 E oriente in Θ᾽ punctum Ζ΄, quod iuxta diametrum ei oppositum est, in 7f occidit. itaque quo tempore E, postquam areum EO percurrit, ad Θ᾽ pervenit, eo etiam 4, postquam arcum 2/4 percurrit, ad 4 pervenit. verum quo tempore Ζ΄ arcum ΖΔ percurrit, 4144 oritur, et quo venit, eo etiam Z a Z exorsum, postquam arcum ZÉK per- |currit, ad K pervenit. verum cum Εἰ, postquam arcum EG |;pereurrit, ad Θ᾽ pervenit, areus EI' oritur, cum autem Z, postquam arcum ZK percurrit, ad K pervenit, areus ΒΖ occidit. ergo quo tempore arcus ΓΕ oritur, eo eliam areus BZ occidit. dico, etiam quo tempore ΒΖ oria- tur, areum I'E oc- cidere. nam mo- veatur in altero casu circulus zo- diacus et positionem habeat I'E BZ. quoniam punctum Z puncto Εἰ iuxta diametrum opposi- ium est, puncto Z oriente E occidit [prop. VI]. itaque quo lempore Z, postquam arcum Z4 percurrit, ad 74 pervenit, eo etiam E, postquam areum EN percurrit, ad Ν perveniet. verum, eum Z, postquam arcum Z4 percurrit, ad 4 per- Post 4/4 in V 5 litt. evan. ruptura bombyc. 01549" ἐπί] in ras. V. 4. τὸ 4 παραγίνεται) supra m. 2 V. 214] corr. ex 4Θ V. 5. 44] mut. in l'E m. 1(?) V. ΕΘ] E40 (0 supra m. 2) V. b. 19. go] eras. et ser. δευτέρᾳ m. 2 Vat. 21. Post Z (pr) add. 4 m. ἃ Vat. λέγω — 99. δύνει] deleo. 28. Post ἐπεί add. γάρ m. 2 Vat. c 10 10 15 62 QAINOMENA | πορεύεται, ἡ ΓΕ δύνει. àv ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ 44 ἀνατέλ- λει; ἐν τούτῳ ἡ ΓΕ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν. ὅτι. ἐν ᾧ ἡ 44 δύνει, ἐν τούτῳ ἡ ΓΕ ἀνατέλλει. ' ιβ΄. I To? μετὰ τὸν Καρχένον ἡμιχυκλίου αἱ ἴσαι περιφέ- ρδιαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ ÓU- νουσι καὶ ἀνατέλλουσιν. i ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ ABI, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ó P2 T, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ AE, χειμερι- νὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΖ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ BH, ὁ δὲ. τῶν ἕξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 4 ΗΓ, καὶ ἔστω, 3 παραγένηται. ἀνατέλλει ἡ BZ' ὅταν δὲ τὸ E τὴν ΕΝ meu φέρειαν διελϑὸν i ἐπὶ τὸ Ν παραγένηται, δύνει ἡ DE: ἐν à ἄρα χρόνῳ ἡ ΒΖ περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΓῈ περι- φέρεια δύνει. (p. Τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ivo ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἵ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπ-᾿ ἔχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ. 'κύκλου καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν.. ἔστω δρίξων κύκλος ὃ 4814, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανε-. ρῶν ὁ EZ, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ BA, χειμερινὸς δὲ, τροπικὸς ὃ TA, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν C PESS s ἡμικύκλιον, τὸ B4 ὑπὲρ γῆς, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ὁ HO, καὶ διῃρήσϑω. ἑκατέρα τῶν ΒΞ, Δ εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ K, 4, M, Ν ! &. 1. δύνει] s supra scr. ἀνατέλλει m. 2 V. ἐν — 2. zz om. a. 6. ἀνίσοις] &v- supra m. 2 V. 7. ἐν) addidi. b. 11. ABI] AZD'B m. ἃ Vat. 12. ΒΑ] AB m. 2 Vat. 13. [4] 4I'm. 9 Vat. 165. 45] EZ m. 2 Vat. PHAENOMENA 63 | tempore E arcum EO percurrit, ΓΕ occidit. ergo quo tempore 4.44 oritur, eo ΓΕ occidit. iam eodem modo demonstrabimus, quo tempore 47/ occidat, eo ΓΕ oriri. XII. Semicireuli, qui post Canerum est, aequales arcus in- aequalibus temporibus occidunt, ac maximis quidem ii, ' qui ad eontaetus tropicorum sunt, minore autem ii, qui hos deinceps sequuntur, minimis autem ii, qui ad aequi- noetialem sunt, aequali autem ii, qui ab aequinoctiali aequali intervallo distant, et occidunt et oriuntur. sit in mundo horizon A4BI, maximus autem cireu- lorum, qui semper conspieui sunt, P-Z T, aestivus autem iropicus 4E, hiemalis autem tropicus IZ, aequinoctialis autem BH, zodiacus autem circulus positionem habeat venit, ΒΖ oritur; cum autem E, postquam areum EJ per- eurrit, ad Ν᾽ pervenit, I'E occidit. ergo quo tempore arcus ΒΖ oritur, eo areus I'E occidit. XII. Semieireuli; qui post Canerum est, aequales areus in- aequalibus temporibus oecidunt, aec maximis quidem, qui &d eontactus tropicorum sunt, minoribus autem, qui hos deinceps sequuntur, minimis autem, qui ad aequinoctialem Sunt, aequalibus vero ii, qui ab aequinoctiali aequali inter- vallo distant, et occidunt et oriuntur. - Sit eireulus horizon 48 ΓΖ, maximus autem circulorum, -qui semper conspicui sunt, EZ, et aestivus tropieus BA, hiemalis autem tropieus 171, et sit semicirculus ΒΖ, qui ΟΠ post Oanerum est, super terram, aequinoctialis autem cir- Leulus sit ΗΘ, et dividatur uterque arcus BE, 41 A in tres "partes aequales in punctis K, 4, M, JN; dico, arcus BK, 64 Q$AINOMENA τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ AHI, καὶ διῃρήσϑω ἑκάτερον τῶν AH, HI' τεταρτομορίων εἷς τὰ ξῳδία κατὰ τὰ O, K, 4, M: λέγω, ὅτι αἱ 4Θ. OK, KH, HA, AM, ΜΓ ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσι. 5 x«i ἐν πλείστοις μὲν αἱ 40, ΓΜ, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΘΚ, AM, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἱ KH, HA, ἐν ἴσῳ δὲ ἡ μὲν 40 τῇ MI, ἡ δὲ OK τῇ MA, ἡ δὲ KH τῇ AH. σημεῖα" λέγω, ὅτι αἱ BK, ΚΑ, AE, EM, ΜΝ, NA ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσι, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ BK, NA, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΚΑ. ΜΝ, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ AE, EM, ἐν ἴσοις δὲ ἡ μὲν AR τῇ ΞΜ, ἡ δὲ KA τῇ MN, ἡ δὲ ΒΚ τῇ ΝΖ. a. 7. Μ4 MK ἃ. In fig. eod. L alters zodiaci positio deest; litt. 4 om. 1. PHAENOMENA 65 AHL, et sit semicireulus, qui post Canerum super ter- ram est, A4 HI" et dividatur uterque quadrans 4H, HI' in signa in punctis 8, K, 4, M; dico, arcus 4, ΘΚ, KH, HA, 4M, MT' inaequalibus temporibus occidere, ae maximis quidem 40, I'M, minoribus autem ΘΚ, AM, minimo autem KH, ΗΖ, aequali autem 469 et MI, ΘΚ et MA, KH et AH. KA, AE, ΞΜ, MN, NA inaequalibus temporibus occidere, ae maximis quidem BK, ΝΖ, minoribus autem Κα. MN, minimis autem 745, 3M, aequalibus vero //X et EM, Καὶ et MN, BK et NA. In fig. cod. Vat. οὐ Gregorii Oy secat P4 inter ς et 4, Pe secat inter « et 8; primus corr. Nokk., Phaenomena p. 50sq. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 5 σι 10 15 10 66 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ γεγράφϑωσαν γὰρ διὰ τῶν O, K, 4, M παράλληλοι κύχλοι οἱ NO, EK, OA, IIM, διὰ δὲ τῶν O, K μέ- γιστοι κύκλοι γεγράφϑωσαν ἐφαπτόμενοι τοῦ ΡΣ οἱ 200, TKX, ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν AP, ΣΘΦ. ΤΚΧ τῶν παραλλήλων κύκλων ὁμοίας εἶναι, τουτέστιν οὕτω γεγράφϑωσαν, ὡς τὸ ἀπὸ τοῦ P ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ 44, Ν μέρη ἀσύμπτωτον εἶναι τοῖς διὰ τῶν Σ΄, T ἡμι- κυχλίοις ὡς ἐπὶ và X, Φ. αἱ μὲν ΝΘ, ET, ΒΦ ἀπεναν- τίον εἰσίν: καὶ ἄρα αἱ TK, ΦΧ. ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΝ διέρχεται, ἐν τούτῳ τότε D τὴν TA διαπορεύεται — καὶ τὸ ὦ τὴν OB διαπορεύεται. καὶ ἐπεί, ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Θ τὴν ΘΝ διαπορεύεται, ἡ ΘΑ͂ δύνει, ἐν ᾧ ἄρα τότε T τὴν TA περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ ὦ τὴν ΒΦ, ἡ ΘΑ δύνει. πάλιν, ἐπεὶ ἐν à τότε K τὴν KA διέρχεται καὶ τὸ X τὴν XB, ἡ ΚΑ δύνει, ἐν à ἄρα τὸ K τὴν ΚΥ διέρχεται, τουτέστι τὸ X τὴν Χ Φ' ὅμοιαι γάρ εἰσιν" ἔστωσαν x«9' ὧν φέρεται τὰ K, Δ, M, IN. σημεῖα παράλ- ληλοι κύκλοι οὗ OII, PZ, TT, OX, καὶ γεγράφϑωσαν διὰ τῶν K, Α μέγιστοι κύκλοι of Ῥα, 4) β ἐφαπτόμενοι τοῦ EZ κύκλου. ἐπεὶ oí BK, KA, AX ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἴ Ha, «p, β6 ἄρα μείζονές, iow: ἀλλήλων, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς Ηα. ἐπεὶ οὖν “μείζων ἐστὶν ἡ Hao τῆς e, ἀλλ᾽ ἡ μὲν Ha τῇ OK ἐστιν ὁμοία, 7 δὲ «B τῇ ς 4, καὶ ἡ OK ἄρα τῆς s A μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία, τῆς δὲ AP ἐλάσσων ἢ ἢ ὁμοία ἡ OK. ἔστω τῇ OK ὁμοία ἡ 4γ᾽ ἐν à ἄρα χρόνῳ τὸ K σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ 4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 1 τὴν Ay διελϑὸν ἐπὶ τὸ y παρέσται καὶ ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν γΟὃ. ἐπεὶ οὖν ὁμοία ἐστὶν ἡ OK a. 3. oi] scripsi; τοῖς ἃ. 8. ET])ZTa. Post Bo add. O 4; ἃ. 9. ὥστε — 106. διέρχεται) x«l ἐπεὶ dv ᾧ χρόνῳ πὸ T. τὴν TX περιφέρειαν ÓOixzogsvecvat, ἡ 40 δύνει, ᾿ἀλλ᾽ ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ON διαπορϑύεται, ἡ Υ5 δύνει" ἐν ᾧ δὲ τὸ T τὴν TZ, καὶ τὸ Φ τὴν ΦΒ διαπορεύεται. ὥστε ἐν ᾧ τὸ O τὴν ΘΝ διέρχεται, ἐν τούτῳ τό τε T τὴν TAE διαπορεύεται καὶ τὸ Ó τὴν ΦΠ δια- πορεύεται. πάλιν ἐπεὶ ἐν ᾧ τὸ K τὴν ΚΑΙ διέρχεται, ἡ ΚΑ δύνει, PHAENOMENA 61 nam deseribantur per O, K, 4, M circuli paralleli NO, EK, OA, IIM et per OK cireuli maximi descri- bantur Z0, TKX cireulum PX contingentes, ut areus eireulorum parallelorum inter 4P, 20946, TKX similes sint ['Theodos. II 13], hoc est ita describantur, ut semi- eireulus ab P ad partes 4, N non eoncurrat cum semi- eireulis per ΣΙ, T' descriptis ad X, . arcus NO, ΞΎ, ΒΦ inter se oppositi sunt; quare etiam areus TK, $ X.) itaque quo tempore 9 arcum ON percurrit, eo et T areum T'5X percurrit οὐ 9 arcum 9B percurrit. et quoniam quo tempore Θ᾽ areum ON percurrit, ΘΩ͂ oc- eidit, quo tempore et 1? arceum T5 percurrit et arcum ΒΦ, ΘΑ͂ occidit. rursus, quoniam quo tempore et K arcum K percurrit e£ X arcum XB, Κα occidit, quo tempore Καὶ arcum KT percurrit, hoc est X arcum ΧΦ (nam similes sunt), K6 occidit. eadem de causa etiam, sint circuli paralleli, per quos puncta K, 4, M, N ferun- tur, OIL, PX. TT, ΦΧ, et describantur per K, /4/ maximi circuli «c, $28 cireulum EZ contingentes (Theodos. II, 15). quoniam areus BK, Κα, 45 aequales inter se sunt, Ho, «B, B5 maiores inter se sunt a maximo He incipientes (ib. III 8). iam quoniam areus Hc maior est quam «f, arcus Ha autem similis arcui OK (ib.1I, 13) et «6 similis arcui $44, etiam OK maior est quam similis arcui 24, OK autem minor est quam similis arcui Δ Ρ, sit arcui OK similis 2. itaque quo tempore punctum Καὶ exorsum a K, postquam areum KO percurrit, ad O pervenit, eo etiam 74 exorsum à 4, postquam arcum 41y percurrit, ad y perveniet et cir- culus zodiacus positionem habebit y Oó. iam quoniam areus 1) Ea, quae sequuntur, in codd. a pessime depravata sunt (v. ad- par. erit.); ego vestigia cod. V, quantum fieri potuit, secutus sum. iv ᾧ δὲ τὸ T τὴν TE διέρχεται, ἡ OA δύνει, dv à ἄρα τὸ Καὶ τὴν K T (corr. ex K E) διέρχεται, ἡ ΚΑ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ T: (ἡ ΚΑ — T lineolis del) a. b. 4. ἐπεί] καὶ ἐπεί m. 2 Vat. [^ 10 68 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ἡ ΚΘ δύνει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν ᾧ τὸ H τὴν HX. διέρχεται. ἡ H.K δύνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρα μέγιστος κύκλος ὁ ABI' κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρα τοῦ ΡΣΤ ἐφάπτεται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος 6 AHT λοξὸς ὧν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειξόνων ἐφάπτεται ἢ ὧν ὁ 48 Γ ἐφάπτεται, καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περι- φέρειαι αἱ 4 O, ΘΚ, ΚΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ B HA, διὰ δὲ τῶν O, Καὶ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οἵ Zi, T X ἐφαπτό- usvo, τοῦ PZ T κύκλου, οὗ καὶ ὁ ἐξ ἀρχῆς 48 Γ ἐφήπ- τετο, ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν EZ, T ἐπαφῶν ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ K, Θ μέρη τῷ PAB ἡμικυκλίῳ τοῦ δρίξοντος, ἐφ᾽ οὗ ἐστιν ἡ συναφὴ τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρεια τῇ γ4, ἀλλὰ ἡ OK τῇ Ps ὁμοία ἐστίν, καὶ ἡ Pe ἄρα τῇ y24 ἐστιν ὁμοία " καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου" ἴση ἄρα e 10 15 ἐστὶν ἡ Pg vij y.4. κοινὴ ἀφῃρήσϑω ἡ ys* λοιπὴ ἄρα ἡ Py τῇ ς4' ἐστιν ἴση. ἡ δὲ OK τῆς ς4 μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία" καὶ ἡ OK ἄρα τῆς Py μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία᾽ ἐν πλείανι ἄρα χρόνῳ τὸ Καὶ τὴν ΚΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παρα- γίγνεται, ἤπερ τὸ γ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ γ τὴν yP περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ P παρέσται. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ K τὴν ΚΟ περιφέρειαν, διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παραγίγνεται, δύνει ἡ ΒΚ περιφέρεια, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ γ τὴν γ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ P παραγίνεται, δύνει ἡ K.4 περιφέρεια" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΒΚ δύνει ἤπερ ἡ KA. πάλιν ἐπεὶ μείξων ἐστιν ἡ «B τῆς B, ἀλλ᾽ ἡ αβ vij ς. ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ ς.4 ἄρα τῆς BA μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία᾽ πολλῷ ἄρα ἡ PA τῆς B μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, τῆς δὲ HE ἐλάσσων ἢ ὁμοία. ἔστω τῇ PA ὁμοία ἡ Es* ἐν à ἄρα χρόνῳ τὸ E τὴν Ξε περιφέρειαν. διελϑὸν ἐπὶ τὸ ε παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ 4 τὴν AP περιφέρειαν διελϑὺν ἐπὶ τὸ Ῥ παρέσται καὶ ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν sPm. ἐπεὶ οὖν ὁμοία ἐστὶν ἡ PA . &. b. λοξὸς ὧν πρὸς τοὺς παραλλήλους] addidi. μειζόνων) μείξων ἃ. 6. ἀπειλημέναι &. 8. BH] BHA ἃ. δέ] addidi. 11. τῶν] supra m. 1 V. PHAENOMENA 69 quo tempore H arcum H X percurrit, H K occidit. iam quoniam in sphaera circulus maximus 4 BI" cireulum aliquem sphaerae PZ T contingit, alius autem circulus maximus A4HI, qui obliquus est ad cireulos parallelos, maiores circulos contingit, quam quos 4 BI' contingit, el abseisi sunt arcus aequales 40, ΘΚ, KH deinceps ad partes easdem maximi parallelornm B ΗΖ et per puncta 9, Καὶ circuli maximi descripti sunt ΣΦ, T'X contingentes circulum PZ T, quem etiam circulus ab initio positus contingebat, et efficientes, ut semicirculi a punetis contactus Z, T' ad partes K, 9 tendentes non eoneurrant cum eo semicirculo horizontis P.4B, in quo eireuli obliqui est contactus inter polum conspicuum et OK similis est areui y 4, OK autem similis est areui Pc (Theodos. II, 13), etiam Pz arcui y.4 similis est; et sunt eiusdem circuli. quare Pg aequalis est areui y/4. communis auferatur yc. itaque reliquus arcus Py arcui c 4 aequalis est. OK autem maior est quam similis arcui g //. quare etiam OK maior est quam similis arcui Py. itaque K, post- quam arcum KO percurrit, maiore tempore ad O pervenit quam y exorsum a y, postquam arcum 7P percurrit, ad P perveniet. verum quo tempore K, postquam arcum KO pereurrit, ad O pervenit, areus B K occidit, e& quo tempore j. postquam arcum yP percurrit, ad P pervenit, arcus K 4 occidit. itaque BK maiore tempore occidit quam Καὶ Δ. rursus quoniam «f maior est quam 8,3, verum «f similis est arcui c4, eliam 2,4 maior est quam similis arcui fX. itaque ΡΖ multo maior est quam similis arcui B3, minor autem quam similis areui HE. sit areui ΡΖ similis Xe. itaque quo tem- pore E, postquam arcum Xe percurrit, ad e pervenit, eo etiam 4, postquam arcum ΧΡ percurrit, ad P perveniet et eireulus zodiacus positionem habebit s Py. iam quoniam ΡΖ b. 2. εἰσιν Vat. 19. Po] ἡ add. m. 2 Vat. 10 10 15 10 $AINOMENA ἡ μεταξὺ τοῦ τε φανεροῦ πόλου καὶ τοῦ μεγίστου τῶν ' παραλλήλων, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ με-᾿ γίστου τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν" μείξων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν B περιφέρεια τῆς ΦΧ, ἡ δὲ. ΦΧ τῆς XH: ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Φ τὴν OB διέρχεται, ἤπερ τὸ X τὴν ΦΧ διέρχεται" ἐν πλείονι δὲ | χρόνῳ τὸ X τὴν ΦΧ ἤπερ τὸ Η τὴν HX: ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν τὸ Φ τὴν Φ B διέρχεται, ἡ ΘΑ͂ δύνει, ἐν à δὲ τὸ X τὴν ΧΦ διέρχεται, ἡ ΘΚ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ H τὴν HX διέρχεται, ἡ HK δύνει" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ μὲν A0 τῆς ΚΘ δύνει, ἡ δὲ ΘΚ τῆς KH. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν αἱ ἴσον , ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ. μετακεχινήσϑω yàg ὃ τῶν τῇ £8, ἀλλ᾽ ἡ PA τῇ HB ἐστιν ὁμοία, καὶ ἣ Hg ἄρα τῇ £X ἐστιν ὁμοία" καί εἶσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου" ἴση ἄρα ἐστὶν ὴ Hg τῇ EE περιφερείᾳ. κοινὴ ἀφῃρήσϑω ἡ εβ᾽ λοιπὴ ἄρα LU He λοιπῇ τῇ βΞ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἡ 5.4 τῆς β6 μείξων ἐστὶν 1 ὁμοία, ἴση δὲ ἡ μὲν cA τῇ Py, ἡ δὲ ΒΕ τῇ Hs, καὶ ἡ Ργ ἄρα τῆς He μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ γ τὴν yP περιφέρειαν. διελϑὸν ἐπὶ 10 P παραγίγνεται, i ἤπερ τὸ € τὴν € H διελϑὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ γ τὴν γΡ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνε- ται, ἡ γ0 περιφέρεια δύνει, τουτέστιν ἡ ΚΑ περιφέρεια" ἐν ᾧ δὲ «ἀρόνῳ τὸ ε τὴν eH διελϑὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, δύ- vet ἡ £P, τουτέστιν ἡ AR περιφέρεια ᾿ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΚΑ onn ἤπερ ἡ ΛΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἡΤΜ τῆς ΗΞ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἔστω τῇ HX 15 ὁμοία ἡ Mf: ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΞΗ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ H παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ M τὴν ME περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ f παρέσται καὶ ὃ τῶν ζῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν £ H9. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι of TT, PE μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ ΒΖ τὰς A45, 20 EM ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ἃ. 8. τῶν] punctis del. V. PHAENOMENA 11 maximum circulorum parallelorum , inaequales arcus maximi eireulorum parallelorum inter se abseindent | Theodos. IIT, 8]. itaque arcus ΒΦ maior est quam ΦΧ, ΦΧ autem quam X H; maiore igitur tempore arcum $B percurrit quam X arcum € X percurrit, maiore autem tempore X arcum ΦΧ quam H arcum HX. verum quo tempore 9 arcum 4B percurrit, 694 occidit et quo X arcum ΧΦ percurrit, 6 K occidit, et quo H areum HX pereurrit, HK occidit. ergo 46 maiore tempore occidit quam .K 6, 60 K autem maiore quam K H. iam dico, etiam eos arcus, qui ab aequinoctiali aequali intervallo distent, aequali tempore occidere. nam mo- similis est arecui E, verum P4 similis est arcui H8 (Theo- dos. IL, 13), etiam Hf arcui eX similis est. et sunt eiusdem circuli. itaque Hf aequalis est arcui s. communis aufe- ratur ef. itaque reliquus areus He reliquo arcui B X ae- qualis est. οὗ quoniam c maior est quam similis areui B A, verum c4 aequalis arcui Py et B X arcui Hz, Py maior est quam similis areui He. itaque y, postquam arcum P per- currit, maiore tempore ad P pervenit, quam e, postquam arcum e£.H percurrit, ad H pervenit. verum quo tempore y, postquam arcum y P pereurrit, ad P pervenit, ΓΟ, hoc est arcus K// occidit. quo autem tempore e, postquam arcum tH percurrit, ad H pervenit, £P, hoc est arcus 4,5 occidit. itaque K// maiore tempore occidit quam 7. rursus, quo- niam T'M maior est quam similis arcui HE, sit arcui HX similis Mf. itaque quo tempore 5 exorsum a X, postquam . areum XH percurrit, ad H pervenit, eo etiam £M, postquam arcum M percurrit, ad $£ perveniet et circulus zodiacus positionem habebit velut £ H9. et quoniam in sphaera cir- euli paralleli T , PZ/ maximi alicuius circuli B4f aequales arcus 4X, EM ad maximum parallelorum H6 auferunt, b. 10. Post περιφέρεια (alt. lineolis del. δύνει m. 1 Vat. 11. SH] mg. add. περιφέρειαν (comp.) m. 2 Vat, 10 20 25 12 Q$AINOMENA ξῳδίων κύκλος xal τὸ H ἐπὶ τὸ B παραγινέσϑω" ἕξει ἄρα ϑέσυν ὃ ξῳδιακὸς τὴν (ὁ Β Ψ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΗ τῇ HA: ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ 4$ Φ.Β τῇ BP. καί ἐστι μέ- -— γιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΒΗΖ,, καὶ παράλληλοι κύκλοι ol $2 K, W/* ἴσος ἄρα ἐστὶν ὃ 2 Κὶ τῷ UA. ὥστε καὶ ἡ ΒΞ τῇ BO ἴση ἐστίν, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ £2 ἄρα ἐπὶ τὸ X ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ο ἐπὶ τὸ WW. ὥστε καὶ ἡ $E περι- ΗΘ, ἴσος ἐστὶν ὁ ῬΣ τῷ ΤΎ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἵ ῬΣ, ΤΎ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ 484 τὰς TH, HP ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν HO, ἴση ἐστὶν ἡ TH τῇ HP. ἔστι δὲ καὶ ἡ 6H τῇ H9 ἴση, ἐπεὶ καὶ ἡ AE ἴση ἐστὶ τῇ ΞΜ’ ἴση ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ 9 ἐπὶ τὸ P τῇ ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ τὸ f. καί ἐστιν ἴσος ὁ ΡΣ κύκλος τῷ TT κύκλῳ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 9 P περιφέρεια τῇ T£ περιφερείᾳ. ἀλλ᾽ ἡ Ρ τῇ He περιφε- θείᾳ ἐστὶν ὁμοία " καὶ ἡ Hs ἄρα τῇ Τί ἐστὶν ὁμοία" ἐν à ἄρα χρόνῳ τὸ ε ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ & τὴν εΗ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ H παραγίγνεται, ἐν τούτῳ red τὸ ξ τὴν ξ bí διελϑὸν ἐπὶ τὸ T παραγίγνεται. ἀλλὰ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ ε ἐπὶ τὸ H παραγίγνεται, δύνει ἡ eP περιφέρεια, τουτέστιν ἡ AR περιφέρεια " ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ f ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται; δύνει ἡ £H περιφέρεια, τουτέστιν 1 EM: ἡ 4A ἄρα περι- φέρεια τῇ ΕΜ περιφερείᾳ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι xol 4 Καὶ ij EN ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει" λοιπὴ ἄρα ἡ KA τῇ ΜΝ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΝΖ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΒΚ δύνει. ἤπερ ἡ KA, 5 δὲ ΚΑ ἥπερ ἡ 4E, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ΒΚ δύνει, iv τούτῳ καὶ ἡ 4Ν, ἐν ᾧ δὲ ἡ ΚΑ, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΜΝ, ἐν ᾧ δὲ ἡ ὁ ARE, ἐν τούτῳ xol 1 ΞΜ, καὶ ἡ μὲν AN ἄρα τῆς ΝΜ ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει, ἡ δὲ N M τῆς ΜΕ. λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν AR τῇ ΞΜ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει, ἡ δὲ KA τῇ MN, ἡ δὲ BK τῇ NA. ἃ. 3. HA] NA ἃ. 5. 9/4 (utrumque) ΘΑ͂ 8. e. BO] 8A] a. PHAENOMENA 18 yeatur eireulus zodiacus et H ad B perveniat. zodiacus igitur positionem habebit $2B*J. et aequalis est ΚΗ areui ΗΔ. quare etiam £2B aequalis est arcui BW. et maximus cireulorum parallelorum est B Hz et circuli paralleli sunt £2K, «P4. itaque cireulus (ὁ Καὶ circulo *I A4 aequalis est.(Theodos. II, 17). quare etiam B areui BO aequalis est (ib. II, 18). itaque recta ab (ὦ ad A aequalis est rectae ab O ad Ψ (ib. III, 3). quare etiam arcus PX circulo T'T aequalis est (Theodos.II, 17) iam quoniam in sphaera cireuli aequales et paralleli ΡΣ, T T maximi alicuius circuli 4BI' arcus TH, HP ad maximum paral- lelorum H 0 auferunt, T'H arcui H P aequalis est (ib. IT, 18). est autem etiam £H arcui HO aequalis, quia etiam 4X aequalis est arcui EM. itaque recta ab 9 ad P aequalis est rectae ab T ad £ (ib. III, 3). et cireulus P aequalis est cireulo T T. quare arcus 9 P arcui Tf aequalis est. verum $9P arcui He similis est. quare etiam He arcui T'f similis est. itaque quo tempore s ab s exorsum, postquam arcum &H percurrit, ad H pervenit, eo etiam ζ, postquam arcum £T percurrit, ad T'pervenit. verum quo tempore ε ad H pervenit, arcus &P, hoc est arcus δ καὶ occidit et quo tem- pore £ ad T pervenit, arcus ΣΗ͂, hoc est EM occidit. ita- que arcus 4/54 aequali tempore atque arcus EM occidit. iam similiter demonstrabimus, etiam Καὶ Ξἰ aequali tempore atque ,$'N occidere. ergo reliquus arcus Καὶ Δ aequali tem- pore atque MM N occidit. iam similiter demonstrabimus, etiam BK aequali tempore occidere atque ΝΖ. et quoniam BK maiore tempore occidit quam Καὶ 4 et K 1 quam 4/5, verum quo tempore BK occidit, eo etiam 2f N, quo K4, eo etiam M N, quo 4X, eo etiam XM, etiam ΖΝ maiore tempore occidit quam NM, NM autem quam M. dico, etiam 44,3 aequali tempore oriri atque X M, KA atque M N, BK atque ΝΖ. b. 3. τὰς TH, HP] in ras. m. 1 Vat. 18. &P] pro s in ras. ἢ m.2 Vat. 16. Post δύνει add. ὧν ἐπεὶ ἡ AX τῇ EM £v ἴσῳ χρόνῳ δύνει m. 2 Vat, 10 14 $AINOMENA φέρεια ἴση ἐστὶ τῇ O Ψ. ἐν ᾧ ἄρα τὸ Q ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ΚΞ Ξ τὴν A διέρχεται; ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ψ Ρ΄ τὴν ΨΟ. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν τὸ 2 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ EK τὴν ΞΘ διέρχεται, ἡ ἡ B9 δύνει" ἐν ᾧ δὲ τὸ Ψ τὴν ΟΨ διέρχεται, ἡ ΒΨ δύνει. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ αἱ 4.8, Β Ψὶ περιφέρειαι δύνουσιν᾽ ὥστε καὶ αἱ ΚΗ, HA ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνου- σιν ὁμοίως καὶ αἱ ΘΚ, 4M. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ 440, ΜΓ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν. ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ xal ϑεωρείσϑω τὰ λεγόμενα ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκένον ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ AT, καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα τῶν A4 H, ΗΓ εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ 8, K, 4, M σημεῖα, καὶ ἔστωσαν καθ᾽ ὧν φέρεται τὰ Θ, K, 4, M σημεῖα παράλληλοι κύκλοι, of NE, OII, PZ, TT. bal ἢ DU ZH τῆς ΚΗ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἔστω τῇ KI ὁμοία ἡ Ho: ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ K ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ K τὴν ΚΠ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Π παραγίγνεται; ἐν τούτῳ καὶ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ H τὴν ἨΦ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Φ παρέσται καὶ ὃ τῶν ἕξωδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν ΦΠΧ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ 1Σ τῆς HZ μείζων ἐστὶν 1) ὁμοία, ἃ. 6. αἱ] ἡ ἃ. b. 5. ἐπεί] καὶ ἐπεί fo. 2 Vat, PHAENOMENA 15 E arcui ΟΡ aequalis est. quo igitur tempore € ex- -orsum ἃ A areum AX percurrit, eo etiam 9 areum *PO, verum quo tempore (Ὁ exorsum a X arcum ,£Ó) per- eurrit£, B.9, occidit, οὐ quo tempore *U arcum O I per- eurrit, B V, occidit. itaque arcus £2B, BI aequali tem- pore occidunt. quare etiam K H, H4 aequali tempore occidunt; eodem modo etiam OK, 4M. eadem de causa eliam 40, MI' aequali tempore occidunt. verüm maiore et considerentur ea, quae diximus, in secunda figura, et sit semicireulus, qui post Cancrum est, sub terra AI et dividatur uterque arcus 4H, HI'in tres partes aequales in punctis 9, K, 4, M, et sint circuli paralleli, per quos puncta 0, K, 4, M feruntur, NX, OII, PZ, TT. quoniam ZH maior est quam similis arcui K II, sit arcui K Π similis H4. itaque quo tempore K ab Καὶ exorsum, postquam ar- eum KII percurrit, ad II pervenit, eo etiam H ab H ex- orsum, postquam areum JH percurrit, ad ᾧΦ perveniet et eireulus zodiacus positionem habebit velut IIX. rursus, quoniam 4/2 maior est quam similis arcui HZ, sit arcui 10 1ὅ 20 25 " |. 16 $AINOMENA | i μὲν 40 τῆς ΘΚ δύνει, ἡ δὲ OK τῆς K H: ἐν πλείονι. ἄρα χρόνῳ δύνει καὶ ἡ μὲν ΓΜ τῆς MA, ἡ δὲ M A τῆς A H. τὰ αὐτὰ δειχϑήσεται καὶ ὅταν ὁ «diio τῶν παραλ- λήλων ἐπὶ τοῦ δρίξοντος ἧ, καὶ γραφομένων διὰ τῶν K, Θ μεγίστων κύκλων καὶ διὰ τοῦ πόλου [γραφομένων ὥστε τῷ ἕκτῳ ϑεωρήματι τοῦ τρίτου βιβλίου τῶν zou ρικῶν]. ἔστω τῇ ΗΖ ὁμοία ἡ AW. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Η τὴν HZ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ “Δ τὴν P περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ "P παρέσται καὶ ὃ τῶν ζῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν "PZS. καὶ ἐπεὶ iv σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι of OII, ῬΣ μεγίστου τινὸς κύκλου, περιφερείας τοῦ 4Γ τὰς ΠΗ, HK ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ, ἴσος ἐστὶν ὃ OII τῷ ΡΣ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἵ IIO, ΡΣ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ 48Γ4 τὰς z21 ZII ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν EZ, ἴση ἐστὶν ἣ ZZ τῇ ZII: ἔστι δὲ καὶ ἡ ΨΖ τῇ Z9 ἴση" ἴση ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ II ἐπὶ τὸ $ τῇ ἀπὸ τοῦ Ῥ ἐπὶ τὸ Σ. καί ἐστιν ἴσος ὁ OTI κύκλος τῷ ΡΣ κύκλῳ" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ τῇ ΨΣ περιφερείᾳ. ἐπεὶ δὲ ἀσύμπτωτόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ Χ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ X, II μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ 9) ἦμι- κυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ $5, Z μέφη, ὁμοία ἐστὶν d πῶ περιφέρεια τῇ ΦΖ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ ΠΏ, τῇ ΨΣ ἐστιν ὁμοία " καὶ T ΦΖ ἄρα τῇ ΨΣ ἐστιν ὁμοία. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ D τὴν ΦΖ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ VU τὴν ΨΣ διελϑὸν ἐπὶ τὸ Σ παραγίγνεται. ἀλλ᾽ ὅταν μὲν τὸ Φ ἐπὶ τὸ Z παραγένηται, ἀνατέλλει ἡ ΠΦ περιφέρεια, τουτέστιν 7 ΚΗ ὅταν δὲ τὸ ἐπὶ τὸ Σ παραγένηται, ἀνα- τέλλει ἡ ΨΖ περιφέρεια, τουτέστιν ἡ ΠΗ" 5 KH ἄρα τῇ AH ἐν ἴσῳ χφόνῳ ἀνατέλλει. ὁμοίως δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΚΘ τῇ 4M à ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει, ἡ δὲ 40 τῇ ΜΓ. τοῦ ἄρα μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου ci ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν «f πρὸς ταῖς ἃ. ἢ. DM] PN a. . MA (ργ)} corr. ex MA V. 4. καί] τῶν ἃ. ὅ. γραφομένων --- 6. Σ:φαιρικῶν) deleo. PHAENOMENA Ti tempore 446 occidit quam ΘΚ et ΘΚ maiore quam KH. ergo maiore tempore occidit etiam ΓΜ quam M4, MA autem quam 4H. eadem etiam demonstrabuntur, si po- lus eireulorum parallelorum in horizonte est atque per 6, K et per polum cireuli maximi deseribuntur [ib. III, 6 |. HZ similis 4*P. quare quo tempore H, postquam arcum HZ percurrit, ad Z pervenit, eo etiam 74, postquam areum Z4 percurrit, ad Δ perveniet et eireulus zodiaeus posi- lionem habebit velut *PZ$2. et quoniam in sphaera circuli paralleli ΟΠ, ΡΣ maximi alieuius circuli 41' aequales ar- eus ΔΗ, HK ad maximum parallelorum EZ auferunt, O11 eireulo ΡΣ aequalis est (Theodos. II, 17). iam quoniam in sphaera circuli aequales et paralleli IO, PX maximi ali- euius cireuli 4BI' arcus ZZ, ZII ad maximum paralle- lorum EZ auferunt, EZ δου Z II aequalis est (ib. IL, 18). yerum *PZ arcui Z$) aequalis est. aequalis igitur etiam recta a Π ad £2 rectae ab *P ad ZX (ib. ΠΙ, 3). et cireulus ΟἿ eireulo PX aequalis est. itaque I/£) arcui *PZ ae- qualis est. quoniam autem semicireulus ab X ad X, ll partes eum semicireulo ab δὰ ad δὰ, Z partes non concurrit, arcus II9) arcui OZ similis est (ib. II, 13). verum Π δὲ similis est areui ΦΩ͂Σ. quare etiam OZ arcui ΡΣ similis est. itaque quo tempore Φ, postquam arcum OZ percurrit, ad Z pervenit, eo etiam *"U, postquam ἾΡΙΣ percurrit, ad X pervenit. verum eum ὦ ad Z pervenit, areus IIO, hoc est KH oritur; eum autem *P ad Z2 pervenit, arcus *PZ, hoc est ΔῊ oritur. itaque KH aequali tempore atque ΔΗ ori- tur. similiter demonstrabimus, etiam K Θ aequali tempore oriri atque 4M et 40 aequali tempore oriri atque MI. ergo semicirculi, qui post Canerum est, aequales arcus inaequalibus temporibus occidunt, ac maximis quidem, qui b. 20. παραγίγνεται] del. et scr. παρέσται m. 2 Vat. - | 95. Post MI add. ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει Vat., sed postea del. 10 1ὅ 20 18 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ τοῦ ἄρα μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περι- φέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν «t πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν. ἐν ἐλάσσονι, δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἱση- μερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ Me ἀνατέλλουσιν. ιγ΄. | Τοῦ μετὰ τὸν Alyóxsgov ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περι- φέρειαι., ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλεί-, στοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάτ- ἐοῦσιν δὲ αἱ ἑξῆς τούτων. ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἵ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ loquegi- νοῦ καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI, ϑερινὸς δὲ PA ὁ 4E, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΖ, ἰσημερινὸς ὁ ΒΖ. ὁ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν imd τὴν AHT' 0, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν AlyóxsQov ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ ΓΗ Α, καὶ διῃρήσϑω ἑκάτερον τῶν ὑπὸ γῆν ΓΗ͂, ΗΑ πεταφτημορίων εἷς τὰ ξῴδια κατὰ τὰ K, 4, M, Ν' λέγω, : T bivaya τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλλάσσοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν | ἐλαχίστοις δὲ αἵ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἵ ἴσον &m-. ἔχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσινος Recensio b. | v. Τοῦ μετὰ τὸν AlyóxtQov ἡμικυκλίου eb ἴσαι περιφέ- φειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν. αἴ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἴ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ af πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσῳ δὲ αἵ &. 92. ἀνίσοις] ἴσοις à. b. ei] supra m. 1 V. 19. ἑκάτερον] addidi. τῶν — 90. τεταρτημορίων] τό — τεταρτομόριον ἃ | PHAENOMENA 19 ergo semicireuli, qui post Canerum est, aequales arcus inaequalibus temporibus occidunt, ac maximo quidem, qui ad contactus tropicorum sunt, minore autem, qui hos deinceps sequuntur, minimis miteii qui ad aequi- noctialem sunt, aequalibus autem ii, qui ab aequinoctiali aequali Misreallo distant. iam similiter demonstrabimus, eos aequali inter se tempore oriri. | XIIL . Semicireuli, qui post Capricornum est, aequales areus jnaequalibus temporibus oriuntur, ac maximis quidem, qui ad contactus tropicorum sunt, minoribus autem, qui hos deineeps sequuntur, minimis autem, qui ad aequi- noetialem sunt, aequalibus autem ii, qui ab aequinoctiali aequali intervallo distant, et occidunt et oriuntur. sit in mundo horizon 4 BI, aestivus autem tropieus AE, hiemalis autem tropicus ΓΖ, aequinoctialis ΒΖ, Z0diaeus autem cireulus positionem habeat ΑΗ ΓΘ. et 3it semicirculus, qui post Caprieornum sub' terra est, DLHA, et dividatur uterque sub terra quadrans ΓΗ, H4 im signa in punetis K, 4, M, N; dico, areus ΓΚ, K 4, ad contactus tropieorum sunt, minoribus autem, qui hos | deinceps sequuntur, minimis autem, qui ad aequinoctialem 'Sunt, aequalibus vero, qui ab aequinoctiali aequali intervallo tant, et occidunt et oriuntur. Recensio b. ᾿. . XIII. Semicireuli, qui post Capricornum est, aequales &reus inaequalibus temporibus oriuntur, ac maximis quidem, qui ad contactus tropicorum sunt, misaribus autem, qui hos deinceps sequuntur, minimis auiem. qui ad aequinoctialem ΟΡ. 3. Seq. scholium nr. 102 et demonstr. altera, v. app. 3. ἔσῳ] ἴσοις supra m. 2 Vat. 10 80 ΦΙΙΝΟΜΕΝΑ ExameT— j | ὅτι αἱ ΓΚ, KA, AH, HM, MN, NA περιφέρειαι b ἀνίσοις HRK diucciiddudie χὰ ἐν πλείστοις μὲν i ΓΚ, NA, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ KA, MN, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ AH, HM, ἐν ἴσοις δὲ ἡ ὧν ΓΚ τῇ NA, ὴ δὲ ΚΑ τῇ ΜΝ, ἡ ὃὲ AH τῇ HM. ak ϑερινός | | au E ἀνατολή διῃρήσϑω δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν 40, ΘΙ τεταρτημο- ρέων τοῦ “μενὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου εἰς τὰ ξῴδια χατὰ τὰ E, O0, Il, P" ὃ ἄρα κύκλος ἔσται διῃρημένοῦ, ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ onmi κύκλου καὶ ἀνατέλλουσι 5 δύνουσιν. | ἔστω δρίξων κύκλος ὁ ABI'A, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς, ὃ Β4, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ DA, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Ai- γόκερω ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ 4 HB, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ὁ EOHZ, καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα τῶν BH, HA εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ K, A, M, N σημεῖα" λέγω, ὅτι αἱ BK, KA, AH, HM, MN, "NA ἐν üvlooic χρόνοις ἀνατέλλουσιν, d iy "i στοις μὲν αἱ BK, NA, iv ἐλάσσοσι δὲ αἱ KA, MN, ἐν ἔλα χίστοις δὲ af AH, HM, iv ἴσῳ δὲ 7j uiv BK τῇ NA, ἡ ΚΑ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ AH τῇ HM ἀνατέλλει καὶ δύνει. ἃ. 2. ἀνατέλλουσι V; item p. 82 lin. 14 utrumque. 4. Η NM a. 6. ἑκάτερον) τὸ ἕτερον ἃ. ὰ rouge PHAENOMENA 81 AH, HM, MN, NA inaequalibus temporibus oriri, ac maximis quidem ΓΚ, N.4, minore autem Καὶ 4, MN, mi- nimis autem ΔΗ. H M, aequalibus autem ΓΚ et NA, KA οἱ MN, AH et HM. dividatur etiam uterque quadrans 40, 6 T' semicireuli, qui post Canerum est, in signa in punctis ΚΞ, O, II, P. eireulus igitur in duodecim partes aequales divisus erit, sunt, aequales autem ii, qui a circulo aequinoctiali aequali intervallo distant, et oriuntur et oecidunt. — Sit eireulus horizon A4BI'4 et aestivus tropieus B4, hie- malis autem tropieus ΓΖ, et sit semicirculus ZHB, qui post Üapricornum est, sub terra, aequinoctialis autem cireulus sit EOHZ, et dividatur uterque arcus BH, ΗΔ in tres partes aequales in punctis K, 4, M, N; dico BK, ΚΑ, AH, ΗΜ. ΜΝ, N4 inaequalibus temporibus oriri, ac maximis quidem BK, ΝΖ, minoribus autem K 4, MN, minimis autem AH, HM, aequalibus autem BK et ΝΖ, KA et MN, AH et HM oriri. - b. 8. Post ΝΖ ins. περιφέρδιαι m. 2 Vat. 10. i60] ἔσοις m. 2 Vat. 11. ἀνατέλλει] ἀνατέλλουσι m. 2 Vat. xol δύνειΐ add. Nokk. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 6 10 10 15 20 82 QAINOMENA εἷς τὰ δώδεκα ἴσα, καὶ φανερόν, ὅτι αἱ 4,3, ΞΟ, OO, ΘΙ, ΠΡ, ΡΓ ταῖς ΓΚ, ΚΑ, AH, HM, MN, NA ἴσαι τέ ele καὶ γιεθαφθάηνε ε, iud ME τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ, χρόνῳ δύνουσιν, ἀλλ᾽ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἑξῆς τού-᾿ vOv, ἐν ἐλαχίστοις ὃὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, àv ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ, ἐν mAs- vo μὲν ἄρα αἱ ΑΞ, ΡΓ δύνουσιν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ΞΟ, ΠΡ, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἱ OO, OII, ἐν ioo δὲ ἡ μὲν AA τῇ PI, ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΠΡ, ἡ δὲ OO τῇ ΘΙ. ἀλλ᾿ ἐν d αἱ 45, XO, OO, ΘΠ, ΠΡ, ΡΓ δύ: νουσιν, ἐν τούτῳ αἱ ΓΚ, KA, AH, ΗΜ, MN, NA ἀνατέλλουσιν. ἐν πλείστῳ ἄρα χρόνῳ αἱ ΓΚ, N.4 ἀνα- ἔστω γὰρ τὸ μετὰ τὸν “Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆς τὸ BOA καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα τῶν ΒΘ, 94 tig τρία ἴσα κατὰ τὰ O, IHR, lI ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ j BO δύνει ἤπερ ὃ ΟΠ, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ΒΟ δύνει, ἡ AN ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΟΠ δύνει, ἣ MN ἀνατέλλει, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ NA ἀνατέλλει ἤπερ ἡ NM. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ἡ 01 ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἤπερ ἡ ΠΘ, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ΟΠ δύνει, ἡ ΝΜ ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΠΘ δύνει, ἡ HM ἀνατέλλει, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΝΜ ἀνατέλλει ἤπερ ἡ MH, διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν BK τῆς Κα ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει, ἡ δὲ ΚΑ τῆς AH. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ Πϑ δύνει, ἐν τούτῳ καὶ ἣ OP, ἀλλ᾽ ἐν à μὲν ἡ ἡ Πθ δύνει, ἡ MH ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ j ΘΡ δύνει, ἡ HA ἀνατέλλει, καὶ ἡ ΜΗ ὥρα τῇ H.A ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ uiv KA τῇ ΜΝ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει, ἡ δὲ ΒΚ 4Ν. πάλιν, ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ À IIO ἀνατέλλει, ἔν τούτῳ καὶ ἡ 9P, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ἡ H 6 ἀνατέλλει, U MH δύνει, ἂν ᾧ δὲ χρόνῳ 1 6 P ἀνατέλλει, ἡ ἢ HA δύνει, ἡ AH ἄρα 4 HM iv ἴσῳ χρόνῳ δύνει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ΚΑ τῇ ΜΝ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει, ἡ δὲ ΒΚ τῇ 4Ν. ἃ. 1. τα τό (comp.) supra m. 1V. 2. ΚΑ] Aecorr. V. 3. énsl] ἐπί ἃ. D. δύνουσι V; item lin. 12. 9. δύνουσιν] δύνουσαι ἃ. 1 PHAENOMENA 83 et adparet, arcus 44, XO, O9, ΘΠ. ΠΡ, PI' arcubus IK, ΚΑ, AH, HM, MN, N.A et aequales esse et oppo- sitos. et quoniam semicireuli, qui post Canerum est, aequales areus non aequali tempore occidunt, sed maxi- mis, qui ad contactus tropicorum sunt, minore autem, qui hos deinceps sequuntur, minimis autem, qui ad aequi- noctialem sunt, aequali autem 11, qui ab aequinoctiali aequali intervallo distant [prop. XII], maximo 4E, PI'oc- cidunt, minore autem ,3O, ΠΡ, minimo autem O6, ΘΗ, aequali autem 43 et PI, EO et ΠΡ, OG et ΘΠ. verum quo tempore 45, ΞΟ, O6, ΘΙ, ΠΡ, PI' occidunt, eo IK, KA, AH, HM, MN, NA oriuntur. itaque maximo tempore ΓΚ, N.4 oriuntur, minore autem Κα, MN, mi- nam sit semicirculus B 67, qui post Cancrum est, super lerram, et dividatur uterque arcus BO, ΘΖ in tres partes aequales in punctis O, I], P, 2. quoniam BO maiore tem- pore occidit, quam OZ [prop. XII], verum quo tempore BO oecidit, ΖΝ oritur, et quo tempore OII occidit, MN oritur [prop. XI], ΝΖ maiore tempore oritur quam ANM. rursus quoniam OII maiore tempore occidit quam 1/0, verum quo tempore OII occidit, NM oritur, et quo tempore {0 oc- cidit, HM oritur, NM maiore tempore oritur quam ΜΗ. eadem de causa etiam BK maiore tempore oritur quam ΚΑ et KA quam ΔΗ. et quoniam quo tempore 116 oc- cidit, eo etiam OP [prop. XII], verum quo 1/0 occidit, ΜῊ oritur, οὐ quo tempore 6 P occidit, H.A oritur, etiam MH aequali tempore oritur atque H4. eadem de causa etiam ΚΑ aequali tempore oritur atque M N et BK atque ΖΝ. rursus, quoniam quo tempore 1/6 oritur, eo etiam OP (ib.), yerum quo tempore 1/6 oritur, MH occidit, et quo tempore O0 P oritur, H.4 occidit, 4H aequali tempore occidit atque HM. eadem de causa etiam K./ aequali tempore occidit atque ΜΝ et BK atque ΖΝ. b. 1. K«gxívov] in ras. Vat. 3. Post Z add. σημεῖα. καί m. 2 Vat. 6* 10 15 25 | 84 ΦΑΙΝΟΜΗ͂ΝΑ | τέλλουσιν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ KA, MN, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ | αἱ 4H, HM, ἐν ἴσῳ δὲ ἡ uiv AN τῇ ΓΚ, ἡ δὲ) ΜΝ τῇ KA, ἡ δὲ HA τῇ ΜΗ. καὶ ἐπεὶ, ἐν ᾧ χρόνῳ ἀνα- τέλλει ἡ OO, ἐν τούτῳ καὶ ἡ O II, ἀλλ᾽ ἐν ó μὲν χρόνῳ ἡ ΟΘ ἀνατέλλει, ἡ AH δύνει, ἔν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΘΠ ἀνατέλλει. ἡ HM δύνει, ἡ ἡ HA ἄρα τῇ HM ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ΜΝ τῇ AK, ἡ δὲ NA | τῇ ΚΙ. [4ῆὔμμα. Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τῶν ἴσων περιφερειῶν καὶ ἢ ἴσον ἀπεχουσῶν ἀπὸ τῆς τροπιρῆβ συναφῆς ὁπότεραρ-, | oUv, ἐν ᾧ ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει, ἡ ἑτέρα δύνει καὶ τὸ ἀνάπαλιν. | ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὃ ABI, ϑερινὸς δὲ ὁ 44,, χειμερινὸς δὲ ὁ BI, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν BEA, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι τε xol - ἴσον ἀπέχουσαι τῆς τροπικῆς συναφῆς περιφέρειαι αἱ ΕΖ, ΗΘ' λέγω, ὅτι ἐν ᾧ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, ἣ HO δύνει. ὑποκχείσϑω. ὅτι τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ' τὸ ΒΘΖ δύνει. εἰλήφϑω δὲ τῇ ΗΘ ἴση τε καὶ ἀπεναν- τίον ἡ KA περιφέρεια οὖσα τοῦ μετὰ τὸν «ἰγόκερων - ἡμικυκλίου. αἱ ΚΑ, ΕΖ ἄρα ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ τε ἰση- ὦ μερινοῦ καὶ τῶν τροπικῶν συναφῶν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνα- τέλλουσιν" ἀλλ᾽ ἐν ᾧ ἡ KA ἀνατέλλει, ἡ ἀπεναντίον ἡ ΘΗ δύνει" καὶ ἐν ᾧ ἄρα ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, ἡ ΘΗ δύνει καὶ τὸ ἀνάπαλιν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.) ὃ. HA] ΚΑ ἃ. MH] AH a. 4. OII] OP a. 6. ΗΛ) AN a. 9. Δῆμμα)] εδ'΄ Vl (L numeros propositionum om.), :s' ν΄. 14. ὁρίξων)] om. ἃ. 18. ἡ (alt.)) om. à. 19. ὑποκείσϑω, ὅτι) addidi; lac. 10—12 litt. a. 21. οὖσα] addidi; lac. 5 litt. ἃ Alyóxsoov] -ν &dd. m. 2 V. 22, ΚΑ, EZ) addidi. 24. 1 (tert.)] supra add. m. 1 V. 26. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. γ΄. 1) Hoc lemma pro scholio habent codd. rec. b; v. schol. nr. 107 et prolegomena. PHAENOMENA 85 ' nimo autem ΖΗ, HM, aequali autem ΖΝ et ΓΚ, MN οὐ ΚΑ, HA et MH [prop. XII]. et quoniam, quo tem- pore O6 oritur, eo etiam 97 [ib.], verum quo tempore OO oritur, 4H occidit, quo autem tempore ΘΙ oritur, | .H M occidit [prop. XI], HA et HM aequali tempore . occidunt. eadem de causa etiam MN et 4K, NA et ΚΓ. [Lemma.!) Cireuli zodiac) arcuum qui aequales sunt et ab utrovis . eontaetu tropico aequali intervallo distant, quo tempore . alter oritur, alter oceidit et vicissim. | sit in mundo cireulus horizon ABI Z, aestivus autem tropicus 4.2]. hie- malis autem BI zodia- eus autem circulus po- sitionem habeat BEZ et auferantur arcus ae- quales et a contactu tro- pico aequali intervallo distantes EZ, ΗΘ: dico, quo tempore EZ oriatur, eo HO occidere et vicis- sim. supponatur, semicireulum B ΘΖ, qui post Canerum est, occidere. sumatur autem arcui H6 aequalis et op- positus arcus Κα. qui semicireuli post Capricornum est. arcus KA, EZ igitur et ab aequinoctiali et a con- actibus iropicis aequaliter distantes aequali tempore oriuntur [prop. 12]; verum quo tempore KA oritur, areus oppositus 6 H occidit [prop. 11]; ergo quo tem- pore EZ oritur, 6 H occidit et vicissim. quod erat de- monstrandum. | e ad nan 86 $AINOMENA ιδ΄. Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώ-. δ τερον, ὅταν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ ἦ τοῦ τε ἀρκχτικοῦ καὶ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ. ϑερινός o — — ———— ——— -— 1 1 m /————— ——"2———" —— ———— ids qum 08 ἕῳδιακός χειμερινός Recensio b. i ιδ΄, Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου of ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν. πλείονι ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώ- δ τερον, ὅταν ὃ πόλος τοῦ ὁρίξοντος μεταξὺ ἢ τοῦ τε ἀρκτικοῦ καὶ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ. ΒΡ Ὸ Ὁ d mi PHAENOMENA 81 XIV. . Qireuli zodiaci aequales areus non aequali tempore hemisphaerium eonspicuum permutant, sed maiore sem- per is, qui propior est aestivo tropico quam remotior, si polus horizontis inter arcticum et aestivum tropieum est. A —A— Recensio b. E — XIV. Cireuli zodiaei aequales arcus non aequalibus tem- poribus hemisphaerium conspicuum permutant, sed maiore tempore arcus, qui propior est contactui tropici aestivi quam remotior, si polus horizontis inter arcticum et aesti- vum iropicum est. E tadqas VI, ig v. 4. ἔγγειον ἃ. &zóvsQov ἃ. . τροπικὸς ὃ ΒΓΚ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΜΝ, ὃ δὲ τῶν ξῳδί Qv e 10 10 20 88 $AINOMENA ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὃ ABI, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ga νερῶν ὃ 44, τῶν δὲ ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ΖΗ, καὶ ϑερινὸς " κύκλος 9écw ἐχέτω ὁτὲ uiv τὴν K EO, ὁτὲ δὲ τὴν IITP, καὶ ἀπειλήφϑω ἡ KO περιφέρεια μὴ μείξων, pod καὶ διὰ τοῦ E γεγράφϑω μέγιστος κύκλος φαπτόμενος τοῦ A44 E' ἐφάπτεται δὴ καὶ τοῦ Z d ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Καὶ ἐλεύσεται [ὃ EH O κύκλος] ἢ ὑπε Hi πεσεῖται τὸ Καὶ ὡς ἐπὶ và B μέρη" οὐδὲν γὰρ διαφέρε “ L ἔστω ὃ EH O καὶ ἔστω ἀσύμπτωτον τὸ ἀπὸ τοῦ E qut κύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ P μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ 4 ἡμικυκλίῳ ὦ ἐπὶ và B μέρη. ἐπεὶ οὖν τοῦ ABI κύκλου ὁ zóAo μεταξύ ἐστι τῶν AZ E, BKI, καὶ γεγραμμένοι edi ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ABI, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανε- ρῶν ἔστω ὁ EZ, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς ὃ BA, καὶ ἔστω ὁ τοῦ AB ΓΔ πόλος cds, τῶν EZ, BA, ὃ δὲ τῶν ἑῳδίων κύκλος ποτὲ μὲν ϑέσιν ἐχέτω ἃ ὡς τὴν ΘΗ K, ποτὲ δὲ ὡς τὴν ΜΝ, καὶ ἀπειλήφϑω 7 ΗΚ μὴ μείξων dw an: καὶ γεγράφϑω διὰ τοῦ Καὶ σημείου μέγιστος κύκλος ὃ ΚΙΝΝΖ ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΖ. : 1 ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ABI'A κύκλου τινὸς E 1 ἐφάπτεται, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τέμνει τὸν ΒΑ, x ἐστιν ὃ τοῦ ABI πόλος μεταξὺ τῶν AB, EZ, καὶ jJ" μένοι εἰσὶ μέγιστοι κύκλοι of O HK, AMN ipussiiemer τοῦ BA, μείζων ἐστὶν ἡ OME xapuplosia τῆς O4 περιφερεία : πάλιν, ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ «μέγιστος κύκλος ὁ ABUA κύκλου τινὸ τοῦ EZ ἐφάπτεται, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τὸν B τέμνει, καί ἐστιν ὁ τοῦ 48 ΓΔ κύχλου πόλος μεταξὺ τῶν BA, ΕΖ, καὶ γέγραπται μέγιστος κύκλος ὃ ΖΝ K ἐφαπτόμενος τοῦ EZ, καὶ ὃ τοῦ ΖΙΝΚ ἄρα κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν EZ BA ἐστιν᾽ ὃ ἄρα ἕτερος πόλος αὐτοῦ μεταξὺ τῶν ἴσων τε καὶ παραλλήλων τοῖς EZ, BA ἐστιν. μείξων ἄρα. ἐστὶν ἡ Καὶ τῆς ΟΜΝ, ὧν ἡ ΕΜΟ τῆς OZ μείξων ἐστίν" λοιπὴ ἄρα a. 2. ionic φανερῶν ἃ. 6. KO] O ecorr. V. 8. ὁ EH κύκλος) deleo. | PHAENOMENA 89 sit in mundo horizon A4BI' maximus autem circulo- rum, qui semper conspieui sunt, 42] et eorum, qui semper occulti sunt, Z H, et aestivus tropieus BI'K, hiemalis autem 4M N, zodiacus autem circulus positio- nem habeat modo K&EO, modo IITP et auferatur arcus KO non maior semicireulo, et per punetum E deseri- . batur circulus maximus contingens 4.2 E; contingit igitur eliam ZH; iam aut per Καὶ veniet aut ultra Καὶ cadet ad partes B (nihil enim interest); sit EH et sit semi- eireulus a puncto E ad partes P eum semicireulo a puneto 4 ad partes B non concurrens. iam quoniam polus eireuli 4BI' inter 44 E, BKT' est et descripti sit cireulus horizon ABI'f, maximus autem circulorum, qui semper conspicui sunt, sit EZ, aestivus autem tropieus BA, et sit polus circuli 4BI'7 inter EZ, B.4, circulus zo- diacus positionem habeat modo 60 HK, modo 4M N, et auferatur arcus HK ita, ut non maior sit semicirculo, et describatur per punctum Καὶ cireulus maximus Κα ΝΖ con- tingens EZ. quoniam in sphaera circulus maximus A4BI' circulum aliquem EZ contingit, alium autem huic parallelum B.A secat, et polus cireuli 484 inter 4B et EZ est, et de- scripti sunt circuli maximi O HK, 4M N contingentes BA, arcus OMA arcu ΟΖ maior est. rursus, quoniam in sphaera eireulus maximus ABI circulum aliquem EZ contingit, . alium autem huie parallelum B.4 secat, et polus circuli ABI'4 inter B.4 et EZ est, et descriptus est circulus maxi- mus Z NK contingens EZ, etiam polus cireuli Z N K inter EZ et BA est. itaque alter polus eius inter circulos ae- quales et parallelos EZ, B.4 est. itaque KO maior est quam ΟΜΝ. quorum EMO maior est quam O4f; itaque reliquus b. 2. τοῦ] om. Vat, sed add. m. 1. 8. Ante ἐπεί add. καί m. 2 Vat, item p. 90 lin. 8. 16. B4] Bz Vat. 2920. OMN] O eras. Vat. 10 10 15 90 $AINOMENA κύκλοι τέμνοντες τὸν BAT, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ T. περιφέρεια τῆς TII T. πάλιν, ἐπεὶ τοῦ ABT κύκλου δ᾽ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν 44Ε. BKI καὶ τοῦ AAE. ἐφαπτόμενός ἐστιν ὁ EPO, καὶ τοῦ EPO ἄρα ὁ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν 42 E, BKI"* ὃ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν ΖΗ, ΜΝΑ͂' μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΦΟ περιφέρεια τῆς TIIP: ἡ δὲ ὙΦ τῆς TIIT ἐλάσσων ἐστίν" λοιπὴ ἄρα ἡ OO τῆς PT μείξων ἐστίν. κείσϑωσαν ὅμοιαι καὶ ἴσαι περιφέρειαι αἱ TP, ΦΧ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι, καϑ᾽ ὧν φέρεται τὰ P, X σημεῖα, οἱ UXZ,59P' ὅμοιαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΨΧΣ, 532} Ρ' ἐν ᾧ δὲ τὸ Zi τὴν ZX'W περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ P τὴν ΡΩ5 περιφέρειαν διαπορεύεται. ἐν πλείονι AK τῆς EN μείζων ἐστίν. κείσϑω τῇ NA ἴση ἡ AIL, καὶ ἔστωσαν καϑ᾽ ὧν φέρεται τὰ IN, TI σημεῖα παράλληλοι κύκλοι of N PjUILE. ἐπεὶ ἀσύμπτωτόν ὁ ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ E ἡμικύκλιον d ὡς ἐπὶ và E, P μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Z ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ và Ζ, Ν μέρη, mine ἐστὶν ἡ NP “περιφέρεια τῇ rx περιφερείᾳ * ἡ NP ἄρα 2 III μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ N ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΡ περιφέρειαν i διελϑὸν ἐπὶ τὸ P παραγίνεται ἤπερ τὸ II ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ I τὴν Hr περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ IP παραγίνεται. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Ν τὴν ΝΡ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ PS παρα γίγνεται, 5 NE ἐξαλλάττει. τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ Π ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Π τὴν ΠΙ διελϑὸν ἐπὶ τὸ D παραγίγνεται ἡ Π4 ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἧἣμι- — σφαίριον" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ EN ἐξαλλάττει τὸ φανε- : ρὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ 4Π. λέγω, ὅτι καὶ ἔγγιόν ἐστιν ἡ AN τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ Π4. γεγράφϑω διὰ τοῦ XA παράλληλος κύκλος ὃ ET" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΞΜ περιφέρεια τῇ Η Ψ' μείξων ἄρα ἐστὶν ἣ Hz τῆς ΜΕ. ἡ EN ! ἄρα Éyyióv ἐστι τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ILA. ἃ. 1. τόν] τήν ἃ. ἄρα] comp. 1, ἔτι L; item p.92 lin. ὅ. Post 1 T6 1 litt. (O?) evanuit in V. 9. τῆς] τη ἃ. TIIT] II corr. ex $ V. 8. Post BK I" hab. ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος ex- ᾿ ust Rats PHAENOMENA 91 sunt circuli secantes B.41, arcus T'Ó minor est arcu |! TIIT. rursus, quoniam polus cireuli ABI' inter A444E, |! BKT' est et EPO circulum 44 E contingit, etiam cir- euli EPO polus inter 44, BKT' est. itaque alter polus eius inter ΖΗ. MNA est; arcus igitur T O maior est arcu TIIP. verum T'Ó minor est quam TIIT. itaque reliquus areus O9 maior est quam P'T. ponantur similes eb aequales arcus TP, ΦΧ, et sint circuli paralleli, per quos puncta P, X feruntur, ΤΊ ΧΣ, $£2P. similes igitur sunt arcus PX Z, 599P. verum quo tempore Σ᾽ areum ΣΧ V percurrit, eo eliam P arcum P£255 per- eurrit. itaque maiore tempore P areum P£25 percurrit, arcus ZK arcu XN maior est. ponatur arcui JV A aequalis AIL, et sint circuli paralleli, per quos puncta Ν, ΠῚ feruntur, NP, ΓΠΣ. et quoniam semicirculus ἃ puncto E ad partes EP cum semicireulo a puncto Z ad partes Z, NN non con- eurrit, arcus ΝΡ arcui I'Z similis est (Theodos. II, 13). quare ΝΡ maior est quam similis areui I'II (ib. II, 20). itaque maiore tempore /V exorsum a NN, postquam areum NP percurrit, ad P pervenit quam II exorsum a II, post- quam areum JII' percurrit, ad [Γ΄ pervenit. sed quo tem- pore N, postquam arcum ΝΡ pereurrit, ad P pervenit, IVA conspicuum hemisphaerium permutat, et quo tempore I7 exorsum a 71], postquam arcum III' percurrit, ad I" pervenit, ILIA conspicuum hemisphaerium permutat. itaque maiore tempore XN conspicuum hemisphaerium permutat quam Zl. dico, etiam propiorem esse arcum ,ZN contactui aestivi tro- piei quam L4. describatur per punctum A circulus par- allelus ET. areus XM igitur aequalis est areui H^ (Theo- dos. II, 13). quare ΗΖ maior est quam MX. ergo XN propior est contactui aestivi tropici quam 114. "punctum V. 7. TIIPJ] IITZa. TIIT] ΠΤΣ a. 9. oi TP, -$X] addidi. 10. P] $ a. oi] 7 a. 11. ΨΧΣ (pr)) V corr. ex o] 18. P295] PII (II corr. ex T) V, PAST L, POST item p. 92 lin. 1. b. 5. τῇ] seq. ras. 1 litt. Vat. 10 10 15 1 x 99 $AINOMENA 1 ἄρα χρόνῳ τὸ P τὴν P5 περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ τὸ X τὴν ΨΧ᾽ ἀλλ᾽ ἐν à μὲν τὸ P τὴν ΡΩ5 Ow. πορεύεται, ἡ PT ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἐν ᾧ δὲ τὸ X τὴν X Ψ διαπορεύεται, ἡ ΦΧ ἐξαλλάσσει, τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ TP)! τῆς ΦΧ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ αἱ ἴσαι, περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον. ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν. 1 ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ AEZ, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω ὡς τὴν nw ὡσαύτως δὲ καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ af ἴσαι τρῶν ὦ ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, καὶ ἐν πλείονι μὲν ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἵ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ϑερινοῦ τρο-᾿ πικοῦ ἐν ξκατέρῳ τῶν ἡμικυκλίων. i ἔστω ὁρίζων κύκλος ὃ A4 BI'A, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ gave- ρῶν ὁ EZ, ϑερινὸς 0i τροπικὸς ὁ BHA, ξῳδιακὸς δὲ κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὸν I'H4: λέγω, ὃ ὅτι καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ, τῷ ἐπὶ τὰ H, I' μέρη αἵ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσοις φόνοις. ἐξωλλάδαουσι. τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον. 1 τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἵ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἡμι- κυκλίων. | γεγράφϑω παράλληλος κύκλος ὁ 4Θ᾽ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ K H τῇ ΗΖ. καὶ μετακεκινήσϑω ὃ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ϑέσιν. a. 2. ΡΩ5)] PO T a. b. ἐν — 6. ἡμισφαίριον] et in textu et | m. 2 mg. addito κείμενον 1 s pro ἄρα). 7. .8$' Vl, a£ v. 9. Éyystov V. 10. ἀπότερον V b. 1. ιε΄ Vat. — Post ἑτέρῳ del. uéoni τοῦ Vat. ἡμικυκλίῳ] του Vat, sed ov mut. in o m. 1. δὅ. ἡ] Ambr. 101, αἱ Vat. item lin. 10. 1. Ante ξῳδιακός add. ὃ m. 9 Vat. 14. Posi j γεγράφϑω add. διὰ τοῦ 4 m. 2 Vat. Ἷ PHAENOMENA 93 quam X arcum *PX. verum quo tempore P areum P425 currit, eo PT conspieuum hemisphaerium permutat; uo autem .X arcum ΧΡ percurrit, X conspicuum emisphaerium permutat. ergo maiore tempore. TP con- spieuum hemisphaerium permutat quam OX. . eodem modo ne in altero quidem semicirculo aequales reus aequali tempore conspicuum hemisphaerium per- mutant, sed maiore semper is, qui contactui tropici aestivi propior est, quam is, qui remotior est, aequali autem ii, qui ab utrovis contactu aequali spatio distant. sit in mundo horizon 4 Β Γ᾽, aestivus autem tropieus .AEZ, zodiaeus autem ecireulus positionem habeat velut |. eodem modo etiam in altero semicirculo arcus aequales inaequalibus temporibus conspicuum hemisphaerium per- mutant ac maiore quidem is, qui contactui aestivi tropiei propior est quam is, qui remotior est, ae- quali autem, qui ab aestivo tropico in utro- que semicireulo aequali spatio distant. sit eireulus horizon ABI Zi, maximus autem eireulorum, qui semper eonspieuu sunt, EZ, tropicus aestivus BH A, et cireulus zodiacus po- . sitionem habeat I'H4f; dico, ne in altero quidem semicireulo ad H, I' partes arcus aequales aequalibus temporibus hemisphaerium conspicuum permutare, sed maiore eum, qui propior contactui aestivi tropici sit, quam eum, qui remotior sit, aequali autem eos, qui àb aestivo tropico in utroque semicirculo aequali spatio distent. . deseribatur circulus parallelus 40. itaque KH aequalis est arcui H4 (Theodos. II, 13). moveatur circulus zodiacus et 94 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ BEI, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ K H, H Mw λέγω, ὅτι ἡ KH ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανε-. ρὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ H M. j* ἐχέτω ὡς τὴν OAP. ἐπεὶ αἱ KH, H4 ἴσον ἀπέχουσι E. συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ, ἐν ᾧ ἄρα φόνῳ ἡ 4H ἄνα- τέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΚΗ δύνει, τουτέστιν ἡ ἡ 489. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΔῊ ἀνατέλλει, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Η ἀρ- ξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AH περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, ὁ δὲ χρόνος, ἐν ὦ ἡ 4 δύνει, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ 4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AB περιφέρειαν διελϑὸν. ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται" ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Η τὴν AH dul 90v ἐπὶ τὸ H παραγίγνεται, dv τούτῳ καὶ τὸ 4 τὴν AB odd 10 φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται. κοινὸς προσκείσϑω 15 20 χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Δ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν ΔΡΚΘ περι-, φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίγνεται ὃ ἄρα χρόνος, ἐν 1 τὸ H ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AH περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ H παραγίγνεται» μετὰ τοῦ χρόνου, ἐν ᾧ τὸ Δ ἀρξάμενον. ἀπὸ τοῦ 4 τὴν 40 περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίγνε- ται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Δ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ «4 τὴν AB περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται μετὰ TOU. χρόνου, ἐν ᾧ τὸ Θ ἀρξ ξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν 4ΚΘ περι φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγέγνεται. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ H ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AH περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, μετὰ τοῦ χρόνου, ἐν ᾧ τὸ 4 ἀρξάμε- vov ἀπὸ τοῦ Ζ τὴν 40 περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παρα- γίγνεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ HA περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ὃ δὲ χρόνος, ἐν & τὸ A vue ἀπὸ τοῦ 4 τὴν 48 περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ B maga- ἃ ᾿ b. 1. Ante ἐπεί add. καί m. 2 Vat. i Ai Figuram bis hab. V. | $ PHAENOMENA 95 BEI, et auferantur arcus aequales KH, HM; dico areum KH maiore tempore conspieuum hemisphaerium per- mutare, quam H M. ὁρίξων . positionem habeat αὖ 6.4P. quoniam KH, H2 a contactu aestivi tropici aequali spatio distant, quo tempore 4H Oritur, eo KH, hoc est 446 occidit. verum tempus, quo ZH oritur, tempus est, quo H exorsum ab 4, post- | quam arcum 44H percurrit, ad H pervenit, tempus autem, quo 400 occidit, tempus est, quo 4 exorsum ἃ 74, postquam arcum 4B percurrit, ad B pervenit. itaque quo tempore H, postquam AH percurrit, ad H pervenit, eo etiam 4, post- "quam arcum ΔΒ percurrit, ad B pervenit. commune ad- ieiatur tempus, quo zf exorsum a 7f, postquam areum ZPK6 pereurrit, ad O0 pervenit. itaque tempus quo H exorsum -ab 4. postquam arcum ΑΗ pereurrit, ad H pervenit cum tempore, quo Zf exorsum a zf, postquam arcum 416 per- -eurrit, ad 0 pervenit, aequale est tempori, quo 44 exorsum ἃ 4, postquam arcum ΖΒ percurrit, ad B pervenit cum tempore, quo Θ᾽ exorsum a 2, postquam arcum Ζ Καὶ per- .eurrit, ad Θ᾽ pervenit. verum tempus, quo H exorsum ab 4, postquam arcum .4H percurrit, ad H pervenit, cum tem- pore, quo zf exorsum à Ζ΄. postquam arcum 4f6Ó percurrit, ad € pervenit, tempus est, quo ΗΖ conspicuum hemisphae- rium permutat, tempus autem, quo 7 ἃ 44 exorsum, post- σι 1 “- ῳ 10 15 20 , Ἢ 96 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ i| γεγράφϑωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι, x«9* ὧν φέρε- | ται τὰ K, H, M, οἱ KA, HO, MN: αἱ ἄρα ΚΗ, 490. περιφέρειαι ἴσαι εἰσὶ καὶ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῆς συν- | αφῆς ὁποτερασοῦν. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ ἡ 40 ἀνατέλλει, ἐν | τούτῳ ἡ KH περιφέρεια, δύνει. ἀλλὰ μὴν καὶ ἐν ᾧ τὸ | 6 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ X τὴν ΞΘΟ διαπορεύεται, i τούτῳ καὶ τὸ H ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A τὴν ΞΘΟ δια-᾿ πορεύεται, ὃ ἄρα χρόνος, ἐν à ἡ 40 ἀνατέλλει, προσ- λαμβάνων τὸν χρόνον, ἐν ᾧ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A | τὴν ΞΘΟ διαπορεύεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ v0 Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ X 3 τὴν ZHO διαπορεύεται, προσλαμ- | βάνων τὸν χρόνον, ἐν ᾧ ἡ ΗΚ δύνει. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ i A0 acad πρθαλόβων τὸν χρόνον, ἐν à τὸ o ds μετὰ τοῦ χρόνου, ἐν $: TÓ 9 μῶν ἀπὸ τοῦ 4 τὴν 4 PO περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίγνεται, ὁ χρό- | vog ἐστίν, ἐν ᾧ 4 49 ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ὡ τουτέστιν ἡ Καὶ H iv ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ KH περιφέρεια Hoi λάσσει τὸ φανερὺν ἡμισφαίριον, ἐ ἐν τούτῳ καὶ ἡ HA. εἰλήφϑω δή τι σημεῖον τὸ Μ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν H4 τῇ 4M, καὶ ἔστω x«9' οὗ φέρεται τὸ Μ᾿ σημεῖον παράλληλος, κύκλος ὁ MENO: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 4M τῇ ΚΙ, καὶ ἴσον. ἀπέ ουσιν af AM, KII τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ", ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ '4 M περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ IIK δύνει, τουτέστιν ἡ ΘΟ. ἀλλ᾽ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ μὲν q 4M. ἀνατέλλει, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Μ' τὴν ME περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ & παραγίγνεται "ἢ ὁ δὲ χρύνος, ἐν ᾧ ἡ ΘΟ δύνει, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Od ρξά-, μενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O. παραγίγνεται" ὃ à ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ M ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Μ τὴν ΜΕ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ X παραγίγνεται, ó αὐτός ἐστι τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ O ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίνεται. apio προσ- ' κείσϑω ὃ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ A ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ E τὴν EN - ἃ. 2. οἱ] evan. in V. ἄρα] comp. 1, ἔτι L. 6. 890] ΞΟΘ ἃ PHAENOMENA nam deseribantur circuli paralleli, per quos K, H, M feruntur, K 4, HO, MN. itaque arcus KH, 40 aequales 'sunt (Theodos. II, 13) et ab utrovis contactu aequali spatio distant. et quoniam quo tempore 76 oritur, eo areus KH occidit, quo autem 6 exorsum a jS arcum 0 percurrit, eo etiam H exorsum ab ;Z arcum , £90 pereurrit, tempus, quo 4O oritur, édetinións tempus, quo 6 exorsum a ,5 arcum 4 ΘΟ pereurrit, aequale est tempori, quo ΕἸ exorsum a ,Z areum ,£ HO percur- rit, adsumens tempus, quo HK occidit. verum tempus, quo 46 oritur, adsumto tempore, quo Θ᾽ exorsum ἃ ἐπ΄ quam arcum 44B percurrit, ad B pervenit, eum tempore, quo Θ ἃ Ζ exorsum, postquam arcum Z/P6 percurrit, ad 0 pervenit, tempus est, quo 440, hoc est K H conspicuum hemisphaerium permutat. itaque quo tempore arcus KH conspicuum hemisphaerium permutat, eo etiam HA. jam sumatur punctum aliquod M ita, ut ΗΖ aequalis sit areui ΖΜ, et sit circulus parallelus, per quem punctum M fertur, MENO. AM igitur aequalis est areui ΚΠ (Theo- dos. III, 3), et 44M, ΚΠ a contactu aestivi tropici aequali spatio distant. itaque quo tempore arcus 4/M oritur, eo IIK, hoe est ΘῸ occidit. verum tempus, quo ΖΜ oritur, tempus est, quo M exorsum a M, postquam MX percurrit, ad X 4 pervenit; tempus autem, quo ΘΟ occidit, tempus est, quo O exorsum a N, postquam arcum INO percurrit, ad Ὁ pervenit. itaque tempus, quo 7M exorsum a M, postquam, areum ME percurrit, ad X pervenit, idem est ac tempus, quo Ὁ exorsum a N, postquam arcum NO percurrit, ad O EU eommune adiciatur tempus, quo A exorsum a 4, 8. ἄρα] ἔτι Ll. 9. τόν] om. a; item se 19. 11. προσλαμβά- v»ov| τ Vl, ν add. m. 2 L. 13. 40] Manitius, HK ἃ. τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ΞῚ addidi, lac. e. 9 litt. ἃ. - b. 11. Post ΘΟ del. δύνει Vat. 4M] inter z et M ras. 1 litt, (N?) Vat. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 7! 10 15 10 15 au 98 $AINOMENA ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κὶ τὴν X00 περιφέρειαν διαπορεύξ ται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ 40 ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν, ἡμισφαίριον. ὃ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A τὴν AHO διαπορεύεται, προσλαβὼν τὸν χρόνον, ἐν ᾧ ἡ ΚΗ δύνει, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἣ ΚΗ ἐξαλλάσ- ὅει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον αἱ 40, ΚΗ ἄρα ἐν ἰσῷ; χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. καὶ ἡ ΘΝ διὰ τὰ αὐτὰ ἐν ἴσῳ χρόνῳ καὶ ἡ Η Μ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ 490 ἐξ- αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ON* ἐδείχϑ γὰρ ἐν τῷ πρὸ τούτου" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ KH ἐξ- αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ H M. καὶ συν- ἀποδέδεικται, ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτε- ρασοῦν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν d σφαίριον. περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ IN παραγίνεται" ὃ ἄρα χρόνος; ἐν ᾧ τὸ M ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Μ τὴν ΜΝ περιφέρειαν ᾿διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ν Tape) ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τ O ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ΚΞ τὴν EO περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τ O παραγίνεται. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπ τοῦ M τὴν ΜΝ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίγνεται; ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ 5 4M περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον " ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ᾧ τὸ O ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΞΟ haie διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παραγίγνεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν 09, τουτέστιν ἡ KII ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον: d ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ 4Μ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὺν ἡμισφαίριον, ἐ ἐν τούτῳ καὶ U ΚΠ. καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ὴ HA ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ 4Μ, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ 4 HA ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΗΚ, ἐν ᾧ δὲ ἡ AM, ἐν τούτῳ καὶ ἣ ΚΠ, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ HK ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἣμι- σφαίριον ἤπερ ἡ ΚΙ. ἃ. 1. E OO περιφέρειαν] addidi, lac. 11 litt. a. 38. H] Ma- nitius, Θ᾽ ἃ. 6. φανερόν] Φξρόν 1, αν add. m. 2. αἱ -- PHAENOMENA 99 areum E90 percurrit, tempus est, quo “ΖΘ conspicuum emisphaerium permutat; tempus autem, quo H exorsum E arcum Ξ HO percurrit, adsumto tempore, quo K H ecidit, tempus est, quo KH conspicuum hemisphaerium permutat. itaque 40 et KH aequali tempore conspi- uum hemisphaerium permutant. atque ΘΝ eandem ob iusam et HM aequali tempore conspicuum hemisphae- rium permutant. verum maiore tempore 4/6 conspi- &uum hemisphaerium permutat quam ΘΝ (nam demon- stratum est in priore propositionis parte) ergo maiore tempore KH conspicuum hemisphaerium permutat quam HM. et simul demonstratum est, eos arcus, qui ab 'utrovis contactu aequaliter distent, aequali tempore con- spieuum hemisphaerium permutare. postquam areum ,£N percurrit, ad NN pervenit. itaque tem- pus, quo MM exorsum a M, postquam arcum ΜΙΝ percurrit, Δα Ν pervenit, aequale est tempori, quo O exorsum ἃ X, postquam arcum ,XO percurrit, ad O pervenit. verum tem- pus, quo M exorsum ἃ M, postquam arcum MN pereurrit, δᾶ N pervenit, tempus est, quo arcus Z/M conspicuum hemisphaerium permutai, tempus autem, quo O exorsum ἃ &. postquam areum AO pereurrit, ad O pervenit, tempus | est, quo OO, hoc est K II conspieuum hemisphaerium per- mutat. SRdun quo tempore ΖΜ conspicuum hemisphaerium permutat, eo etiam KII. et quoniam maiore tempore Hf | ipe hemisphaerium permutat quam ΖΜ. verum quo mpore ΗΖ conspicuum hemisphaerium Pormutat. eo etiam , et quo 44M, eo etiam ΚΠ, HK maiore tempore con- jpicuum (ono permutat quam Καὶ Π. τ ΠΝ] addidi. 60 N] ΘΔ a. 8. HM] MON a. 40] AE a. 10. φανερόν] corr. ex φανερόν m. 2 l. ΟΡ. 10. Post O9 add. περιφέρεια m. rec. Vat. 12. KII] e Corr. Vat. — 15. Post H K del. ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί- Quov Vat. Seq. demonstr. altera, v. app. q* σι 10 1ὅ 10 100 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ECT ιε΄. 3 ; | Too τῶν ξῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, ἣ ἑτέρα τὸ φανερόν. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὃ ABI, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω | ὡς ZAELD, καὶ ἀπει- λήφϑωσαν ἴσαι τὲ καὶ ἀπεναντίον περιφέ- θειαι cl AE, ΓΖ’ λέγω, ὅτι ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ AE ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίρι- ov, ἡ ΓΖ τὸ ἀφανές, καὶ ἀνάπαλιν, ἐν ᾧ ἡ AE ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἡ ΓΖ τὸ φανερόν. VH clle o ili gato co udi Recensio b. AL [SEM ΝΥ TON TUN ΡΟΝ p. 100, 6 sqq. “ἔστω ἐν κόσμῳ δρίξων ὁ ὁ 4814. καὶ $9 vóg μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ 44, χειμερινὸς δὲ ἐρολδικὸς ὁ ΒΓ, ó δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AEBZ, καὶ ἔστω τὸ μὲν AEB ἡμικύκλιον τὸ μετὰ τὸν Kagxívov ὑπὸ γῆν, τὲ δὲ BZA τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερω ὑπὲρ γῆν, καὶ ἔστω ἀνατολι μὲν τὰ 4 μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ B, καὶ ἀπειλήφϑωσαν δύο ἴσαι, τὲ καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ 24 E, BZ'* λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ 4E ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν tiiepalbuv. ἐν τούτῳ Ln ZB τὸ ἀφανές, καὶ ἐν à χρόνῳ ἡ AE τὸ niponio, ἡ ΒΖ τὸ φανερόν. j ἢ l. 48] (£ Vl, κη΄ τ΄, ις΄ Vat. — 2. ἀπεναντίων ἃ. 8. ἐξαλ-. λάσσει. ἡ ἑτέρα Vat. 4. ἡ (al E add. m. 2 L. 8. Post ὡς supra. add. ἡ v. 11. AE] in ras. 19. Ante ἡ add £v τούτῳ ν΄. ἔτ ac ir PHAENOMENA 101 «XV | Qireuli zodiaci arcuum, qui et aequales et oppositi | sunt, quo tempore alter conspicuum hemisphaerium per- |mutat, eo alter occultum, et quo tempore alter oceul- | tum, eo alter conspicuum. | sit in mundo horizon ABI, zodiacus autem cireulus | positionem habeat velut Z.AEI, et auferantur arcus ae- | quales et oppositi 4E, ΓΖ; dico, quo tempore AE per- |mutat conspieuum hemisphaerium, eo ΓΖ permutare |oecultum, et vicissim, quo tempore 44 E permutet oc- | eulium hemisphaerium, eo ΓΖ conspicuum. ] ....-. Recensio b. | p.101,6sqq. sit in mundo horizon ABI et aestivus | tropicus sit 44, hiemalis autem tropieus BI circulus zodiacus autem po- sitionem habeat A EBZ, et sit semi- circulus 4f EB post Cancrum sub terra, BZ4 autem post Capricornum super * terram, et sint par- tes orientales 4f, oc- cidentales autem B, et auferantur duo arcus aequales et opposii 4E, BZ; dieo, quo tempore AE conspicuum he- misphaerium per- mutet, eo ZB occultum permutare, et quo tempore ΖΕ oc- eultum, eo BZ conspicuum. — b. 10. Ante ἡ (alb) add. ἐν τούτῳ m. 2 Vat. 23 n 102 $AINOMENA | ἔστω γὰρ ὑπὸ γῆν τὸ AED ἡμικύκλιον καὶ ἔστωσαν. παράλληλοι κύκλοι. x«9' ὧν φέρεται τὰ E, Z σημεῖα, οἵ EHB, Ζ2ΘΩ͂. καὶ ἐπεὶ τὰ ἐπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου β dios τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει | 5 τὲ καὶ δύνει; τοῦ ἄρα E δύνοντος χατὰ τὸ B τὸ κατὰ à : μέτρον αὐτῷ τὸ Z ἀνατέλλει κατὰ τὸ Zl: ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ, | τὸ E τὴν ΕΗΒ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ B παραγίνε- ται, ἐν τούτῳ τὸ Ζ τὴν ZO 4 περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ζ παραγίνεται. ὁ δὲ χφόνος, ἐν à τὸ E τὴν EHB 10 περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ B παραγίνεται. ὃ τρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ AE ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριο ὁ δὲ χρόνος, ἣν ᾧ τὸ Z τὴν 2Θ4 διαπορεύεται. ὃ χρό- ^n ἐστίν, ἐν à ἡ ΓΖ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ᾧ ἄρα ἡ AE ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, 15 ui τούτῳ καὶ ἡ ΓΖ τὸ ἀφανές. ; γεγράφϑωσαν παράλληλοι κύκλοι οἵ HEO, KZ.A, xo9* v φέρεται τὰ Ε.Ζ σημεῖα. καὶ ἐπεὶ τοῦ τῶν ξρδίων NM τὰ κατὰ διάμετρον. ἄστρα ὄντα κατὰ συζυγίαν ᾿ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, τοῦ E ἄρα “σημείου δύνοντος κατὰ τὸ Η σημεῖον τὸ 5 κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Z ἀνατέλλει κατὰ τὸ 4 σημεῖον" | ἀλλὰ τὸ uiv E τὴν ΕΘΗ διελϑὸν δύνει, τὸ δὲ Ζ τὴν ZKA διελϑὸν ἀνατέλλει " ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Εὶ τὴν ΕΘΗ περις. φέρειαν διαπορεύεται, καὶ τὸ Ζ τὴν ZKA. ἀλλ᾽ ὃ μὲν ὟΣ ἐν à τὸ E τὴν ΕΘΗ διαπορεύεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν LE 10 AÉ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον᾽ ὃ δὲ χρόνος. ἐν τὸ Ζ τὴν ZKA διαπορεύεται. ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ Ζ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ἡ 4E ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" καὶ ἡ 28 τὸ ἀφανές. ὁμοίως δὲ δείξομεν, ὃ ὅτι καί, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΔΈ Holds 15 τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἡ ZB τὸ φανερόν. E a. 3. ZOZ] 2Θ4 a. b. ἄρα] comp. 1, Fr. L. — 6. χρόνῳ ji om.a. 7. EHB| EB ἃ. 12, Z τήν] om. γ΄. 14, ἡ AE] τὸ 4 à. 1. ἡ] τό ἃ, casas." PHAENOMENA 103 nam sit semicirculus 4 EI' sub terra, et sint circuli paralleli, per quos puncta E, Z feruntur, EH B, Z4. ei quoniam eae circuli zodiaci stellae, quae iuxta dia- metrum oppositae sunt, coniugate et oriuntur et occi- dunt (prop. VI), puncto E occidente in B punctum Z iuxta diametrum ei oppositum in Z/ oritur. itaque quo tempore E, postquam areum EHB percurrit, ad B per- venit, eo Z, postquam areum Z4 percurrit, ad Ζ ΤῊΝ verum tempus, quo E, postquam arcum EHB percurrit, ad B pervenit, tempus est, quo A4 E conspi- '&uum hemisphaerium permutat; tempus autem, quo Z areum Z2 percurrit, tempus est, quo I'Z oecultum hemisphaerium permutat. ergo quo tempore 4E con- | Spieuum hemisphaerium permutat, eo etiam ΓΖ occultum. describantur. circuli paralleli H EO, KZ, per quos feruntur puncta E, Ζ. et quoniam eae circuli zodiaci stellae, | quae iuxta diametrum oppositae sunt, coniugate et oriuntur et occidunt (prop. VI), puncto E occidente in puncto H punctum Z iuxta diametrum ei oppositum in puncto Δ oritur verum E, postquam arcum EH percurrit, occidit, Z autem, postquam arcum Z Καὶ Δ percurrit, oritur. itaque quo tempore E arcum EO0.H percurrit, eo etiam Z arcum .ZK 4. verum tempus, quo E arcum E6H percurrit, tempus |est, quo ΖΕ conspicuum hemisphaerium permutat; tempus | autem, quo Z arcum Z KA percurrit, tempus est, quo Z B occultum hemisphaerium permutat. ergo aequali tempore ΖΕ conspicuum hemisphaerium permutat et Z B occultum. similiter demonstrabimus, etiam quo tempore ZE occultum hemisphaerium permutet, eo Z B conspicuum permutare. — b. 4. E] add. m. 2 Vat. 12. ἀφανές} φανερόν Vat. ἀφανές Vat. 191, 192, 202. 14. δέ] mut. in δή m. 2 Vat. 15. Seq. . demonstr, altera, v. app. I " j j| 104 oAINOMENA , ts. ul Tov τῶν ζῳδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ , ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ; ἷ ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ χειμερινε 5 τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν. il ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ ABI, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων. κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 412, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι, περιφέρειαι αἱ 4E, EZ: λέγω, ὅτι αἱ 4Ε. EZ περ | 10 φέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ ΖΕ τῆς EZ. ἢ κείσϑω γὰρ τῇ μὲν ΖΕ ἴση τε καὶ ἀπεναντίον ἡ ΘΚ τῇ δὲ ΕΖ ἴση τε καὶ ἀπεναντίον ἡ Κ᾽ καὶ ἡ OK gt τῇ ΚΑ ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΚΘ 15 ἐξαλλάσσει. τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ KA, | ἢ — καθευφονημμὰρ ας λνυμαθινφόνιὼ "sitne a. 1, τς um V, 10^ ν΄ 3. ἀφανές] φανερόν a, sed corr. m. 1 v. b. ἀπότερον ἃ. 9. δῇ in hoc vocab. desinit v. 11. dv] ἐπί ἃ. 15. ἤπερ] ἥπερ Ll. Im ΚΑ desinunt VLI. - e s K ὁ τῇ PHAENOMENA 105 XVI.) -. Circuli zodiaci arcus aequales non aequali tempore ob- | seurum hemisphaerium permutant, sed is, qui contactui hiemalis tropici propior est, maiore semper tempore ' remotiore, aequali autem ii, qui ab utrovis contactu aequali spatio distant. i ^ , Q)'soivOóg τροπικὸς χειμερινός - $it in mundo horizon ABI, zodiacus autem circulus positionem habeat 4ZI; et auferantur aequales arcus A E, EZ; dico, areus ΖΕ, EZ non aequali tempore occultum hemisphaerium permutare, sed ZE maiore quam EZ. - mam ponatur arcui ZE aequalis et oppositus arcus 6 K, arcui autem ΕΖ aequalis et oppositus KA. ita- que ΘΚ arcui KA aequalis est. et quoniam maiore lempore K 9 conspicuum hemisphaerium permutat quam KA, | 1) Recensionem b propositionem XVI—XVIII v. 1068qq. 106 OAINOMEN A — ori - Recensio b. ve. Τοῦ τῶν ξωδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐχ &v ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ἀλλ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ ὅ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτερασοῦν | τῶν συναφῶν. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI, καὶ ϑερυνὸς μὲν τρο- πικὸς ἔστω ὁ 48, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΓΤ, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AT E, καὶ 10 ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ 44 E, ΕΖ; λέγω, ὅτι. αἱ 4E, ΕΖ οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ΣΡ ΒΑΘ ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ 4Ε περιφέρεια τῆς ΕΖ περιφερείας. ἀπειλήφϑωσαν γὰρ ταῖς 4E, ΕΖ περιφερείαις ἴσαι, 15 τὲ καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ HO, ΘΚ' αἱ ΗΘ, ΘΚ ἄρα περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι. τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι 3$) HO τῆς ΚΘ' ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ HO ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν. ἡμισφαίριον, ἡ 4 E τὸ ἀφανές, ἐν ᾧ δὲ ἡ OK τὸ φανε- 20 ρὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει, ἡ ΕΖ τὸ ἀφανές" αἱ AE, EZ ἄρα περιφέρειαν οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσιη τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ 4Ε τῆς ΕΖ 2. τις «£ Vat. 10: Ante ἴσαι del. αἱ Vat. — 15. αἱ ΗΘ, 6 K] supra add, m, 2 Vat, b 3 Ace PHAENOMENA 107 Recensio b. XVI. Circuli zodiaci areus aequales non aequali tem- pore obscurum hemisphaerium permutant, sed is, qui hiemali tropico propior est, maiore semper tempore re- motiore, aequali autem ii, qui ab utrovis contactu ae- quali spatio distant. sit in mundo horizon A4BI', et aestivus tropicus sit AB, hiemalis autem tropicus sit. I'T, et circulus zodia- eus positionem habeat A4I'E, et auferantur aequales areus ZE, EZ; dico, 4E, EZ non aequali tempore occultum hemisphaerium permutare, sed maiore arcum ΖΕ arcu EZ. nam auferantur areus arcubus ΖΕ. EZ aequales et oppositi HO, ΘΚ. itaque arcus HO, 6 K non aequali lempore con- spieuum hemi- sphaerium per- mutant, sed maiore | HO quam K O| prop. XIV]. verum quo tempore HO conspicu- um hemisphae- rium permutat, eo ZE occul- tum, et quo tempore OK conspicuum he- sphaerium per- mutat, eo EZ occultum [prop. XV]. ergo areus ΖΕ, EZ non aequali tempore occultum hemisphaerium permu- Tant, sed maiore ΖΕ quam EZ. 108 ΦΑΙΝΌΜΕΝΑ λέγω. ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὅὃπο- τερασοῦν τῶν τροπικῶν συναφῶν ἐξαλλάσσουσι τὸ μ᾿ νὲς ἡμισφαίριον. ἔστωσαν γὰρ καϑ' ὧν φέρεται τὰ Zl, E, Z, K, Θ, d 6 σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ 710 ,ER, ZP, KN, ΘΜ, ΗΖ’ αἱ HO, AM ἄρα Bic àv ἴσῳ 105. ἐξαλ- λάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ HO τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει, ἡ 4E τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει" ἐν ᾧ δὲ ἡ AM τὸ φανερὸν ἡμισφαί- 10 ριον ἐξαλλάσσει, ἡ ΞΟ τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει" αἱ E, ΟΞ ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. L£. Τῶν iy ἑχάτερα τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν ἴσων τε χαὶ ἴσον ἀπεχουσῶν τοῦ ἰσημερινοῦ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ 15 ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, 7) ἑτέρα τὸ φανερόν. ἔστω ἐν κόσμῳ δρίζων ὁ ABI, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος. ἔστω ὃ BAT, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω ὡς 20 τὴν AEO0, καὶ τοῦ BAT ἰσημερινοῦ ἐφ᾽ ἑκάτερα ἴσαι, τε καὶ ἴσον ἀπέχουσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἱ ΘΚ, ZH: λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ OK ἐξαλλάσδει τὸ φανερόν! ἡμισφαίριον, ἡ ΖΗ τὸ ἀφανές. 2. ἐξαλλάσσουσι. τὸ ἀφανὲς pm addidi. 4. K, 6, H]H, Θ, K Vat, 18. ιζ7 «x Vat. WM. UN TESTE, ESTER σύν αν D .»- PHAENOMENA 109 - dieo, etiam aequali tempore eos arcus, qui ab utrovis eontaetu tropicorum aequali spatio distent, occultum hemisphaerium permutare. | mam sint eireuli paralleli, per quos puneta zf, E, Z, K, 0, H feruntur, 40, E, ZP, ΚΝ, ΘΜ, HA. itaque areus HO, 4M aequali tempore conspieuum hemisphae- rium permutant [prop. XIV]. verum quo tempore ΗΘ conspieuum hemisphaerium permutat, eo 27] E occultuin permutat, et quo tempore 4M conspicuum hemisphae- rium permutat, eo ,5O occultum permutat [prop. XV |. ergo arcus ΕΖ. ΟΠ aequali tempore occultum hemi- sphaerium permutant. XVII. Arcuum, qui ad utramque partem aequinoctialis sunt atque et aequales et aequali spatio ab aequinoctiali distantes, quo tempore alter permutat conspicuum hemi- Sphaerium, eo alter occultum, et quo tempore alter per- , mutat occultum liemisphaeritim; eo alter conspicuum. sitin mundo ho- rizon A4 BI, aequi- noctialis autem cireulus sit ΒΖΓ, zodiaeus autem eireulus positio- nem habeat velut AEG, ei ad utram- que partem aequi- noctialis areus et aequales et ab ae- quinoctialiaequali spatio distantes ; sint ΘΚ, ZH; dico, quo tempore ΘΚ permutet conspicuum hemisphaerium, 60 ZH permutare occultum. 110 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ κείσϑω γὰρ τῇ ΖΗ ἴση τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ 4Μ' αἱ MA, OK ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ , 1eóvg ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἀλλ᾽ ἐν ᾧ e "- ἡ MA τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει, ἡ ZH ἀφανὲς ἐξαλλάσσει" καὶ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΚ περι: φέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΗΖ περι: φέρεια τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν χρόνῳ ἡ ΘΚ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαί- θέον, ἡ ΗΖ τὸ φανερὸν ἐξαλλάσσει. 10 εη΄. Τῶν δὲ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπολαμβανομένῳ m τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ ϑερινῷ τροπικῷ ἴσων περιφε- ρειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ 1 ἑτέρα αὐτῶν ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ ἀφανὲς καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης. ψ 18 ἔστω ἐν κόσμῳ. ὁρίξων ὁ A BI, καὶ ϑερινὸς μὲν τρο- πικὸς ἔστω ὁ 4Ξ. χειμερινὸς δὲ ὁ 40, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὃ BEI, ὃ δὲ τῶν ἑῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AEO, ud ἐν τῷ TAE ἡμικυκλίῳ ἴσαι περι- φέρειαι ἔστωσαν id ZH, ΘΚ, ἔγγιον δὲ ἔστω τοῦ ϑερι- 20 νοῦ τροπικοῦ ἡ ΖΗ: λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΗΖ ἐξαλλάσσει τὸ φανέρὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ τὸ ἀφα- νὲς καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης.. | κείσϑω γὰρ τῇ ΘΚ περιφρερδίᾳ ἴση v& καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ MN* ἔγγιον ἄρα ἡ ΖΗ τοῦ ϑερινοῦ τρο- 25 πικοῦ ἤπερ ἣ MN: ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ZH ἐξαλ- λάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΜΝ τὸ φανερόν. σι 5. ἄρα] om. Vat, supra add. m. 2. 10. is] 19^ Vat. δέ] del. m. 9 Vat. 924, Z H] add. περιφέρεια m. 9 Vat. | PHAENOMENA 111 nam ponatur areui ZH et aequalis et oppositus arcus AM. itaque arcus MA, 60K conspicuum hemisphaerium jaequali tempore permutant. verum quo tempore MA conspicuum hemisphaerium permutat, eo ZH occultum permutat [prop. XV]. itaque quo tempore areus ΘΚ conspicuum hemisphaerium permutat, eo arcus HZ oc- ultum permutat. eadem igitur de causa etiam quo tempore areus 60 K occultum hemisphaerium permutat, eo HZ conspieuum permutat. XVIIL Arceuum autem aequalium in semicirculo, qui aequinoctiali ad aestivum tropicum abscinditur, alter ma- iore tempore conspieuum hemisphaerium permutat quam reliquus occultum et quilibet quolibet. sit in mundo ho- rizon ABI, et ae- stivus tropieus sit ASA, hiemalisautem 410; aequinoctialis cireulus sit BEI, zodiaeus autem cir- eulus positionem habeat A4EO, et in semieireulo TAE arcus aequales sint ZH, OK, propior autem sit aestivo tropico arcus Z H; dico, maiore tem- pore arcum HZ conspicuum Weihisphidorfur permutare quam OK occultum et quemlibet quolibet. nam ponatur arcui ΘΑ et aequalis et oppositus arcus MN. quare ZH aestivo tropico propior est quam MN. itaque maiore tempore ZH conspicuum hemisphaerium permutat quam MN conspicuum [prop. XIV]. verum 10 15 20 112 $A4INOMENA ἀλλ᾽ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΜΝ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ qua νερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΘΚ τὸ ἀφανές" ἐν πλείονι ἄ χρόνῳ ἡ ΖΗ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν qu σφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ τὸ ἀφανές. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσηι ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ ἀφανές. ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀ λαμβανομένῳ ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ ἴσων περιφερειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ἑτέρα αὐτῶν ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπ' τὸ φανερὸν καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης. quo tempore arcus ΜΙΝ conspicuum hemisphaerium. permutat, eo ΘΚ obscurum [prop. XV]. itaque maio tempore areus ZH conspicuum hemisphaerium pere mutat quam ΘΚ obscurum. r iam similiter demonstrabimus, etiam quemlibet quo* libet conspicuum hemisphaerium maiore tempore per mutare quam reliquum obscurum. | eadem ratione arcuum aequalium in altero semi- circulo, qui aequinoctiali ad hiemalem tropieum ab- scinditur, maiore tempore alter obscurum hemisphae- rium permutat quam reliquus conspieuum et quilibet; quolibet. 8. τῶν] corr. ex τῷ m. 2 Vat. In fine: τῆς τυχούσης T τέλο ! (minio), mg.: ovt ig^ m. 2 Vat. * D Ν H E AM - n4 " AO TRIN ^ - ΠΕ ΚΟ eh Largo Tabs: ΠΕΣ DEMONSTRATIONES ALTERAE RECENSIONIS ». 1: Ad prop. VI. Ἄλλως τὸ αὐτό. Ἔστω ὃ ὁρίζων κύκλος ὃ ABI, καὶ ϑερινὸς E 6 τροπικὸς ἔστω ὁ 44. χειμερινὸς δὲ ὁ BI, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος δέσιν ἐχέτω ὡς τὴν AHBZ, καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ 4 H B Z κατὰ διάμετρον τὰ Z, Η σημεῖα" λέγ ὅτι τοῦ Ζ ἀνατέλλοντος τὸ Η δύνει. | εἰ yàg δυνατόν, μὴ Óvvéro, ἀλλ᾽ ἔστω τὸ O δῦνον, 10 καὶ διὰ τῶν Ζ, Θ παράλληλοι κύκλοι γεγράφϑωσαν. οἱ ΝΘ, Z K. dor: τοῦ Z ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Καὶ σημεῖον τὸ e δύσεται κατὰ τὸ Ν xol ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει τὴν ΜΝΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν ABI, ΜΝ4Κ κύκλων μέγιστός ἐστιν, κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ Καὶ τῷ 15 ἀλλὰ τὸ μὲν K τῷ Z ἐστι τὸ αὐτό, τὸ δὲ Ν τῷ € | τὸ Z ἄρα τῷ Θ ἐστι κατὰ didpespov: ἀλλὰ καὶ τῷ H: ὕπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοῦ Z ἀνατέλλοντος τὸ H οὐ δύνει" δύνει ἄρα. γ 7. 4H BZ] Z add. m. 2 Vat. 10. διά} supra add. m. ἢ Vat. παράλληλοι] comp. m. 1 Vat., omnibus itteris supra m. 3. 18. καί — MNAK] mg. m. 2 Vat. Resp οὐ... | l. Ad prop. VI. Aliter idem. Sit eireulus horizon 4 BI, et aestivus tropicus sit 44, hiemalis autem BI zodiaeus autem circulus posi- tionem habeat velut 44H B Z, et sint in circulo ZHBZ β puncta Z, H iuxta dia- metrum opposita; dico, puneto Z oriente H oc- ceidere. nam si fieri potest, ne occidat, sed sit punctum G occidens, et per puncta Z, O cireuli paralleli deseribantur NO, ΖΚ. itaque Z in puneto K oriente Θ in N occidet et circulus zodiacus ] positionem habebit MN AK. et quoniam uterque cireulus 4BIU, MNAK maximus est, K puncto N iuxta diametrum oppositum est. verum Κ idem est quod Z, N autem idem quod 6. quare Z puneto Θ᾽ iuxta diametrum oppositum est; verum etiam puncto H, quod fieri non potest. itaque fieri non potest, ut Z oriente H non occidat; ergo oc- cidit. 116 APPENDIX ἡ ἫΝ 2. Ad prop. XII. : 1 | Ἄλλως τὸ vB. i Αὕτη δέ ἐστιν ἡ σαφεστέρα ἔκϑεσις. δ ἔστω ἐν χόσμῳ ὁρίξων ὁ ABIA, xal ϑερινὸς ad τροπικὸς ἔστω ὁ AZ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ BI ξῳ- διακοῦ δὲ ἡμικύκλιον τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἔστω C γῇν τὸ ΑΤ, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ 2, ΤῸ δυτικὰ δὲ τὰ 4, B, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ ΕΖ, 10 xai διῃρήσϑω τὸ 4 T ἡμικύκλιον εἰς và ἐν αὐτῷ tiui κατὰ τὰ H, 0, 4, M σημεῖα, καὶ γεγράφϑωσαν παράλ- | ληλοι wikio, di NHA, OO0II, PAZ, TMT, καϑ᾽ ὧι φέρεται τὰ Η, Θ, 4, Μ σημεῖα" ον ὅτι ἐν MS uiv χρόνῳ DU osbses αἱ 4H, ΜΓ περιφέρειαι. bv ἐλάσ- 15 gov. δὲ αἱ HO, 4Μ, ἐν dioit δὲ αἱ ΘΚ, AK, iv | ἴσῳ δὲ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἐδηό μοι, ἢ | ee tme eire enu etim es fm- id 8. Ἄλλως — 4. ἔκϑεσις) atram. rubro m. 1 Vat. (δέ et ἔκϑεσις. postea &dd. m. 3). Seq. repetitio propositionis. 129. TM TIE add. m. 2 Vat. APPENDIX 117 | 2. : Ad prop. XII. Aliter propositio XII. Haec autem est expositio magis perspicua. sit in mundo horizon ABI, et aestivus tropicus sit . 44, hiemalis autem tropicus sit BI? zodiaci autem Bemicireulus 4I, qui post Canerum est, sit super ter- ram, et sint partes orientales 7f, I, occidentales autem 4, B, aequinoctialis autem circulus sit EZ, et dividatur semieireulus 4I'in signa, quae in eo sunt, in punctis H, 0, 4. M, et describantur circuli paralleli NH, OOGII, PAZ, TMT, per quos puneta H, 6, 4, M ferun- tur; dico, maximo tempore areus 4 H, MI' occidere, minore autem ΗΘ. ΛΜ, minimo autem 6 K, AK, ae- o 10 15 20 25 30 | ] 118 APPENDIX ἔστω μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ὃ vv D, xol yeygd- φϑῶωσαν διὰ τῶν H, Θ μέγιστοι κύκλοι ol v HQ X, ΦΘΨ ἐφαπτόμενοι τοῦ τυῷ κύκλου, ὥστε ἀσύμπτωτα εἷναι, τὰ ἀπὸ τῶν v, Φ ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ HX, ΘΨ μέρη. τῷ ἀπὸ τοῦ τ ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ τι A μέρη; ὁμοία! ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΝ περιφέρεια ἑκατέρᾳ τῶν 90, XE, ἡ δὲ ΘᾺ τῇ ΨΧ' iv ἴσῳ ἄρα χφόνῳ τὸ Η τὴν HN περιφέρειαν διαπορεύεται. καὶ τὸ $) τὴν $30. ἀλλ᾽ ὃ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ H τὴν ΗΝ περιφέρειαν διαπορεύεται. ὃ χρόνος ἐστίν, dv ᾧ δύνει ἡ H4 περιφέρεια" καὶ ὃ χρόνος ἄρα, ἐν ᾧ τὸ 4 τὴν 20 διαπορεύεται, ὁ αὐτός ἐστι τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια. πάλιν ἐπεὶ ὃ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΟ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν à δύνει ἡ ΘΑ͂ περιφέρεια, ὧν ἀφαιρεῖται δ᾽ e * χρόνος, ἐν ᾧ τὸ 9 τὴν 4.0 διαπορεύεται, ὁ αὐτὸς ὧν ΄ τῷ χρόνῳ, ἐν à δύνει ἡ H.A περιφέρεια, λοιπὸς ἄρα ὃ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν 6 9, διαπορεύεται, ὁ αὐτός ἐστι τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ δύνει ἡ HO περιφέρεια" ὁμοία δέ ἐστιν ἡ μὲν 04 τῇ EX, ἡ δὲ 20 τῇ X U^ καὶ ὁ χρόνος ἄρα ἐν ᾧ τὸ Χ τὴν ΧΕ διαπορεύεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν δύνει ἡ HA περιφέρεια. ὃ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ᾧ τὸ Ψ τὴν ΨΧ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἣ ΘΗ περιφέρεια. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ χρόνος, ὃν ᾧ τὸ Καὶ τὴν ΚΨ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΚΘ περιφέρεια. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος ὁ ABT ἐφάπτεταί τινος κύκλου τῶν παραλλήλων τοῦ τυ Φ καὶ τὸν ABI' τέμνουσιν οἱ μέγιστοι κύκλοι οἱ EZ, AT ὧν ὁ μὲν ΕΖ μέγιστος τῶν παραλλήλων, ὃ δὲ 4 Γ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους. καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶ περιφέ- ρθειαν αἱ 4 H, HO, ΘΚ ἐπὶ τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περι- φερείας ἴσαι ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, καὶ διὰ τῶν H, 0 σημείων γεγραμμένοι εἰσὶ μέγιστοι κύκλοι οἱ v H X, 60 ἐφαπτόμενοι τοῦ 17. ὁ] supra add. m. 1 Vat. 28. τὰ] -« supra m. 1 Vat. APPENDIX 119 iquali vero tempore eos, qui ab aequinoctiali aequali üntervallo distent. sit maximus circulorum, qui semper conspicui sunt, irvO, et describantur per puncta H, € circuli maximi HOQ.X, ΦΘΨ ita contingentes cireulum rv Φ, ut semi- eireuli ab v, ad partes HX, 97 cum semicirculo ab velut ad partes τ, 4 non concurrant [Theodos. II, 15]. itaque areus HN utrique arcui $20, XE similis est, 62 autem arcui *PX [10. Π, 13]. aequali igitur tempore H areum HN percurrit atque (ὦ arcum £20. verum tem- pus, quo H arcum HN percurrit, tempus est, quo arcus HA occidit. quare etiam tempus, quo $€) arcum $0 pereurrit, idem est atque tempus, quo arcus HA occi- dit. rursus quoniam tempus, quo 9 areum 60 per- eurrit, tempus est, quo areus 6.4 occidit, a quibus tem- pus aufertur, quo $$ arcum £20 percurrit, quod idem est ae tempus, quo arcus ΗΑ occidit, reliquum tempus, quo € arcum G2 percurrit, idem est ac tempus, quo areus ΕΘ occidit. verum arcus O9, arcui E X similis est, 9.0 autem areui XV. quare etiam tempus, quo X areum XE percurrit, tempus est, quo arcus H.4 occidit, tempus autem, quo 9f areum 9X percurrit, tempus est, quo areus 6H occidit. eadem de causa etiam tempus, quo Καὶ arcum KV percurrit, tempus est, quo areus ΚΘ oecidit. et quoniam in sphaera circulus maximus ΑΒΓ aliquem parallelorum circulum τὺ contingit et cir- eulum 4BI' circuli maximi EZ, ΑΓ secant, quorum EZ maximus est parallelorum, «4 Γ' autem obliquus ad parallelos, e& abscisi sunt arcus 4H, HO, ΘΚ in circuli obliqui cireumferentia aequales deinceps ad partes eas- dem maximi parallelorum, et per puncta H, € circuli maximi parallelorum v.H X, 0 circulum vv Φ con- 95. ABT'] add. 4 m. 2 Vat, item lin. 97. 33. vH X] post H inser 9 m. 2 Vat. 120 APPENDIX Tv O κύκλου, μείξων ἐστὶν ἡ μὲν EX περιφέρεια τῆς Xl περιφερείας. ἡ δὲ ΧΨ τῆς ΨΚ' ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ X τὴν ΧΕ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ψ τὴν "DX, καὶ τὸ Ψ τὴν *U X ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ 5 τὸ Καὶ τὴν K WV: ἀλλ᾽ ὁ μὲν χρόνος, ἐν o τὸ X τὴν ΧΕ διαπορεύεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Η τὴν ΗΝ περὶ- φέρειαν διαπορεύεται, τουτέστιν ἐν ᾧ δύνει ἡ 4 H περὶ- φέρεια᾽ ὃ δὲ χρόνος, ἐν à τὸ Ψ τὴν 3I X διαπορεύεται. ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν 0€ διαπορεύεται, τουτ- 10 ἐστιν ὁ χρόνος, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΘΗ περιφέρεια" ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Καὶ τὴν ΚΨ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν à δύνει ἡ KO περιφέρεια" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει ἡ μὲν .4 H περιφέρεια τῆς ΗΘ περιφερείαξ, ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΚ. d 15 λέγω δή, ὅτι ἐν ἴσοις χρόνοις αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ δύνουσιν. γενομένου γὰρ δὴ τοῦ Καὶ σημείου ἐπὶ τὸ E σημεῖο ^, ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν ς Ελ. xai imd ἴση ἐστὶν ἡ c E περιφέρεια τῇ Ελ περιφερείᾳ καί ἐστι 20 μέγιστος τῶν παραλλήλων ὃ EZ, ἴσος ἄρα ἐστὶν 6 5 Θ Π κύκλος τῷ PA κύκλῳ ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΟΕ περι- φέρεια τῇ EP περιφερείᾳ. ἔστι δὲ καὶ ἡ cE τῇ Ελ' ἴση ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ c ἐπὶ τὸ O τῇ ἀπὸ τοῦ P ἐπὶ τὸ λ. καί slow ἴδοι κύκλοι οἱ c OII, ΡΑ͂Σ᾽ ὁμοία ἄρα 26 ἐστὶν ἡ 50 περιφέρεια τῇ Ρλ περιφερείᾳ" ἐν ἴσῳ ἄρ, χρόνῳ τὸ À σημεῖον τὴν AP διαπορεύεται καὶ τὸ O τὴν Oc. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν à τὸ λ τὴν AP διαπορεύεται ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ AE περιφέρεια, ὃ δὲ χρό νος, ἐν ᾧ τὸ O τὴν Os διαπορεύεται, ἴσος ἐστὶ τῷ 80 χρόνῳ, ἐν ᾧ δύνει ἡ Ec περιφέρεια " ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνᾳ δύνουσιν αἱ AE, Ec περιφέρειαι. ἴση δὲ ἡ μὲν AE AK, ἡ δὲ Ec τῇ ΚΘ' αἱ AK, KO ἄρα ἐν ἴσῳ χρόν δύνουσιν. ὁμοίως δὲ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ MK, KH ὃ ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν, ὧν αἱ 4Κ, ΚΘ ἐν ἴσῳ χρόν APPENDIX 121 tingentes, maior est arcus EX arcu X, XV autem areu *PK ['Theodos. III, 8]. itaque X arcum XE maiore tempore percurrit quam 3I areum *PX et * arcum PX maiore tempore percurrit quam Καὶ areum KI. verum lempus, quo X arcum XE percurrit, tempus est, quo H | areum HN percurrit, hoe est, quo areus .4 H occidit; lempus autem, quo 9 arcum 9X percurrit, tempus est, | quo Θ᾽ areum 992 percurrit, hoe est tempus, quo arcus | 6H occidit; tempus autem, quo K arcum K*I/ percurrit, | tempus est, quo areus K 9 occidit. ergo maiore tem- "pore arcus AH occidit arcu HO, HO autem arcu 6 K. iam dieo, eos areus, qui ab aequinoctiali aequali inter- vallo distent, aequalibus temporibus occidere. || nam eum punctum Καὶ ad punctum E pervenerit, cir- eulus zodiacus positionem habeat g E. et quoniam arcus ||&E arcui EÀ aequalis est οὐ EZ maximus parallelorum | est, cireulus c 91II circulo PAZ aequalis est [ib. II, . 17]. quare etiam areus OE arcui EP aequalis est ib. II, 18]; verum etiam s E areui EA; itaque etiam recta ab ς ad O rectae ab P ad 4 aequalis est [ib. III, 3]. et aequales sunt cireuli € 9II, PAZ. quare arcus 50 'areui P4 similis est [ib. II, 13]. aequali igitur tempore /punetum 4 areum AP pereuiril atque O arcum Os. yerum tempus, quo 4 arcum AP percurrit, tempus est, quo .areus 4E occidit, tempus autem, quo O arcum Os per- eurrit, aequale est tempori, quo areus Ec occidit. aequali igitur tempore arcus 4E, Ec occidunt. verum aequalis est AE areui 4K, Es autem arcui KO. ergo AK, ΚΘ "aequali tempore occidunt. similiter autem demonstra- .bimus, etiam arcus MK, KH aequali tempore occidere, quorum partes 4K, ΚΘ aequali tempore oecidunt. ita- — 1. μεῖζον Vat. 10. δύνει] add. m. 1 Vat. 33. δὲ] mut. in “δή m. 2 Vat. 10 15 20 25 30 122 APPENDIX δύνουσιν" λοιπαὶ ἄρα αἱ MA, OH ἐν ἴσῳ χρόνω δύ- νουσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ MI, AH περι- φέρειανι ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν. καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι, χρόνῳ δύνει ἡ ΑΗ περιφέρεια ἤπερ ἡ HO καὶ ἡ HO. ἤπερ ἡ OK, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει ἡ ΓΜ περι- φέρεια ἤπερ ἡ MA, καὶ ἡ MA ἤπερ ἡ 4Κ. ἐν πλείστῳ ἄρα χρόνῳ δύνουσιν ci 4Η, MI' περιφέρειαι, ἐν ἐλάσ- cov, δὲ αἱ HO, ΑΜ ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἱ ΘΚ, AK, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν. | CENSO OPERA, NND mom PN ϑι Ad prop. XIV. "AlAoe τὸ ιδ΄. Ἔστι δὲ καὶ αὕτη ἔχϑεσις σαφεστέρα τῆς προτέρας. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὃ ABI, καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν ὃ AA E, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν 6. ΖΗΘ. καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὃ KA, χειμερι- νὸς δὲ τροπιχὸς ὁ BI, καὶ ἔστω ὃ τοῦ ABI' κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν AAE, KA κύκλων. καὶ ἔστω ἀνα- τολικὰ μὲν τὰ 4, Γ' μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ K, B, ξωδιακοῦ. δὲ ϑέσεις ἔστωσαν τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου. αἱ NE, ΟΠ. καὶ ἀπειλήφϑω ἡ OII περιφέρεια μὴ μείζων ἡμικυκλίου οὖσα. καὶ γεγράφϑω διὰ τοῦ II μέ- γιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ 44 Ε ἐφάψεται ἄρα καὶ τοῦ ΖΗΘ. ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Ο σημείου ἥξει ἢ ὑπερ- — πεσεῖται τὸ O σημεῖον. γεγράφϑω καὶ ἔστω ὃ ΘΠ. ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ E ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ E, E, Π μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ A4 ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 4, K, P μέρη, καὶ προςαναπεπληρώσϑωσαν οἱ ΞΚΞΙΝς, ΠΟΡ κύκλοι. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν δ΄ 5. jj (pr) add. m. 2 Vat. πλείονι] -- add. m. 2 Vat. Ante ἡ (alt. add. καί m. 2 Vat. 10. Seq. in Vat. schol. nr. 122 — ! APPENDIX 123 que reliqui areus M^, € H aequali tempore occidunt. jam similiter demonstrabimus, etiam areus MI, 4H aequali tempore occidere. et quoniam arcus 4H maiore tempore occidit quam HO et HO quam ΘΚ, areus I'M maiore tempore occidit quam MA et MA quam AK. ergo maximo tempore arcus 4H, MI" occidunt, minore autem HO, 4M, minimo autem ΘΚ, AK, aequali autem ii, qui ab aequinoctiali aequali intervallo distant, et oc- cidunt et oriuntur. 3. Ad prop. XIV. Aliter propositio XIV. Est autem etiam haec explicatio magis perspicua priore. sit in mundo horizon 4BI'et maximus circulorum, qui semper conspicui sunt, 421 E, maximus autem eorum, qui semper occulti sunt, ΖΗΘ, et aestivus tropicus sit KA, hiemalis autem tropiceus BI, et st polus circuli ABI' inter circulos 441, Καὶ 4. et sint partes orientales Δ, I; occidentales autem .K, B, zodiaci autem semicir- | culi, qui post Cancrum est, positiones sint ΝΞ, ΟΠ. et auferatur areus OI ita, ut non maior sit semicireulo, - et describatur per 77 circulus circulum 44/E contingens. quare etiam circulum ZHO continget. iam aut per punetum O veniet aut punetum O superabit. describa- tur et sit EO II, ita ut semicirculus ab E velut ad E, 5. Il partes cum semicirculo ab A4 usque ad 4, K, P | partes non coneurrat, et compleantur circuli ,$'Nc, ΠΟΡ. textui m. rec. insertum. 16. ἀφανῶν] ἀ- add. m. 2 Vat. .20. 4, Il'] 4 om. Vat. add. m. 2. 26. ἢ] om. Vat., add. m. 2. 26. ὁ EO II] ó et II 1n ras. Vat. 28. E] del. m. 2 Vat. 29. 4| del. m. 2 Vat. 29. ENs] ENB] Vat. 80. ἐπεί] καὶ ἐπεί m. 2 Vat. 124 APPENDIX 1 | ABI καὶ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι ἀλλήλους « | sNZ, POTII καί ἐστιν ὁ τοῦ ABI' κύκλου πόλος. ἡ Σ ΝΥ περιφέρεια τῆς TT περιφερείαρ᾽ ἡ TT il 5 περιφέρεια τῆς TN E ἐλάσσων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ, δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ABI, ΕΘΠ τοῦ αὐτοῦ κύκλου. ἐφάπτονται τοῦ 44ῈΕ καὶ τῷ AAE παράλληλον ὄντα τὸν ΚΔ τέμνουσι καί ἐστιν ὃ τοῦ ABT πόλος μεταξὺ τῶν AAE, KA κύκλων, καὶ ὃ τοῦ ΕΘΠ ἄρα πόλος. 10 μεταξύ in τῶν 44Ε, KA κύκλων. ὃ ἄρα ἕτερος «d-. τοῦ πόλος ἐστὶ ES τῶν HZO0, ΒΓ κύκλων. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὃ EGII καὶ τὸν EOII τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ POII, c NE καί ἐστιν ὁ τοῦ EOII πόλος μεταξὺ τῶν BI,HOZ, 15 μείζων ἐστὶν ἡ IIT περιφέρεια τῆς TN περιφερείας, ὧν ἡ TT τῆς TNZ ἐλάσσων ἐστίν. λοιπὴ ἄρα ἡ TII λοιπῆς τῆς ΣΕ μείζων ἐστίν. κείσϑω τῇ XE περιφερείᾳ i6 περιφέρεια ἡ TX καὶ 259 ρεφθωθον παράλληλοι κύκλοι, x«9' ὧν φέρϑται τὰ ΒΞ X σημεῖα, οἱ E P, Ως" 20 ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ E I περιφέρεια τῇ $55 περιφερείᾳ" ἡ AW ἄρα τῆς Xc μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία" ἐν «πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ E σημεῖον τὴν AE περιφέρειαν διαπο- ρεύεται ἤπερ τὸ X τὴν Xs. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν à τὸ 2. SN Z] ΒΝΣ Vat. 5. ΥΝΣῚ add. περιφερείας m. 2 13. «ΝΞ BN X Vat. 17. λοιπῆς] add. m. 2 Vat. E APPENDIX 125 uoniam in sphaera circulus maximus .4BI' est et duo sireuli maximi gNZ, PO TII inter se secant et circuli I4BI^ polus inter areus 44/E, ΚΑ est, arcus ZiNT arcu T maior est [Theodos. IIT, 22]. quare areus T' arcu PNE minor est. et quoniam in sphaera duo circuli imi ABI, EGII eundem circulum A4Z/E contingunt »t eireulum Καὶ 4, qui eireulo 42] Εἰ parallelus est, secant hd et polus cireuli E A A BT" inter cireu- | los A44 E, KA est, etiam cireuli £01I polus inter eireu- los 44 E, KA est. itaque alter eius polus inter circu- los HZO, BI' est. iam quoniam in Sphaera circulus maximus EOII est et duo circuli ma- ximi POII, «NE circulum ΕΘ Π se- cant et polus cir- eui EO1lI inter BI, HOZ est, ar- eus ΠΥ areu NX $ maior est, quorum TT areu TN Z minor est; reliquus igitur areus ΤΠ reliquo ΣΙ maior est. ponatur arcui 225 aequalis arcus TX et describantur cireuli paralleli, per quos puneta &, X feruntur, XU, Qc. itaque arcus *P arcui £c sumilis est [ib. II, 13]. quare Εἰ Ψ᾽ arcu Xg maior es quam similis. maiore igitur tempore punctum ,5 reum XP percurrit quam .X areum Xs. verum tempus, 10 1ὅ 20 25 B6 APPENDIX 3 Í A σημεῖον Tiv S AY περιφέρειαν διαπορεύεται, ὃ -— ἐστίν, iv à ἡ ER περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Χ σημεῖον τὴν Xs. περιφέρειαν διαπορεύεται, ὃ χρόνος ἐστίν, 1 ἐν ᾧ ἡ TX ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ZA ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ TX. καί ἐστιν ἡ 2A ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ TQOZUXOU. ἤπερ ἡ TX. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἡ ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς e i τερον. : ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων juu. κυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐχ ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλ- λάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτερασοῦν τῶν συναφῶν. ᾿ ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ 48ΒΓ4, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς ὃ 441, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων So ϑέσιν ἐχέτω τὴν BEI, καὶ ἔστω ἡ μὲν B E περιφέρεια ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Alyóxsgov ἡμικυκλίου, ἡ δὲ ΕΤ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον, καὶ ἔστωσαν ἀνατολικὰ μὲν τὰ 4 μέρη, δυ- τικὰ δὲ τὰ B, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι al ZH, H0: iid; ὅτι ἡ ZH ἐν πλείονι χρόνῳ diei τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἥπερ ἡ HO. γεγράφϑωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ KA, MN, Ξὸ, καϑ' ὧν φέρεται τὰ Ζ, H, Θ σημεῖα" ἴση ἄρα ἐστὶν ΖΗ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ, ἡ δὲ HO τῇ PX: ἀλλ᾽ ἡ ZH τῇ ΗΘ ἐστιν ἴση" καὶ ἡ ΠΡ ἄρα τῇ ΡΣ -Ξ πῴρυ Ra - D cw 11. ιε΄ Vat. sed atram. rubro del. et mg. ser. ἄλλως τὸ L 26. Post ΗΘ add. περιφέρϑια (comp.) m. 2 Vat. L APPENDIX 121 |quo punetum ,5 arcum Z4 percurrit, tempus est, quo 'areus Z5 conspicuum hemisphaerium permutat, tempus |autem, quo punctum X areum Xs percurrit, tempus est, quo T'X conspicuum hemisphaerium permutat; maiore igitur tempore Z4 conspicuum hemisphaerium permutat quam T'X. et arcus ΣΙ aestivo tropieo propior est iquam T'X. maiore igitur tempore arcus, qui aestivo tropico propior est, conspicuum hemisphaerium per- mutat quam is, qui remotior est. | eadem ratione etiam in semieireulo, qui post Capri- iéümum est, areus aequales non aequalibus temporibus conspieuum hemi- Bphaerium permu- tant, sed maiore is, qui tropico ae- stivo propior est, quam qui remo- tior, aequali autem ii, qui ab utrovis contaetu aequali intervallo distant. sit in mundo horizon ABI 4, et tropieus aestivus 42]. cireulus zodiaeus autem positionem habeat BEI, et sit areus B.E in semicireulo post Caprieornum, ET' autem in semicireulo post Cancrum, et sint partes orien- tales 7/, occidentales autem B, et auferantur arcus ae- quales ZH, ΗΘ; dico, areum ZH conspicuum hemi- Sphaerium maiore tempore permutare quam 70. deseribantur cireuli paralleli K4, ΜΝ, ΞΟ, per quos puneta Z, H, 0 feruntur. itaque arcus ΖΗ arcui ΠΡ aequalis est, ΕΘ autem areui PX. verum ZH arcui HO aequalis est. quare etiam ΠΡ areui PZ aequalis 128 APPENDIX | ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ iv ᾧ χρόνῳ ἡ ΠΡ δύνει, ἡ ΖΗ ἀνα- τέλλει. κοινὸς προσκείσϑω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Π m τὴν ΚΑ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἴσος ὧν τῷ χρ ἐν ᾧ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΑ περιφέρειαν petÁ— 5 ὁ ἄρα χρόνος, iv ᾧ τὸ II σημεῖον τὴν ΚΑ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΠΡϑδύνει, ἴδος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν dà ἡ ΖΗ περιφέρεια ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν KA περιφέρειαν διαπορεύεται. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, iv à τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΑ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΠΡ 10 δύνει, ὃ χρόνος ἐστίν, iv ᾧ ἡ ΠΡ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν. ἡμισφαίριον. ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν. KA περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρό- νος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαί- ριον" ci ZH, ΠΡ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ 15 φανερὸν PAPA ῥοῦ ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἵ HO, PZ iv ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμι- σφαίριον. ἡ δὲ ΠΡ τῆς ΡΣ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάτ- Té, τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, καὶ ἀπεδείχϑησαν αἱ ΖΗ, ΠΡῈῸῪὲἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσαι τὸ φανερὸν ἡμισφαί- 20 ρίον᾽ xai ἡ ΖΗ ἄρα ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΘ. b τοῦ ἄρα τῶν ξῳδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον; ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώ- 95 τερον. xci συναποδέδεικται, ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι bv. ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσιν. LY 4. Ὶ Ad prop. 15. Ἄλλως τὸ αὐτό. | 30 Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον. περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν. 6. δύνει] add. m. 2 Vat, Seq. in Vat. scholia nr. 127, 198, 1 APPENDIX 129 et quoniam quo tempore ΠΡ occidit, ZH oritur, commune adiciatur tempus, quo punctum JI areum ΚΑ |pereurrit, quod aequale est tempori, quo punetum Z jareum Καὶ Δ percurrit. itaque tempus, quo punctum Π jareum Κὶ Δ percurrit et ΠΡ occidit, aequale est tempori, jquo areus ZH oritur et punctum Z arcum Καὶ pereur- jrit. verum tempus, quo punctum 77 arcum KA per- jeurrit οὐ I7 P occidit, tempus est, quo ΠΡ conspicuum ;hemisphaerium permutat; tempus autem, quo ZH oritur je punctum Z arcum KA percurrit, tempus est, quo |! ZH conspicuum hemisphaerium permutat. itaque ZH, ΠΡ aequali tempore conspicuum hemisphaerium per- (mutant. iam similiter demonstrabimus, etiam H6, P2 aequali tempore conspicuum hemisphaerium permutare. verum ΠΡ maiore tempore conspieuum hemisphaerium |permutat quam PZ, et demonstratum est, ZH, ΠΡ ae- |quali tempore eonspieuum hemisphaerium permutare. itaque ZH maiore tempore conspicuum hemisphaerium |permutat quam ΗΘ. ergo aequales circuli zodiaci arcus non aequali tem- pore eonspieuum hemisphaerium permutant, sed maiore dS, qui aestivo tropico propior est, quam is, qui remo- üor est. et simul demonstratum est areus, qui aequali intervallo distent, aequali tempore permutare. 4. Ad prop. XV. is Aliter idem. - ireali zodiaci arcuum, qui et aequales et oppositi ee , quo tempore unus conspieuum Hemisphaerium 129. 29. ις΄ ἐκ περισσοῦ Vat., sed atr. rubro del. et scr. ς τὸ «óró. 80. κύκλου] κύκλον (τον in ras.) Vat. — Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 9 e 10 15 20 30 130 APPENDIX ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ πάλιν, ἐν ᾧ qo ἡ μία τὸ ἀφανές, καὶ ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν. ἔστω ὁρίξων κύκλος ὁ ABI, καὶ ϑερινὸς μὲν τρι πικὸς ὃ B.A, χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΖ, 0 ξῳδιακὸς δὲ κύκλος ϑέσιν ἐχέτω ὡς τὴν 4 ΕΓΖ. καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι τὲ καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ EH, ΖΘ᾽ λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἣ EH τὸ ἀφανές. Da ἔστωσαν καϑ᾽ ὧν φέρεται τὰ 0, Z, E, H σημεῖα παρ- ἄλληλονι κύκλοι οἱ K04, ΜΝΞΖ, EOIIP, ZHT, καὶ μετακεχινήσϑω ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος καὶ ὅτε μὲν ϑέσιν ἐχέτω τὴν TAG, ὅτε δὲ τὴν XE. καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΘ. ΕΗ περιφέρειαι ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἴσοι, εἰσὶ καὶ οἱ MN E, OIIP κύκλοι, τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἐστὶν ἀλ- λήλοις" τὸ ἄρα ὑπὲρ γῆν τοῦ MN EZ κύκλου τὸ ΜΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ γῆν τοῦ OEPII κύκλου τῷ ΟΠΡ. πάλιν ἐπεὶ αἱ ZO, EH ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσί ν, ἐν à χρόνῳ ἡ ZO ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ EH δύνει. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ à Z0 ἀνατέλλει, τουτέστιν ἡ TA, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ o τὸ TP σημεῖον ἀρξάμενον d ἀπὸ τοῦ TP τὴν Υ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ E mageyiyves ται, Ó δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ EH δύνει. τουτέστιν ἡ X3, ὁ χρόνος ἐστίν, àv ᾧ τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ X τὴν ΧΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ O παραγίγνεται" ὃ ἄρ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ (D ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ T τὴν TA περι- φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ A παραγίγνεται. ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περι- φέρειαν διελϑὺν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται. κοινὸς προῦ- κείσϑω ὁ χρόνος, ἐν à τὸ TT ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A τὴϊ ENM περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ M παραγίγνεται, ἴσος ὧν τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ P παραγίγνεται" ὁ ἄρα χρ vog, ἐν à τὸ T ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ᾽ τὴν DENM περ APPENDIX 131 ipermutat, alter permutat occultum, et rursus, quo tem- li toppositi EH, Z0; dico, quo tempore ZO permutet con- |spieuum hemisphaerium, eo EH permutare occultum. sintcirculi paralleli,per quos puncta 6,Z2,E,H feruntur, K 64,MNZZ, EOIIP, ZH T, et movea- tur circulus zodiaeus et positionem habeat mo- doT49,mo- do XZ V, et quoniam ar- cus ZO, EH et aequales et oppositi Sunt, etiam cireuli MN E, OIIP aequales sunt. verum eireulorum et aequalium et parallelorum alterna seg- menta inter se aequalia sunt [Theodos. II, 19]. itaque segmentum M NX circuli MNAXZZ, quod super terram | est, aequale est segmento OIIP circuli OEPII, quod |Sub terra est. rursus quoniam arcus ZO, EH et ae- quales et oppositi sunt, quo tempore Z6 oritur, eo EH oecidit [prop. XI]. verum tempus, quo ΖΘ, hoc est 4 oecidit, tempus est, quo punctum T, postquam ab T 9* σι 10 139 APPENDIX E I φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ ἢ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ X τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ P παραγίγνεται. ἀλλ᾽ ὃ μὲν, χρόνος, ἐν à τ P ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν TENM περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν à ἡ ὙΔ4 ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ ΘΖ᾽ ὃ δὲ χφόνος, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ X ziv ΧΟΠΡπεριφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρπαραγίγνε-. ται, ὃ χρόνος ἐστέν, ivi ἡ X2 ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς du- σφαίριον, τουτέστιν ἡ EH: ἐν à ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσ- ὅει τὸ φανερὺν ἡμισφαίριον. ἐν τούτῳ ἡ EH τὸ ἀφανές. exorsum areum TE pereurrit, ad ΚΞ pervenit, tempus autem, quo EH, hoe est XE occidit, tempus est, quo X; postquam ab X exorsum arcum XO percurrit, ad O per- venit. itaque tempus, quo T, postquam ab T? exorsum arcum T5 percurrit, ad 5 pervenit, aequale est tempori, quo X, postquam ab X exorsum arcum XO percurrit, O pervenit. commune adiciatur tempus quo T postquam ab A exorsum arcum A NM percurrit, ad M pervenit, quod aequale est tempori, quo X, postquam ab O exorsum arcum OIIP percurrit, ad P pervenit. itaque temp quo 7 postquam ab T" exorsum areum T'ENM percurrit, ad M pervenit, aequale est tempori, quo X, postquam ab X exorsum arcum XOIIP percurrit, ad P pervenit. verum. tempus, quo 7^ postquam ab T'exorsum arcum TZ N.M pe currit, ad M pervenit, tempus est, quo 1^4, hoc est » conspicuum hemisphaerium permutat; tempus autem, quo X, postquam ab X exorsum arcum XOIIP percurrit, ad P pervenit, tempus est, quo X2 hoc est EH occultu hemisphaerium permutat. ergo quo tempore ΘΖ con- spieuum hemisphaerium permutat, eo EH occultum. 4. TEN M] M add. m. 2 Vat. 11. ἀφανές] ἜΣ | Vat. m. 2: ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ᾧ χρόνω ἡ ΘΖ ἐξα λάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ EH τὸ φανερόν meme 1. Ad init. Τρέα μόνα ξητοῦνται ἐν τῷδε τῷ E τάγματι" τὸ σφαῖραν εἷναι τὸ πᾶν, τὸ σφαιροειδὲς τὶ ὅμοιον εἷναι, τὸ τὴν γῆν κέντρου χήγῶν ἐπέχειν. ἢ; 2. “ιαστήματα τὰ αὐτὰ ἔχοντα p. 2,5] οἷον τοῦ Ὠρίω- 5 νος τὸ τυχὸν τὸ ἀπὸ τῆς ζώνης ἄχρις τῶν ποδῶν e διάστημα τὸ αὐτό ἐστιν ἀεί. 8, Ταῦτα δέ ἔστι p. 2,19] τὰ μήτε ἀνατέλλοντα δηλα: δὴ μήτε δυόμενα. 3 4. P.4 ,10sqq. ] ταῦτα ὡς xQ0g τοὺς πρὸς τῷ νον 10 πόλῳ ἀστέρας. E δ. Ταῦτα πάντα ἔδειξεν ὁ Αὐτόλυκος. | 6.'Ev τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασι p. 4,11] τοῦτο ἐδείχϑη ἐν τῷ υϑ' ϑεωρήματι τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν ΣΦ δηλαδὴ καὶ τοῦ ζωδιακοῦ. i T. Περὶ γάλακτος καὶ ξῳδιακοῦ. d 8. Δαμβανόμενοι p. 6,2] ὁρώμενοι. 9. Δεὶ ἐπὶ ἡμικυκλίων ἴσων φερόμενοι p. 6,3] διὰ 20 τοὺς ὅλους ἀστέρας τοῦτό φησι τοὺς ὁρωμένους ἐν v ξῳδιακῷ καὶ ἐν τῷ τοῦ γάλακτος κύκλῳ, ὅτι, εἰ μὴ ἣν ρικῶν. n 15 1. ἘἘπὶ τῶν λοξῶν κύκλων p. 0,1} τοῦ τοῦ 4 ἐφαίνετο πάντα ἡμικύκλιον τὸ φαινόμενον τμῆμα τοῦ ἑῳδιακοῦ κύκλου ἢ τοῦ γάλακτος, ἀλλά ποτὲ μεῖξον ἣμι- 1. Vl. 2. Vat' CD2 A Aper &-X4, A4 V. δὲ 6 VC. T Ves T, Val'p^- & VU V vt 5. τό (pr)] om. 4. ἄχρι A r. 17. γάλακτος] γαλαξίου p. 18. ἢ óg. Llvv'. | Ἢ J 1. ᾿ Lg SCHOLIA IN PHAENOMENA 135 xÀov τμῆμα, καὶ οὐδὲ κύκλοι δὲ εἶεν οὗτοι, ἀλλὰ παρ- ἐγχεκλιμένοι τὰ μάλιστα. 10. Μὴ παρὰ τὴν βάσιν p.6,5] μὴ παραλλήλω δη- ᾿λαδή. | 11. Μὴ παράλληλα παρὰ τὴν βάσιν. 12. Τοιούτου σχήματος p. 6,0] κώνου ἢ κυλίνδρου. 18. "4vóuow τμήματα p. 6,99] τὰ κατὰ μῆκος τοῖς L9 πλάτος. 14. Διὰ δή ν. 0,11] ὅτε ἀδύνατον. τὸν κόσμον μὴ εἶναι σφαιροειδῆ. 16. Ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ p.8,5] διὰ τὸ f τοῦ 40ὑτο- λύχου. 16. Ἑχάτερος τῶν τεμνόντων p. 8,14] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ | ! αἱ τῶν Σφαιρικχῶν. ΟΤΊ. 'Eàv δὲ ἐν σφαίρᾳ p. 8,225] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ 4ὐτο- λύκου. ἐκ τούτου δὲ δῆλον. ὅτι οἱ προδιωρισμένοι ἐπὶ τοῦ ιβ΄ ἀργοὶ φανήσονται. εἴγε οὕτως κείσονται" ἐὰν ἐν σφαίρα μένων κύκλος κύκλον μέγιστον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ δίχα τέμνῃ, καὶ ὃ μένων μέγιστος ἔσται. ἐπεὶ δὲ ὃ “ὐτόλυχος οὐ δύναται ὁρᾶν μέγιστον, διὰ τοῦτο προ- ᾿διορίξεται λέγων" ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος φερό- | pevóv τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων ἀεὶ δίχα τέμνει. ὃ δ᾽ ἔτερος αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρϑὰς T] τῶ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ἑκάτερος αὐτῶν μέγιστος ἔσται. 18, Διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ Αὐτολύκου, εἶ γράφεται" ὃ δ΄ ἕτερος αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρϑὰς 1j τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων, ἀλλὰ μὴ γράφεται ἱμηδέτερον. - 19. Τί ἐξαλλαγὴ τῆς περιφερείας ἢ ἡμισφαιρίου: 90. P. 10,3] τουτέστι τότε διέρχεταί τις περιφέρεια τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσουσα τὴν κίνησιν ἀπὸ τοῦ — 10. V. 11. Vet p*. 12. V*lvvi 18. V*lvvi 14. V? aep 15. V?B. i16. V!lB. 17. V?L 18. BCM?*. 19. Vl 20 9. μὴ εἶναι τὸν κόσμον Vat p. 31. zóMov M. 10 1ὅ 20 25 30 10 1ὅ 20 25 30 136 SCHOLIA IN PHAENOMENA φανεροῦ ἡμισφαιρίου ἐς τὸ ἀφανὲς μεταμείβουσα, ὅται --τὸ 4 σημεῖον τὸ προηγούμε vov, ἔστω δὲ ἡ AB περιφέρεια, ἐπὶ τὴν ἀνατολὴν δείξασα — τὸ ἑπόμενον τὸ Β ἀνατείλῃ πρὸς δυσμὰς γενομένη κρύ- ψασα τὸ ἡγούμενον σημεῖον τὸ .4 ἐπιχρύψῃ καὶ 3 ἑπόμενον τὸ B. 1i Ad prop.L . i 21. Εὐϑεῖά ἐστιν p. 10,20] διὰ τὸν ὅρον τῶν Ox κῶν [def. I]. ξ 22. Μετακινηϑέντος p. 10,24] πῶς €T— Σ τῆς διόπτρας καὶ vot ξῳδιακοῦ δραϑήσεται ὁ Δέων; καὶ μὴν ἀφ᾽ ἧς περιφερείας ἀνατέλλει ὃ Καρκίνος, ἀπ᾽ ἐκεί- νης καὶ ὃ Δέων ἀνατέλλει. ὥστε οὐ μετακινηϑήσεται 3). διόπτρα διὰ τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ Καρκίνου ἀρχῆς ἀνατολῆς ἀνατέλλειν καὶ τὸν Μέοντα. ἱστέον οὖν, ὅτι ἀνατολὴ ἐν- ταῦϑα οὐ τὴν ὅλην ἀρχὴν τοῦ ξῳδίου ὑπὲρ τὸν δρίξζοντα, λέγει ἀνάβασιν. ἀλλὰ τὴν τῆς ἀρχῆς καὶ μόνην αὐτοῦ, ἐπειδὴ ἡ δύσις οὐ τὴν ὅλην ὑπὸ ὁρίζοντα κατάβασιν, τοῦ Μέοντος, ἀλλὰ τοῦ προηγουμένου σημείου τὴν δύσιν, ἐπεὶ τοίνυν, κἂν ἀπὸ τῆς αὐτῆς περιφερείας τοῦ ógífov-. τος τὰ ξῴδια τὴν ἀνάβασιν ποιῶνται, ὁ Καρκίνος δηλαδὴ καὶ ὁ déov ἀπὸ ἄλλου καὶ ἄλλου σημείου τὰς ἀρχὰς, τῆς ἀνατολῆς ποιοῦνται. ἔνϑα μὲν γὰρ ἡ ἀρχὴ τοῦ Δέον- τος πρώτως ἀνατέλλει. ἐχεῖϑεν τὸ τέλος τοῦ Καρκίνου. φαίνεται ἔνϑα δὲ πάλιν τὸ τοῦ Δέοντος τέλος ἀναφε- ρόμενον δείκνυται, ἐκεῖϑεν πάλιν πρώτως ἡ ἀρχὴ àve-. τέλλει τοῦ Καρκίνου ξῳδίου. διὰ τοῦτο μετακινεῖσϑαι λέγει ὃ Εὐκλείδης τὴν διόπτραν καὶ ἐξ ἄλλου καὶ ἄλλου. 21. V*OB. 532. V*l. B A 6. xov-] in V legi non potest. 17. Post 4£ovrc comp. ob-. scurum et deinde lac. 2—3 litt. V. — 23. Kegxívog'] xo- (sic) 7. SCHOLIA IN PHAENOMENA 131 "είου τὰς ἀρχὰς vOv ξῳδίων τοῦ Καρκίνου καὶ τοῦ ἕοντος ἀνατελλούσας. ἃς ἀρχὰς βούλεται καὶ κατ- τεύειν τὸν διορῶντα. τοῦτο τοίνυν καὶ ἐπὶ τῶν δύσεων τῶν ξωδίων. κἂν γὰρ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ x«l ἑνὸς τόπου οντος τμήματος ὅτε Δέων καὶ ὁ Καρκίνος δύνουσι ἀπ᾿ ἄλλου καὶ ἄλλου σημξίου; τὰς ἀρχὰς καὶ τὰ τέλη τῶν κρύπτουσι τὰ ἑξῴδια. ἔνϑα μὲν γὰρ T) ἀρχὴ τοῦ Δέοντος. δύνει ἐκεῖσε τὸ τέλος τοῦ Καρκίνου" ἔνϑα δὲ τὸ τέλος τοῦ “έοντος. ἐκεῖσε ἡ τοῦ Καρκίνου ἀρχή ἐστιν. |.98. Ἀνατέλλων p.12,1] ἀρχὴν ποιούμενος τῆς ἀνα- τολῆς. 24. Ζύνων p. 12,3] ἀρχὴν ποιούμενος τῆς δύσεως. Ad prop. Il. - 95. Ad fig. p. 14 Ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐν τῷδε τῷ διαγράμματι μεταξύ ἐστι τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ καὶ ἀεὶ φανεροῦ κύκλου κατὰ τὸ Ρ σημεῖον. 26. P. 12,14] μία κόσμου περιφορά ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὴν κίνησιν φϑάσαι. 21. Τῆς σφαίρας πόλοι λέγονται τὰ μέρη ἐκεῖνα, ἐν οἷς ὃ ἄξων αὐτῆς στρέφεται" κύκλου δὲ πόλος λέγεται σημεῖόν τι ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. - 28. Ὅταν μεσουρανῇ τὰ τροπικά, τουτέστιν ὅταν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γένωνται. ... 99. Ὅπερ ἐστὶν ἀπὸ τῆς ὀρϑῆς σφαίρας ἄχρις Συήνης. 30. ᾿Επὶ τῆς ἡμετέρας ἄρα οἴκήσεως οὐδέποτε ὁ ξῳ- διαχὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντά ἐστιν ὀρϑός. ' t? 31. Μεταξύ p. 12,18] ἤτοι τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἤτοι τοῦ μεγίστου τῶν ἀεὶ φανερῶν ἤτοι τῶν ἀρκτικῶν. Es. v*. 24. uds 95. V*. 926. Vat!Cp?six. ?7. Vai". 28. Vat! BDM?p?*. 29. Vat!Bp*. 30. BCM?qsx. 31. Vat'p H - 9. Post καί 4 litt. a tineis rosae, item lin. 5 post Xu et lin. 8 post ἐκεῖσε V. 1. αὐτῶν] supra Vl. 8. δέ] addidi. : αὐ ἄρῃ (X 16. P] litt. est fig. depravatae eod. V (v. 5 10 20 25 10 15 20 25 138 SCHOLIA IN PHAENOMENA 32. Ζέδεικται p. 14,8] ἐν τῷ ι΄ ϑεωρήματι τοῦ “47Ὁ- τολύκου. E 33. ἀπὸ τοῦ ( τοῦ περὶ κινουμένης σφαίρας. | 94. Διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μεσημβρι- νός. , 35. Ὁ KA p. 16,1] ὁ ξῳδιακόρ. p 96. Ἴση ἄρα ἐστίν p. 16,5] διὰ τὸ 9' τοῦ β' τῶν Σφαι- ρικῶν. h. 91. Ἀπὸ τοῦ 9' τοῦ ἐν τῷ B' τῶν Σφαιρικῶν. ie 98. "Exi τὸ II παρέσται p. 10,12] διὰ τὸ β' τοῦ Αὐτο- λύκου. * 39. ἀπὸ τοῦ f τοῦ περὶ κινουμένης σφαίρας. | 40. Ὁ E00II ἄρα p.16,16] διὰ τὸ ε΄ τοῦ f τῶν Σφαιρικχῶν. Ἅ 41. Ὁ γὰρ μεσημβρινὸς ἀεὶ ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν δρί- ἕοντα. ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι, ὁ ὁρίξων καὶ ὃ ἀρκχτικός, ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν πόλων τοῦ ἀρκτικοῦ ἐστιν ὃ μεσημβρινός, ἥξει ἄρα καὶ διὰ τῶν τοῦ ὁρίζοντος πόλων διὰ τὸ ε΄ τοῦ β' τῶν Σφαιρικῶν. — 42. Ἔσται ὀρϑός p. 10,11] διὰ τοῦ ιε΄ τοῦ α΄ τῶν Σφαιρικχῶν. Hi 48. ἀπὸ τοῦ α' τῶν Σφαιρικῶν. 44. Ὁ GBIIT' p. 10,11] ὁ ξῳδιακός. 45. τὸν ΞΘΟ II p. 16,18] τὸν μεσημβρινόν. 46. ὁ KA κύκλος p. 18,18] ὁ ξῳδιακός. Y 4T. 40 κύκλον p. 18,15] ἤτοι τὸν μεσημβρινόν. — 48. P. 18,15] ὥστε ἔχεις καὶ τὴν δευτέραν ΩΝ ἀποδεδειγμένην" διὸ γὰρ ὃ ξῳδιακὸς ἀπεδείχϑη 0p: πρὸς τὸν μεσημβρινὸν καὶ ἀπὸ τῆς ϑέσεως. 39. V*. 88. γαϊ', 84. V*. .86, V*. 56. V*. 57. Vati 88. V*. 39. Vai?. 40. V?Vat.*. 41. Minn ND ME ᾿ 49. Vat* ..48. Vat. 44. Vat*. 46. Vat*. 46. V?lv' 41. V!y!Vat?*. 48. ναὶ». 18. τό] τοῦ Vat. 15. γάρ] om. q. 18. ἄρα] ἔτι l. 36. ἤτο | om. v! Vat. : SCHOLIA IN PHAENOMENA 139 49. P. 18,16] νῦν τὰ μετὰ τὴν δευτέραν ἀποδείκνυσι τασιν καὶ πρῶτον τοῦτο, ὅτι οὐδέποτε ἔσται ὀρϑὸς ς τὸν ὁρίζοντα ὁ ζῳδιακός, ὅταν ὁ πόλος μέσον ἐστὶ ὖ ϑερινοῦ πούπηοῦ καὶ τῶν μεγίστων ἀεὶ φανερῶν χαϑεξῆς τὰ ἄλλα. 0. Ad fig. 1 p. 21] Ὁ βόρειος πόλος τοῦ ὁρίξοντος ἐπὶ τοῦ ϑερινοῦ ἐστι τοῦ τροπικοῦ κατὰ τὸ M σημεῖον. Dl. Τεμεῖ αὐτὸν διὰ τῶν πόλων p. 18,26] διὰ τοῦ ty τοῦ &' τῶν Σφαιρικῶν. ^ D2. Ὅπερ ἀδύνατον p. 20,2] ἐφάπτεται γὰρ τοῦ τρο πικοῦ ὁ ξῳδιακός, οὐ μὴν τέμνει αὐτόν. 58. M& γὰρ ἐφάπτεται. ' 54. Ad fig.2 p.21] ἐν τῷ πόλῳ τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ |! τῶν τροπιχῶν. ἐστι κατὰ τὸ Θ᾽ σημεῖον. 55. ᾿Εφάψονται δή ν». 22,1] διὰ τὸ ζ΄ τοῦ β' τῶν ᾿Σφαιρικῶν. 06. Ζέχα τε αὐτὸν τεμεῖ p.22,9] διὰ τοῦ ιε΄ τοῦ α΄ TOV Σφαιρικῶν. 51. Ὁμοία ἐστὶν ἡ ΚΣ p. 22,13] διὰ τοῦ ιγ΄ τοῦ f. TOV Σφαιρικῶν. 58. Πάλιν, ἐπεὶ p. 22,19] ἐπεὶ γὰρ ὁμοία ἐδείχϑη ἡ KM τῇ AN, ἐξ ὧν ἡ KZ τῇ AT ὁμοία, λοιπὴ ἄρα ἡ (£M λοιπῇ τῇ TN ὁμοία ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΜΠ τῇ ΝΡ ἐστιν ὁμοία, ἐὰν τὸν ξῳδιακὸν ὁμοίως γράψωμεν. ᾿ Àd prop. III. - B9. Ὁ ΚΘΓ ἄρα p. 24,13] διὰ τὸ α' τοῦ Αὐτολύκου. 7 49. Vat*p?*. 50. 75. 51. Vai*. 52. Vat?. δ8. γαῤ'. ὅ4. V*. 55. V*Vat*. ὅθ. Vat! . 57. V'Vat'! 58. V?lVat'BCD4A M*p*sx. 659. V*. 15. τό] τοῦ Vat. ΦΊ ς΄ Vat. 21. ὁμοία] om. sx. 22. λοιπῇ] -Vl, om. cett. 28. ἐστίν] Vl, om. cett.; item lin. 25 ἐστιν. ΝΡῚ M P2. 10 r2 eot 10 15 20 25 ψν "1 oi 140 SCHOLIA IN PHAENOMENA 1 Ad prop. IV. Δ 60. Οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ ξωδιακοῦ δύνατον καὶ ἐπὶ ἀλλοῦ! | 61. Ὁμοία ἄρα p. 26,114] διὰ τὸ ιγ΄ τοῦ β' τῶν Σφαι- ρικῶν. Ἢ 62. Δοιπὴ ἄρα p. 26,15] ἐπειδὴ πᾶς κύκλος παντὶ κύκλῳ ὅμοιός ἐστιν. 63. “έγω ὅτι p. 26,23] ἢ καὶ οὕτως" λέγω, ὅτι τὸ H πρότερον δύνεται τοῦ Z. ἐπεὶ γὰρ ἡ KO μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία τῆς MA, ὧν ἡ ΚΖ ὁμοία ἐστὶ τῇ ΜΝ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΖ μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία τῆς N.4. πρότερον ἄρα δύνεται τὸ Ν τοῦ Z: ἀλλὰ καὶ τὸ H τοῦ Ν πολλῷ ἄρα τὸ Η πρότερον δύσεται τοῦ Ζ. 64. Ὁμοία ἄρα p. 26,21] διὰ τὸ ιγ΄ τοῦ B' τῶν Σφαι- ρικῶν. : Ad prop. VI. " 65. Κατὰ συξυγίαν p. 80,21] τουτέστιν, ὅτε ἐναντίον τὸ ἕν δύνει, τὸ ἄλλο ἀνατέλλει, καὶ ὅτε δύνει τόδε, ἀνα- τέλλει τὸ ἕτερον. 66. Κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλειν καὶ δύνειν ἄστρα λέγεται, ὅσα κατὰ διάμετρον ὄντα ἐν ἴσῳ χρόνω ἴσας περιφερείας διέρχεται καὶ τὸ μὲν ἀπὸ ἀνατολῆς ἐπὶ δύσιν πορεύεται, τὸ δὲ ἀπὸ δύσεως ἐπ᾽ ἀνατολήν. E 61. Ἴση ἄρα ἡ EB p.32 9] ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὰς AB, EZ, δύο δυσὶν ἴσαι ἔσονται. ὡς ἐκ τοῦ κέν- τρου xi αἱ vEVnh ἴσαι αἱ κατὰ κορυφήν᾽ βάσις ἄρα Tj ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ B βάσει τῇ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὸ Ζ ἐστιν. 60. Vat!Ap?x. 61. V?Vat?*, 62, Vat?*p?*. 68. C (m. rec.) AÀ sx. 64. V*. 65. V?l 66. Vat'p*t. Tot. V?] Vat! M*p! 3 SOM SE | 8 2. ἄλλου] τῶν ἄλλων à. 8. διὰ τό] ἀπὸ τοῦ Vat. 16. i] : ἀντίον — iT. ἀνατέλλει) ἀνατέλλει τὸ ἕν, δύνει τὸ ἄλλο]. 24. ὡς] Vl, καί ,Vat p, om. cett. 286, αἱ (alt.)) om. q. Post κορυφὴν add. γάρ supra m. rec. q. 1 L.4 * : SCHOLIA IN PHAENOMENA 141 ἴση. ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΕΒ τῇ AZ περιφερείᾳ , ἐστὶν ἴση. | 68. MAX ἡ EB p. 82,,0] ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παρ- | ἄλληλα τὰ ΕΖ, ΒΓ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ | A0 ΒΓ αἱ Boibal αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἶσιν" παρ- ἄάλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ Z τῇ ἀπὸ τοῦ B ἐπὶ τὸ I: ἐὰν ἄρα ἐπι- ξεύξωμεν ὡς τὴν EI' καὶ τὴν ΒΖ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΓΒ. ΓΕΖ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται, ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΕΒ τῇ ΓΖ ἐστιν ἴση. ἐν γὰρ τοῖς ἴδοις χύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσι τῶν περιφε- θειῶν, ἐφ᾽ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κύκλοις, ἐάν FÉ πρὸς "ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι. - 69. Ἴσος ἄρα p. 52,12] διὰ τὸ ιζ΄ τοῦ β' τῶν Σφαιρικῶν. 10. Ἴση ἄρα p. 32,14] διὰ τὸ (9 τοῦ β΄ τῶν Σφαι- ΟἽ. "Ev ἴσῳ ἄρα p. 32,15] διὰ τὸ f τοῦ «Αὐτολύκου. - 12. Πάλιν, ἐπεί p. 82,22] ὑπὸ γὰρ μεγίστου τοῦ ὁρί. | Éovrog ἑχάτερος αὐτῶν μέγιστος ὧν δίχα τέμνεται. | Ad prop. VII. | F4 19. Μεϑιστάμενος p. 34,14] κινούμενος. —68. V*'IVat!'CDAM?p!qsx. Fig. praebent V (arc. ΒΖ om. Mat p. 69. VL “τὸ. V*. ub vs 72. Vatlp*. 18. v? el περιφέρεια] om. Mq, comp. cett., item uei us 2. ἴση ί pen q. 3. παράλληλα] om. CDqsx, a. ἐστι τὰ EZ, ΒΓ' καὶ τέμνεται A. 5. παράλληλος ἄρα ἐστίν] om. 48Χ. 11, ὑπό] VlA, om. cett. 12. ἔσονται] ΥἹΑ, εἰσίν cett. καῇ καὶ j eodd. rec. b. 18. περιφέρεια Om. s (lac.). 14. ἴση ἐστίν Α B. ἐν -- 18. βεβηκυῖαι] V1, om. cett. 24. μέγιστος iv] | μεγίο τῶν p. 15 2 r2 σι σι ὃ 0 142 SCHOLIA IN PHAENOMENA 14. Καὶ ἄλλοτε p. 94,18] ἀντὶ τοῦ ποτὲ ἑαυτοῦ ὀρϑό- τερος μᾶλλον, ποτὲ δὲ κεκλιμένος. iB 15. Ὅτι μέν p. 36,2] διὰ τὸ κα΄ τοῦ Αὐτολύκου. | | 16. 4ijuue. ἐν yàp σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ BEAM 5 τοῦ 44 ἁπτέσϑω κατὰ τὸ 41᾽ x«9' οὗ δὲ φέρεται παρ- αλλήλου κύκλου τὸ E, ἔστω ὁ GEM H: λέγω. ὅτι fj EA ἴση ἐστὶ τῇ 4 M. ὶ εἰλήφϑω γὰρ ὁ πόλος τοῦ ΘΕΜΗ τὸ P καὶ διὰ τὸ FP καὶ τῆς ἀφῆς μέγιστος κύκλος γεγράφϑω ὁ PAI" ὃ 10 PAT' ἄρα ἥξει διὰ τῶν τοῦ BEAM κύκλου πόλων ὃ i τὸ ε΄ τοῦ β' τῶν Σφαιρικῶν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ ὃ o κύκλοι οἱ BEZ M, ΘΕ ΜΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται 0 ΡΩ͂Γ ó ΡΩ͂Γ' ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν 15 κύκλων [Theodos. II, 9], ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ EA τῇ 4 M; (1. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστίν p. 36,114] διὰ τὸ λῆμμα. — 1) Fig. codd. Vlp (M om. p). 8) Fig. cod. Vat. 74. V3] Vat! M!p?qrt. 75. Vi 16. V?lVai'M*p!, 77. VÀ 2. δέ] Vl, om. cett. 4. BEZM] 4EB Vat p, BEA M. | 7. ἐστί] in hoc. voc. des. M. 9. PAD] PAB VatMp, item lin. 10, 18, 14. 10. τῶν] ins. Vat. διά — 11. Σφαιρικῶν] om VatMp. 14. τεμεῖ] τέμνει VatMp. H SCHOLIA IN PHAENOMENA 143 | 18. Ἡμικύκλιον δέ p. 38,2] διὰ τὸ μεγίστους κύκλους τὸν ξωδιακὸν x«l τὸν δρίξοντα δίχα τέμνειν ἀλλήλους. 19. Καὶ φανερόν p. 40,0] διὰ τὸ κβ΄ τοῦ β΄ τῶν M ραιρικῶν. Ad prop. ὙΠ]. Ϊ eo. 4lijuuo. Αἱ μὲν HK, ΚΝ, ΝΓ ἴσαι εἰσὶ διὰ τὴν ᾿πόϑεσιν. ὅτι δὲ τεταρτημορίου pO ἑκατέρα τῶν ΓΗ. HB, ἐκεῖϑεν δῆλον. ἐπειδὴ ὁ ξῳδιακὸς καὶ ὃ τροπικὸς ἥπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἀφῆς "όγιστος κύκλος γέγραπται Ó μεσημβρινός, ἥξει ἄρα καὶ διὰ τῶν τοῦ ξῳδιακοῦ πόλων. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο ἡἥκλοι, ὁ ξῳδιαχὸς καὶ ὃ ἰσημερινός, τέμνουσιν ἀλλή- λους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγρα- | ὁ μεσημβρινός, δίχα τέμνει và ἀπειλημμένα τμή- Ad prop. IX. BL Καλῶς ol προδιωρισμένοι. - 85. Ὅταν p. 44,13] τουτέστιν μὴ ὀρϑὴν ἐχέτω κίνη- ἡ σφαῖρα. ENS ao πε π τε, Vat! CDM* ip qx, inde a lin. 10 ἥξει s. c EVA os 82. V?, 83. V?, 8M. Vt 86. Vt Οἵ, δέ] γάρ codd. rec. b. ἑκατέρα ἐστίν Vat εἰ ὁ 8. καὶ ὁ á Qozixóg| om. àx. 9. ἅπτονται ἀλλήλων] om. C (lae. 10 litt.) L τοῦ ἑνὸς πόλων] τῶν πάντων πόλων Mqx. πόλων] πόλου (a E 10. Post μεσημβρινός spat. vac. 9 lin. 4. 14. τά] Ἢ sis 15 20 25 10 15 20 144 SCHOLIA IN PHAENOMENA 86. “ᾶϑός μοι ἐγένετο εἰς τὸν παρόντα τόπον 9d - gov, ὅτι và δύο σχήματα, ἅπερ εἶχε τὸ ἀντιβολαῖον, εἰσὶν ἕν σχῆμα dro, τοῦ 90 καὶ L6. Àd prop. XI. 81. Kol ἐπεί p. 58,18] διὰ τὸ ς΄. 2r 88. Ἐν ὧ ἄρα p. 60,24 rec. b] διὰ τὸ x«9" £v σημεῖον τὸ E συναπτόμενον τῶν EO, ΕΓ περιφερειῶν φερομένι τῆς ΕΘ περιφερείας πάντως συμφέρεσϑαι καὶ τὴν περιφέρειαν συνημμένην τῇ EO καὶ và 0, Γ' σημεῖς ἐπὶ τοῦ ὁρίξοντος εἶναι. ᾽ν Ad prop. XII. ΤῊ 89. Σαφεστέρα ἡ B. ἔκδοσις, ἥτις κεῖται μετὰ y φύλλα. 90. Ἔσφαλται..) ἡ: 91. Ἔσφαλται ἡ καταγραφή. ὕπου γὰρ τὸ 4 κεῖται, ὀφείλει κεῖσϑαι τὸ B, καὶ ὕπου τὸ B, τὸ 4: ἔνϑα τε κεῖται τὸ Γ, ὀφείλει κεῖσϑαι τὸ Zl, καὶ ἔνϑα τὸ 42, τὸ I, καὶ οὕτως ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἔχειν τὴν ΒΖ. ὅτε γὰρ ἀνατεταλμένον ἐστὶ τὸ μετὰ τὸν Καρκένον ἣμι-, κύκλιον, ὀφείλει κεῖσϑαι ὡς τὰ δυτικῶν ἐν τοῖς ἀνατον λικοῖς, καὶ οὕτως ἀσφαλτὸν τὴν καταγραφὴν γενέσϑαι. 92. Τῶν BA, 4X ν. 62,16] ὅτι ἡ BE ἴση τῇ Rb δείκνυται ἐν τῷ λήμματι τῷ ἐν τῷ η΄ ϑεωρήματι [v. schol. nr. 80]. : [s 1) Inde ab hoc ἔσφαλται codd. rec. a scholia non habent in scholiis, quae sequuntur, numeri paginarum et linearum ad, recensionem b pertinent. : D. 86. r. 87. V?, 88. V?l Vat! p?*; v. fig. rec. b. 89. Vat! CDsx.. 90. Vi 91D fuprema: 1. ἔσφαλται — 9. τά 9. δυτικῶν — 30, γενέσθαι) E (des. in lin. 18 ἡμικύκλιον) M? (post lin. 19 τά ruptura bombyc. et figura interruptum) q. 99. Dsxj 12. ἔκδοσις) -οσις om. in fine lin. Vat. κεῖται — φύλλα] κατὰ τὸ μγ΄ φύλλον x. 14. καταγραφή — κεῖται] τὸ χωρίον, που κατὰ τὸ A κεῖται γραφή α; --- γραφή, ὕπου γάρ supra M. . 17. οὕτω DEM. ὁ] om., lacuna relicta EM., τόν D. 18. τὸ om. lac. rel. DE. 20, Post γενέσϑαι add. 7j M; v. schol. nr. 98. 22. η΄ ϑεωρήματι) om. s. μὴ SCHOLIA IN PHAENOMENA 145 . 98. Γραφέντος διὰ τοῦ K μεγίστου κύκλου ἐφαπτο- (vov, οὗ καὶ ὃ ὁρίζων ἐφάπτεται κατὰ τὸ E, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ ς ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ K μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ E, καϑ᾿ ὃ ἐφάπτεται ὃ ὁρίξων τοῦ τροπικοῦ ἡμικυκλίου, ὡς ἐπὶ τὰ E, II μέρη. ...94. P. 68,11] ὥστε ἔχεις ἀποδεδειγμένον, ὅτι ἐν πλεί- ἐν ἐλάσσονι δὲ ἑξῆς τούτου ἤτοι ἡ KA. | θῦ. 'H PA p. 68,4] ὅτι δὲ ἡ PA καὶ τῆς Ξα μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία, δῆλον. ἐπεὶ γὰρ ἐφεξῆς μείξων ἐστὶν ἡ He τῆς αβ. ἡ δὲ αβ τῆς βΞ. μείξων ἔσται καὶ ἡ Ηῖα τῆς BE κοινῆς προσκειμένης τῆς αβ μείξων ἐστὶν ἡ Hf τῆς «E, ὥστε καὶ μείξων ἢ ὁμοία ἡ Ηβ τῆς «5. ὁμοία δὲ ἡ Ηβ τῇ PA: μεταξὺ γὰρ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων μείξων ἄρα ἢ ὁμοία ἡ ΡΖ τῆς «X. ἐλάττων δὲ ἢ ὁμοία ἐδείχϑη ἡ P.A τῆς ΗΞ. ὥστε ἡ τῇ PA ὁμοία τυϑεμένη ἀπὸ τοῦ XM μεταξὺ τῶν « H σημείων πεσεῖται , 96.'H KA περιφέρεια p. 10,10] αὕτη γάρ ἔστι ἡ Oy μεταβᾶσα. , 91. P. 10,113] ἔχεις καὶ ταύτην τὴν πρότασιν ἀποδε- ᾿δειγμένην τὴν ὅτι ἐν ἐλαχίστοις χρόνοις πρὸς τῷ ἰση- μερινῷ᾽ πρὸς τῷ ἰδημερινῷ γάρ ἐστι ἡ A5. — 98. Καὶ ἐπεί p. 12,20] δείξας τὰ πρὸς τῇ συναφῇ τοῦ ἑνὸς τῶν τροπικῶν, ὅτι ἐν πλείονι, δείκνυσι καὶ τὰ πρὸς τῇ ἑτέρᾳ συναφῇ τοῦ ἑτέρου τροπικοῦ, ὅτι ἐν πλείονι. 99. Ζέγω, ὅτι p. 12,28] εἰπὼν ἐν τῇ τελευταίᾳ προ- ἄσει, ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου ἐν ἴσοις χρόνοις καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν, καὶ δείξας. τι ἐν ἴσοις χρόνοις δύνουσιν, νῦν δείκνυσι ὡς ἐπὶ pq 198. CDx et M?q coniunctum cum mr. 91. 94. Vat*p*. LVat'CDM*p!sx, 96. Vat!p*. 97. Vat*p*. 98. Vai*p!. γα" pi, 17, τοῦ! τῆς 8. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 10 ———ÓMPpon onn ὦ. τ" L χρόνῳ 1 πρὸς τῇ συναφῇ τοῦ τροπικοῦ ἤτοι ἡ B Κι," 10 20 25 30 10 15 20 | * diii 146 SCHOLIA IN PHAENOMENA ἂν ἄλλης καταγραφῆς, ὡς ὅτι καὶ ἐν ἴσοις χρόνοις vali - λουσιν. E 100. ἀλλὰ ἡ ΠΩ p. 16,17] ὡς ἴση τῶν κύκλων ἴσων, ὄντων. m 101. P. 76,25] ἔχεις καὶ τὴν ἐσχάτην πρότασιν ἀπο- δεδειγμένην, ὅτι ᾽ν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰση- μερινοῦ κύκλου ἴσον γὰρ ἀπέχουσι τοῦ ἰσημερινοῦ d AA καὶ ἡ ΞΜ. Ἅ 102. 'Ex περισσοῦ. τῆς αὐτῆς καταγραφῆς μενούσης λέγω, ὅτι ἡ 4.Β τῇ ΒΓ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΩ͂ τῆς ΒΕ μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία, κείσϑω τῇ B E ὁμοία ἡ ΓΖ, καὶ ὃ ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν ZEH. καὶ n E: ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ BI, ἴσος ἐστὶν ὁ 4 κύκλος τῷ l4 κύκλῳ᾽ ἴση ἄρα καὶ ἡ AE τῇ ΕΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ EH ἴση. ἐπεὶ καὶ ἡ ΓΒ τῇ ΒΑ ἴση" ἐστιν ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ H ἐπὶ τὸ 4 τῇ ἀπὸ τοῦ 4| ἐπὶ τὸ Zc ἴση ἄρα καὶ ἡ 4H περιφέρεια τῇ 42 περιφερείᾳ" ἀλλ᾽ ἡ AH τῇ ΕΒ ἐστιν ὁμοία" καὶ ἡ EB ἄρα τῇ 412 ἐστιν ὁμοία. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Β ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Β τὴν BE διελϑὸν ἐπὶ τὸ E παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ζ τὴν Z4 διελϑὸν ἐπὶ τὸ 2 παρ- 100. C (mg. c. signo om.) x; in textu Mq. 101. Vat* *| 102. Hoc scholium pos prop. XII in textu hab. codd. rec. b. 16. Post Z add. ἴση m. 2 Vat. SCHOLIA IN PHAENOMENA 147 ἔσται" ἀλλ᾽ ὅταν μὲν τὸ B ἐπὶ τὸ E παραγένηται. δύνει ἡ BA περιφέρεια" ὅταν δὲ τὸ Z ἐπὶ τὸ 4 παραγένηται, δύνει ἡ ΖΕ, τουτέστιν ἡ ΓΒ' ἡ AB ἄρα τῇ ΒΓ ἐν | [60 χρόνῳ δύνει. 108. Ad schol. nr. 102 lin. 12] ἡ γὰρ BI ἡ αὐτή ἔστι vj EZ: ὁμοίως καὶ ἡ 4B τῇ HE: ὁ yàg ξῳδιακὸς χύχλος ὃ 4ΒΓ μεταξὺ τῶν H, Z καί ἐστιν ὃ αὐτός. Αἀ prop. XIV. 104. Σαφεστέρα ἡ B ἔχδοσίς ἐστιν, ἥτις κεῖται. μετὰ γ ἥμισυ φύλλα. 105. Σαφεστέρα ἔκδοσις εὑρίσκεται μετὰ τὰ ὃ ἥμισυ | φύλλα. 100.) ᾿Εξαλλαγή ἐστι φανεροῦ ἡμισφαιρίου, ὅταν τοῦ προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ὄντος τὸ ἑπόμενον ἀνατεῖλαν καὶ διελϑὸν ὅλον τὸ φα- : —— 1) Hoe scholium rursus ad dem. alt. prop. XIV praebent — Vat! p*; p. 148 lin. 8 τήν (8lt.) non om. 103. Vat?p?. 104. Vat!'DM?x. 105. C. 106. Vat*CD4 —Ap?stx; v. p. 10 lin. 38qq.. 7. τῶν H, Z καί] τεϑεὶς sig τὸν μείξονα p. 10* σι 10 15 148 SCHOLIA IN PHAENOMENA νερὸν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς δύσεως γένηται, τουτέστιν ὥστε ἀπὸ τοῦ ἀφανοῦς ἡμισφαιρίου tlg τὸ ἀφανὲς ἐλ- ϑεῖν τὴν περιφέρειαν τὴν τῶν δύο σημείων, τοῦ μένου καὶ τοῦ ἑπομένου. Ἵ δ 107. Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τὲ περιφε- ρειῶν καὶ ἴσον ἀπεχουσῶν ἀπὸ τῆς τροπικῆς Gvva ἧς ὁποτερασοῦν, ἐν à ἡ ἑτέρα ἀνανέῤλδι, ἡ ἑτέρα δύμε καὶ τὸ ἀνάπαλιν. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ ABI, ϑερινὸς δὲ €- 10 ὁ 48, χξιμερυνὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΖ, ὃ δὲ τῶν e κύκλος ἔστω ὃ AIIPI'H &, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΠΡτῇ X λέγω" ἐν ᾧ ἡ ΠΡ δύνει, ἡ EH ἀνατέλλει. εἰλήφϑω γὰρ τῇ περιφερείᾳ IIP ἴδη τε καὶ ἀπενὰα τίον περιφέρεια ἡ Z2 T καὶ μεταξὺ τῶν EH, ET ὁ log 107. Vat'MCD4 Ap'!st (v. p. 84 lin. 98qq.). 3. τήν (alt. om. Vat. — 5. ve] om. AMp. 6. ἀπό... , ὁποτερασοῦν vo. D. — 7. Post ᾧ add. χρόνῳ DM. ἀνατέ ἑτέρα] om. 4. 9. ABI] ABD D, ABA. 13. éd pti om. 4AM, item lin. 14 περιφέρξια. 14. καί] om. t, ἘΆΝ Jp x yos la ape ca P EEG AM D M icm πὲ ——— unu Lom ILIAD C ooo WR ua Le cw Ὡς Jue s Vrbs COMME a — an) amc σ΄ at. OR" ΡΠ ÉD SCHOLIA IN PHAENOMENA 149 ! Biéguvoc ἔστω ὃ ΥΧΦ. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ 1) II P δύνει, ᾿ἡ ET ἀνατέλλει" ἀλλ᾽ ἐν ᾧ ἡ ET ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ | x«l ἡ Hj: ἴσον γὰρ ἀπέχουσι τοῦ ἰσημερινοῦ" καὶ ἐν 9 ἄρα ἡ ΠΡ δύνει, ἡ HA ἀνατέλλει" ἐκεῖνό ye μὴν. φανερόν, ὅτι ἡ 4 ΞΗ ἴση ἐστὶ τῇ 4 ΠΡ. ! 108. Ad schol. nr. 107 p. 149,3] πῶς δὲ ἴσον ἀπέχουσι ᾿ τοῦ ἰσημερινοῦ ἡ Zi T xol ἡ HE, οὕτω δείκνυται" ἐπεὶ τὸ μὲν 4 τῷ Γ κατὰ διάμετρον, τὸ δὲ II τῷ T, ἴση ἄρα ἡ AII περιφέρεια τῇ Z T, τῶν διαμέτρων ἐπι ξευχϑει- σῶν δηλονότι καὶ οὕτω τῶν γωνιῶν τῶν ἴσων ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βαινουσῶν. ἀλλὰ ἡ AII τῇ 45 ἴση ἐστὶ διὰ τὸ σχόλιον τοῦ £? (nr. 16). καὶ ἡ 413 ἄρα ἴση τῇ ΤΙ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ AX ὅλῃ τῇ ΧΓ ἐστιν ἴση. ἐξ ὧν ἡ 43 τῇ TI' ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ E X λοιπῇ τῇ XT ἐστιν ἴση. διὰ τὸ τὴν μὲν ΠΡ ἴσην εἶναι τῇ EH ἀπὸ τοῦ GyoA(ov τοῦ ἐν τῷ ζ΄, τὴν δὲ ΠΡ κεῖσϑανι ἴσην τῇ ΣΊ, ἡ ΞΗ ἴση ἐστὶν τῇ ZiT* λοιπὴ ἄρα ἡ HX τῇ ΧΣ ἴση ἐστίν" ἴσον ἄρα ἀπέχουσι τοῦ ἰσημερινοῦ ἡ Z T καὶ ἡ HS. 109. Πάλιν ἐπεί p. 88,13] δέελϑε ὃ ἀναγιγνώσκων τὴν ἀπόδειξιν τοῦ κβ' τοῦ B. τῶν Σφαιρικῶν καὶ ἐκεῖσε μαϑήσει, ὡς πάντων τῶν μεγίστων κύκλων τῶν τοῦ αὐτοῦ κύχλου ἐφαπτομένων κύκλων οἱ πόλοι ἐφ᾽ ἑνὸς κύκλου εἰσίν. — 110. P. 90,14] ἔχεις. ὅτι αἱ ἴσαν περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσιν. - 111. P. 90,15] καὶ ἐπεὶ τὸ Η τῷ Μ τὸ αὐτό ἔστιν ὡς ἐν μίᾳ περιφερείᾳ. ἀπώτερόν ἔστι τὸ 4 τοῦ ΚΞ. — 112. Ἴση ἄρα ἐστίν p.90,11] διὰ τὸ ιγ΄ τοῦ B' τῶν | Zigouguxóv. | M3. Ζύνει p. 94,3] διὰ τὸ λῆμμα τὸ μετὰ πέντε φύλλα — 108. Vat'p' 109. DAM?x. 110. Vat*p? 111. Vat!DM?p?, 112. M 113. Dsx (διὰ τὸ λῆμμα etiam M!) |. 4. Post ἄρα add. χρόνῳ DA. 5. ἡ .. .] ὅλη ἡ --- ὅλῃ «ij — b ἢ ἐστίν t. 9. περιφέρεια] ἐστι p. 14. τῇ (alt.)] τῇ τῇ p. . HE] H om. Vat. 29. πέντε] om. sx. TOT 20 10 15 20 25 150 SCHOLIA IN PHAENOMENA 3 ἔξωϑεν γεγραμμένον, ἐν ᾧ καὶ τὸ τοιοῦτόν ἐστι σὴ" μεῖον C; v. schol. nr. 101. | 5 | Ad prop. XV. 114. ᾿Εξαλλαγή ἐστιν ἀφανοῦς ἡμισφαιρίου, ὅταν pl προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας δύναντος ] διελθόντος ὅλον τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον τὸ ἑπόμενον ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς γένηται, τουτέστιν ὥστε ἀπὸ τοῦ ἐμφα- νοῦς ἡμισφαιρίου εἰς τὸ ἐμφανὲς πάλιν ἐλϑεῖν τὴν περι- φέρειαν τὴν ὑπὸ τοῦ προηγουμένου καὶ τοῦ ἑπομένου σημείου γενομένην. 1 Ad prop. , XVI. É 115. 444' ἐν à μὲν χρόνῳ p. 106,18] διὰ τὸ νε΄ ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν ὁποτέρασοῦν τῶν συναφῶν ἀπὸ τοῦ a Atov τοῦ £? (nr. 80). 116. "44A" ἐν à uiv χρόνῳ p. 108 6] διὰ τὸ ιε΄, ob ἡ ἁρχὴ ᾿ὠσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν dipésipe s XvXALOV'. Ad prop. XVII. 111. Διὰ τὰ αὐτά p. 110,1] ἐπεὶ αἱ MA, ΘΚ -" ἀπέχουσι τοῦ “ϑερινοῦ τροπιχοῦ, ἔχομεν δὲ ἀπὸ τοῦ ιε΄ ϑεωρήματος, ὅτι ἴδον ἀπέχουσαι τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. € ἔτι, δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ ιζ΄, ὅτι αἴ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτερασοῦν τῶν. σφαίριον, πρὸς δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ ἴσου. ὡς αἱ ἴσαι καὶ ἀπεναν- τίον περιφέρειαι ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ b φανερὸν 114. Vat!4 DA M?p!qstx; in 4 textui post schol. nr. 125 intei »-. ΣΥΝ (mg. σχόλιον); v. p.10,60sqq. 115. γαῤ᾽ 2 8. 116. 18. 111. CM?s; in s biparütum: 1. ἐπεί — lin. 21 ϑεωρήματο: 2. (post spatium vacuum) lin. 21 ὅτε — p. 151 lin. 8 ἀνάπαλιν. 5. περιφερείας] γωνίας Δ. 6. τὸ ἑπόμενον] om. D stx. 7. ἐμ- φανοῦς) ἀφανοῦς bx. 10. σημείου γενομένην) om. D. γενομένην) τῶν ix, περιεχομένην A. — 920. ie De hui. edit. 23. e] hui. edit. 1f — ὁποτερασοῦν]) in M. evan. 834, Post yo add, δέ s. 26. ἴσου] ἐς΄ 8. αἱ] om. s, SCHOLIA IN PHAENOMENA 151 ἡμισφαίριον, ἐν τῷ αὐτῷ ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανὲς καὶ ἀνάπαλιν. διὰ δὴ ταῦτα ἐν à χρόνῳ ἡ ZH ἐξαλλάσσει. τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν τούτῳ ἡ ΚΘ τὸ ἀφανὲς καὶ ἀνάπαλιν. Àd prop. XVIII. | 118. Σχόλιον. εἰδέναι χρή, ὅτι, ἣν βουλώμεϑα δεῖξαι. "ἕν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσειν τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, δεῖ φυλάττειν ἀκίνητον. τουτέστι μὴ αὐτὴν τὴν κατὰ διάμετρον λαμβάνειν. ἀλλὰ "vig τυχούσης᾽ λέγειν τὴν ᾿χατὰ διάμετρον" αὐτὴ γὰρ ἡ κατὰ διάμετρον λαμβανο- μένη ἐγγυτέρα εὑρίσκεται τοῦ χειμερινοῦ, ἡ δὲ μείνασα ᾿ἀχίνητος ἐγγυτέρα τοῦ ϑερινοῦ. | Àd prop. XII demonstr. alt. | 119. P. 120,14] ὥστε ἔχεις τὴν πρώτην πρότασιν δε- δειγμένην. 120. Καὶ ἐπεί p. 120,18] μετατεϑεῖσαι γάρ εἶσιν αἱ AK, ΚΘ. αἵτινες ἦσαν ἴσαι αἱ c E, EA διὰ τοῦτο οὖν ἴσαι. 121. Σχόλιον. ὅτι δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ ἐν ἴσῳ χρόνῳ καὶ ἀνατέλλουσι, δέδεικται μὲν ἐν τῇ ἄλλῃ ἐκ- δόσει τοῦ ϑεωρήματος ἐν τῇ πρὸ ταύτης καταγραφῇ᾽ ἡ αὐτὴ δέ ἐστιν ἡ ἐν τούτῳ δεῖξις ἡ περὶ τοῦ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνειν, τὰς παρ᾽ ἑκατέρῳ τοῦ ἰσημερινοῦ τοῦ ἐν ἴσῳ ἀνατέλλειν αὐ- τάς. ἐὰν γὰρ μεταστρέψωμεν τὸν ξῳδιακὸν καὶ ποιήσωμεν τὸ MI on γῆν, ὡς ἔχει ἡ καταγραφή, ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἁρμόσει. - 122. Ad finem prop. τῆς γὰρ αὐτῆς μενούσης κατα- γραφῆς ἐὰν μεταστρέψωμεν τὸν ξῳδιακὸν καὶ ποιήσω- μὲν vo ΑΓ' ἡμικύκλιον τοῦ ξῳδιακοῦ ὑπὸ γῆν. ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις προβήσεται καὶ δειχϑήσονται αἱ ἴσον ἀπέ- χουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ ἐν ἴσῳ χρόνῳ καὶ ἀνατέλλουσαι. — 118. Vat!AM?p!qsx. 119. Vat?p?. 120. Vat!Dp?. 121. Vat! CDAM*?p!qx. 122. Vat (textui m. rec. interpos., om. cett). . 8. KO] HO M, OH s. x 5. σχόλιον] om. Mp. χρὴ εἰδέναι Msx. ἤν] εἰ qsx. 8. λέγειν] λέγει 5.:Ὠ. 11. ἐγγυτέρου qx. 11. σχόλιον] om. C. ὅτι] εἰσί q. 20. δεῖξις] ἀπόδειξις CDqx. 33, Ante ἡ add, αὕτη CDqx. 20 25 152 SCHOLIA IN PHAENOMENA Àd prop. XIV demonstr. alt. 4$ 123. *H ΤΥ ἄρα περιφέρεια p. 124,4] διὰ γὰρ τοῦ Ὁ καὶ τοῦ M πόλου τοῦ ABI' κύκλου μέγιστος κύκλος. γεγράφϑω ὁ MTo: ὃ ΜΎω ἄρα ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν 5 ABI" διὰ γὰρ τῶν πόλων αὐτοῦ ἐστιν. καὶ ἐπεὶ κύκλου. τοῦ ABI' ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ c ὀρϑὸν τμῆμα κύκλου ἐφέστηκε τὸ o TM καὶ ἀφῃρημένη ἐστὶν ἡ Υῶ ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος" καὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ ὦ ἐπὶ τὸ M πόλον τοῦ ABI" κύκλου τε- 10 ταρτημορίου ἐστίν" ὑπόκειται γὰρ ὃ πόλος μεταξὺ τοῦ. τὲ 42 καὶ τοῦ AK xóxiov: ἡ ἄρα To ἐλάσσων ἐστὶν, ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος. καὶ διὰ τοῦ α' vo | y τῶν Σφαιρικῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ D τὸ ὦ τῆς ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ τὸ T, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ 15 T τῆς ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ τὸ Σ᾿ ὥστε καὶ ἡ TT ἐλάσσι ἐστὶ τῆς TN X. 124. Ἔχε τὴν ἐπίστασίν σου, ἄνϑρωπε. 125. 4i ZH, ΠΡ ἄρα p. 128,14] δέδεικται λοιπ ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ϑερινοῦ. 4 20 126. Zyólwov. καϑόλου χρὴ εἰδέναι, ὅτι τῶν zponyov- μένων σημείων ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ὄντων ἡ περιφέρε οὔπω ἀνατέλλει οὔτε δύνει. τῶν δὲ ἑπομένων σημείων ἐπὶ τοῦ δρίξοντος ὄντων πᾶσα ἀνέτειλε καὶ πᾶσα ἔδυ. τὰ γὰρ προηγούμενα σημεῖα καὶ πρότερα ἀνατέλλει καὶ 25 πρότερα δύνει κατὰ τὸ δ' ϑεώρημα. τῆς ΠΡ περιφερείας, προηγούμενον σημεῖόν ἐστι τὸ II, τῆς δὲ H Z προηγού-᾿ μενον τὸ Η. λαβὼν οὖν τὴν μὲν ΠΡ δύνουσαν, τὴν δὲ, HZ ἀνατέλλουσαν, ἀναγκαίως τὰς ἐξαλλαγὰς αὐτῶν, 198. V!DAAp!sx. 124. D. 196. Vat!p?, 126. Vat!CD | M*p! (ὡς ἐν τῷ σχολίῳ) qrs; in textu 2. ᾿ 8. ἐλάσσων] ἄρα codd. 10. τοῦ] τῶν sx. 16. τῆς — ΣῚ om. sX- | Post T'T add. περιφέρειαν A, item lin. 16 περιφερείας post TN. | 17. ἔχε) comp. obscurum. 20. Wale er s ἐν καϑόλῳ qrs. 21. ἡ; | addidi. 24. προηγούμενα] προηγμένα Vat. 58. δΊ εἰ VatMp. Post τῆς add. οὖν Os. 26. Ante σημεῖον add. ἦν Cs. ἐστι] om. Cs. SCHOLIA ΙΝ PHAENOMENA 153 ὑπῶν τὰς ἐπὶ τοῦ φανεροῦ ἡμισφαιρίου προσέλαβε τῆς ΠΡ τὴν δύσιν, τῆς δὲ HZ τὴν ἀνατολήν. ὅτε γὰρ τὸ Π ἐπὶ τὸ 4 ἔρχεται, ἡ I1 P οὔπω δύνει, ἄλλ᾽ ἔτι ὑπὲρ γῆς ἐστιν διὸ προσέλαβεν αὐτῆς τὴν δύσιν. τοῦ γὰρ Ἢ χατὰ τὸ Καὶ ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ὄντος, ἡ ΠΡ πᾶσα ὑπὸ "γῆν ἐστι xol κινουμένης τῆς σφαίρας ὦ ἄνω φέρεται πᾶσα. διὸ ἐν à τὸ II ἀπὸ τοῦ K ἐπὶ τὸ A «ἔρχεται, μετὰ τῆς δύσεως τῆς IIP ó χρόνος ἐστίν. ἐν ᾧ ἡ II P ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. πάλιν τοῦ Ζ κατὰ τὸ K ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ὄντος ἡ ΗΖ πᾶσα προανέτειλεν" διὸ "προσέλαβεν αὐτῆς τὴν ἀνατολήν. γενομένου δὲ τοῦ Ζ κατὰ τὸ 4, πᾶσα ἡ ΗΖ δύνει. διὸ ἐν ᾧ τὸ Z ἀπὸ τοῦ K ἐπὶ τὸ 4 ἔρχεται, μετὰ τῆς ἀνατολῆς τῆς ΗΖ ὃ χρό- ψοὸς ἐστίν, ἐν à ἡ HZ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαί- | guov. ἐὰν δέ, ὡς ἔχει ἐν ἄλλῃ ἐκδόσει, τῆς μὲν ΠΡ τὴν ἀνατολήν, τῆς δὲ H Z τὴν δύσιν, οὐκέτι λήψει τὰ II, Z σημεῖα, ἀλλὰ τὰ P, H καὶ τὸν χρόνον, ἐν à τότε P τὴν ΝΑ διέρχεται καὶ τὸ H τὴν ΝΜ. 121. ᾿Εκ περισσοῦ. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφϑω ἡ ΕΖ μὴ μείξων τεταρτημορίου, καὶ ἔστω καϑ᾽ οὗ φέρε- ται τὸ Ζ σημεῖον, ὁ ZK O κύκλος" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ EK ['Theodos. II, 13]* χείσϑω τῇ EK ἴση ἡ AK: ὕλη ἄρα ἡ EZK ὅλῃ τῇ EA ἐστιν ἴση" λέγω, ὅτι, εἰ μὲν IB s ἐστὶν ἡ ΕΖ. αἱ ZEK, EKA ἐν ἴσῳ ὄνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" εἶ δὲ λάσσων ἐστὶ τεταρτημορίου ἡ EZ, ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ REK ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν dMdireaiqiov ἤπερ ἡ EK A. r ἔστω πρότερον τεταρτημορίου ἡ EZ: καὶ ἡ ΕΚ ἄρα αρτημορίου ἐστίν" ἰσημερινὸς ἄρα ἐστὶν ὁ HZO. e ἐπεὶ αἱ EK, ΚΑ ἴσον ἀπέχουσι τοῦ ἰσημερινοῦ, ἐν ri Scholia 197, 198, 129 post dem. alt. prop. XIV in textu hab. Vat. E i 1. προέλαβεν p. ^ 5. τό] τοῦ Vat. 12. τό (pr.)] τοῦ p. Ἢ E4| ΕΚΑ m. 2 Vat. 21. EKA] 4 add.m. 2 Vat. rm. 10 20 25 80 10 15 20 25 30 154 SCHOLIA IN PHAENOMENA ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΕΚ δύνει, ἐν τούτῳ καὶ ἡ KA [prop.1 ) 5 ? €T v ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ EK δύνει, iv τούτῳ ἡ EZ ἀνατέλλει" καὶ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, ἡ ΚΑ δύνει. κοι- νὸς προσχείσϑω ὃ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΕΚ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ὃ ἄρα χρόνος, àv à ἡ KA δύνει, μετὰ τοῦ χρόνου, ἐν à ἡ EK ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν. ἡμισφαίριον, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, καὶ ἡ EK ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἀλλ᾽ 0, μὲν χρόνος, ἐν ᾧ ἡ E AK δύνει καὶ ἡ KE ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν à ἡ EA ἐξ- αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ὃ δὲ χρό- vog, ἐν ᾧ ἡ ΕΖ ἀνα- τέλλει. μετὰ τοῦ χρό- vov, ἐν ᾧ ἡ ΕΚ ἐξαλ- λάττει τὸ φανερὸν ἧμι- | σφαίριον. ὃ χρόνος | ἐστίν, ἐν à ἡ ZEK ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" αἱ ZEK, EKA ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. H ἀλλ᾽ ἔστω ἡ ΕΖ περιφέρεια ἐλάσσων τεταρτημορίου" καὶ ἡ EK ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τεταρμορίου. κείσϑω τεταρ-᾿ τημορίου ἡ ΕΜ καὶ κείσϑω τῇ MK ἴση ἡ ΚΝ. iol ἄρα ἡ EN λοιπῇ τῇ MA ἐστιν ἴση. καὶ ἡ ΕΝ ἔγγιον. τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ MA: ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΕΝ δύνει ἤπερ ἡ ΜΖ [prop. XII]. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ IN K ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἥπερ, ἡ ΚΜ' καὶ ἡ EK ἄρα τῆς KA ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει. ἐν à δὲ χρόνῳ ἡ ΕΚ δύνει. ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, [schol nr. 107]. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει ἤπερ ἢ, 30. NK] HNK Vat, sed H del. ἤπερ ἡ] in ras. m. 2 Va SCHOLIA IN PHAENOMENA 155 IK4 δύνει. κοινὸς προσκείσϑω ὃ χρόνος. ἐν ᾧ ἡ EK βξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ZEK ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ m EA. | 198. 'Ex περισσοῦ. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπει- λήφϑω ἡ EZ μὴ μείξων τεταρτημορίου. καὶ εἰλήφϑω τυχὺν σημεῖον τὸ H, καὶ ἔστω x«9" οὗ φέρεται τὸ H σημεῖον παράλληλος κύκλος ὁ OKHA, καὶ κείσϑω τῇ ZH ἴση ἡ ΚΜ’ ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἣ KEH vij MEZ: : λέγω. ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ KEH περι- φέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἥπερ ἡ MEZ. ἔστω x«9 οὗ φερε- ται τὸ M σημεῖον παράλληλος κύκλος ὃ NMA&: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΟΗ. καὶ ἐπεὶ ἔγγιόν ἐστιν ἡ ΟΗ τῆς συναφῆς τοῦ : Δερινοῦ τροπικοῦ ἥπερ ἡ HZ, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ OH δύνει ἤπερ ἡ ΗΖ. ἐν à δὲ χρόνῳ ἡ OH δύνει, ἡ MK ἀνατέλλει" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ MK ἀνατέλλει ἤπερ ἡ ΗΖ δύνει. κοινὸς προσχείσϑω ὃ χρόνος, iv ᾧ ἡ MEH ἐξ- αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ KEH ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ EZ. — 129. Ἔχ περισσοῦ. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπει- En . 129. M* qs. E — 96. MEH] H in ras. m. 2 Vat, 28. ἤπερ ἡ MEZ? add. m. 2 Vat, : τῷ». d 10 15 20 25 80 156 SCHOLIA IN PHAENONE NA lH λήφϑωσαν ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΖΗ ᾿ O K, καὶ ἔστω ἡ ZH ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινι τροπικοῦ ἤπερ ἡ OK: λέγω; ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ] ZH ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ. ὅ ἐπεὶ γὰρ ἡ ΖΗ ἔγγιόν ἐστι τῆς συναφῆς τοῦ ϑερι troi τροπιχοῦ ἤπερ ἡ OK, 3 μείξων ἐστὶν ἡ ΘΕ τῆς ΕΖ. κείσϑω τῇ μὲν ΖΕ ἴση ἡ EA, τῇ δὲ ΖΗ 10 ἴση ἡ 4 Μ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΜ, ΖΗ ἴσον ἀπέχουσι τῆς συναφῆς τοῦ ϑερι- vot, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ 4Μ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν 15 ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ZH [prop. XIV]. ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ; AM ἐξαλλάττει τὸ φα- - νερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ. ἐν πλείονι. ἄρα χρόνῳ 20 καὶ ἡ ZH ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ. [ | | M Àd prop. XV demonstr. alt. ἷ 130. Ad p. 130,16] διὰ τὸ / καὶ δ' τοῦ B' τὸν ΣΝ ρικῶν καὶ τῶν ἀξιωμάτων, ἐὰν ἀπὸ τῶν ἴσων ἴσα ἀφέλῃς. 180. M*qs. H "x 12, Post ϑερινοῦ add. τροπικοῦ m. 2 Vat. ἢ IOCIS 40; XC TUI - ' im y ER ΎΜΓΥ D ra» } E YA i " 1 ᾿ 3 Ἁ i : Ῥ ᾿ , x P ὃς ᾿ ἢ Y l . ) i E 1 ΤΡ, ἜΤ ἡ gne lj ᾿ * I $ 4 P*3 ^ 1 { - ^ 1! d (X *rA13 EU : "a TE poa Ἶ ; i Y (dnd ! : ad ε - J , ᾿ * ; ' τὺ OE i & Y 1, io. 6 ' . . T3 H ALCEOA ᾿ ΑΥΣ ; " SY 1 | r * y " : ΤΥ | n κεν affa kt Y ὦ " τ . Mri ἣἯ Dorn gm. ud Η Un. cu "T Mr ΤῈ WW Ἐν n. M hk: CRUS PUE PEE fon - . ἘῚ muUis WERE Tm .. SECTIO CANONIS — 1 2 ? Ei ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη" σιωπῆς 0$ οὔσης καὶ μηδενὸς xwovuévov οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσϑήσεσϑαι, πληγὴν καὶ κίνησιω : πρότερον δεῖ γενέσϑαι. ὥστε, ἐπειδὴ πάντες οἱ φϑόγγοι 0 cx 0 e γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανοι γενέσϑαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης, --- τῶι δὲ κινήσεων αἷ μὲν πυκχνότεραί εἶσιν, «t δὲ ἀραιότεραι. καὶ αἱ μὲν πυκχνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι τοὺς φϑόγ yovg, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, --- ἀναγκαῖον τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων καὶ πλειό- νῶν σύγκεινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους, ἐπείπξες ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων. Gt. τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους ἀφαιρέθδει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ βαρυτέρου: ἐπιτεινομένους προσϑέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέον: τος. διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φϑόγγους συγκεῖσϑαι qu τέον, ἐπειδὴ προσϑέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι voi δέοντος. πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀρυϑμοῖ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ τοὺς qOóyyov ἀναγκαῖον ἐν ἀριϑμοῦ λόγῳ λέγεσϑαν πρὸς ἀλλήλου, τῶν δὲ ἀριϑμῶν οἱ μὲν ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγοντ oí δὲ àv ἐπιμορίῳ, οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τ φϑόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσϑ' πρὸς ἀλλήλους. τούτων δὲ o( μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπὶ μόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέγονται πρὸς ἀλλήλους. Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φϑόγγων τοὺς μὲν συμφᾶ vove ὄντας. τοὺς δὲ διαφώνους, καὶ τοὺς μὲν συμφώνου μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς δὲ διαφώ νους οὔ. τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς συμφών t Εὐκλείδου κατατομὴ κανόνος M, m. 2 W. | . Bi quies sit et immobilitas, silentium sit; sin autem | silentium sit nec quidquam mioreapur. xi audiatur; | quocirea si quid audiri debet, ictum necesse est et (motum antea fieri. itaque, quoniam omnes soni fiunt, | eum aliquis ietus fit, ictus autem fieri non potest, nisi : motus antea factus ὯΝ — motuum autem alii crebrio- , res sunt, alii rariores atque crebriores acutiores effi- eiunt sonos. rariores vero graviores — alios necesse est | aeuliores esse, quoniam quidem ex crebrioribus et plu- | ribus motibus sunt compositi, alios graviores, quoniam ex rarioribus et paucioribus motibus sunt compositi. itaque ii, qui iusto acutiores sunt, eum laxantur, motus ; detractione iustum consequuntur, ii vero, qui graviores | Sunt, cum intenduntur, motus adiectione iustum con- sequuntur. quamobrem dicendum est, ex particulis sonos ! esse compositos, quoniam adiectione et detractione iustum ! eonsequuntur. omnia autem, quae ex partieulis sunt ! eomposita, numeri ratione inter se esse dicuntur, ita ut | Bi& necesse sonos quoque numeri ratione inter se esse p numerorum autem alii in multiplici ratione dicun- ' D s alii in superpartieulari, alii in superpartiente, ita | ut sit.necesse etiam sonos in talibus rationibus inter se esse diei. ex his multiplices et superparticulares uno mine inter se nuncupantur. - Cognoscimus etiam, sonorum alios esse consonos, lios dissonos, et consonos quidem unam temperationem ambobus efficere, dissonos vero non item. quae cum εν 11. A κινήσεων ad 1. 12 κινήσεων aberravit Μ'. addit mg. 13. ἀνειμένους W. 14. κινήσεων codd. 15. προϑέσει M!, lin. 17. 21, πιπλασίοι M. 28. λόγοις] supra ser. M*. 8. κρᾶσιν] πρᾶξιν W. 29. οὔ] M* in ras. ἐχόντων οὕτως W. 10 20 25 10 1ὅ 20 160 KATATOMH ΚΑΝΟΝΟΣ m n E —— φϑόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται xoa | τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀρυϑμῶν, ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ a pootovg. 1 , ᾿ α. ᾿Εὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεϑὲν ποιῇ f διάστημα, x«l αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται. ἔστω διάστημα τὸ ΒΙΓ, καὶ ἔστω πολλαπλάσιος ὁ Β τὸ I, καὶ γεγενήσϑω, ὡς δ Γ πρὸς τὸν Β, ὃ Β πρὸς τὸν ? φημὶ δὴ τὸν zl τοῦ I' πολλαπλάσιον pes ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Γ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ Γ τὸν B. ἦν δὲ καὶ ὡς ὃ Γ' πρὸς τὸν B, ὁ I πρὸς τὸν Z1, ὥστε n ὁ Γ xal τὸν “1. πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ó 4 τοῦ D. * , E B. | Ἐὰν διάστημα δὶς συντεϑὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλά πλάσιον. καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον. í d 4 } β ΕΣ | | 6. Ὴ.Ρ xà ? 4 ἔστω διάστημα τὸ BI, καὶ γεγενήσϑω, ὡς ὁ D πρὸς τὸν B, οὕτως 6 B πρὸς τὸν Zl, καὶ ἔστω ὁ 4 τοῦ I πολλα- Numeros, quibus singulae protases distinguantur, oni M!, asteriscis e£ numeris Graecis notat M*. 4 Figuram habent M'W in protasi ΠΙ. (exstat enim p. 162,8. post μέσοι in M, post διαστήματος in W linea tripartita cum litteris y, B, 0. in M μέσοι in ras., post πλείους rasura.) simile diagramma atque ad prot. I M*, numeri tamen ἐς, ἡ, 9 8. πιπλάσιος ὁ] Porph., πιπλάσιον τό] codd. 9. τόν ν᾿ τό M. τόν (alt.)) τό 10. πιπλάσιον M. 12. μετρεῖ! x add. codd. Γ' καὶ τὸν] Porph., Γ᾿ τὸν M, Τ' πρὸς τὸν ὃ 15. συντεϑὲν τό] Μ΄, συντεϑῆ ea P l ὅϑεν ὃ is M!W. ποιεῖ W. ποιῆ πολλα ---! ᾿ |—— πλάσιον M. *» ῥαγῇ SECTIO CANONIS 161 | ita sint, consentaneum est, consonos sonos, quoniam ttiariü ,ex ambobus efficiant vocis temperationem, ex iis esse | numeris, qui uno nomine inter se nuncupentur, sive multiplices sint sive superparticulares. I. 81 intervallum multiplex bis compositum intervallum aliquod effecerit, et ipsum multi- plex erit. sit intervallum BI' et sit B multiplex | numeri I, et faetum sit Γ΄: B — B: 71; iam | dico, z/ numeri Γ΄ esse duplieem.- nam quo- | miam B numeri I? multiplex est, I'numerum B metitur. verum erat etiam I': B — B : Z, ita ut I' etiam z/ metiatur. ergo multiplex (m) (δὴ) (B) est Z/ numeri I* 55 wattetve τ | B II. Si intervallum bis compositum totum effecerit multi- plex, et ipsum erit multiplex. sit intervallum BI'et factum sit I: B — B: Z, et sit zl E . 11 Diagrammatum veterum lineis ad horizontem directis Mmeglegenter pictorum (qualia vides ad prot. II) exigua exstant —westigia in MW p. 160, 15—17. 162, 12, 17. 164, 1, 17. 170, 18. quae reiecta esse solent ad posteriores protases. — Novas "scripsit figuras M* marg., quarum lineae ad perpendiculum -sunt directae (v. fig. I. III sqq.). neglecta tamen M* vera longi- tudine lineas omnes exaequavit. diligentius veram linearum |pumensuram observant N et Par. 2535. — Exstat hoc diagramma ΙΒ80 loco in M? mg. aliud habent diagramma una linea ad horizontem porrecta numerisque 4, 8, 16 signata M!W inter verba prot. II. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 11 o 10 15 20 25 162 KATATOMH KANONOX πλάσιος" φημὶ καὶ τὸν B τοῦ I' εἶναι πολλαπλάσιον. ἐπε γὰρ ὃ 4 τοῦ Γ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὃ Γ τὸν 4 ἐμάϑομεν δέ, ὅτι, ἐὰν ὦσιν ἀρυιϑμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιο ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετ δσει. μετρεῖ ἄρα ὁ Γ τὸν B' πολλαπλάσιος ἄρα ὃ B τοῦ γ΄. | ᾿Επιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος, οὔτε εἷς οὔτε, πλείους, ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριϑμός. ἷ ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστηματὸ BI" Β 1 ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοῖς B, T ἔστωσαν οἱ 4 Z, 0. οὗτοι οὖν ὑπὸ μο- νάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου. ἄφελε ἴσον τῷ Θ τὸν HZ. καὶ ἐπεὶ I ἐπιμόριός ἐστιν ὁ 4Z τοῦ O, ἡ ὑπεροχὴ E. ὁ 4H κοινὸν μέτρον τοῦ τὲ 4Z καὶ A | | τοῦ Θ ἐστί" μονὰς ἄρα ὃ ZH* οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς 412, Θ μέσος οὐδείς. ιβ ἔσται γὰρ ὃ ἐμπίπτων τοῦ 4Z ἐλάτ- η. TOv, τοῦ δὲ Θ μείξων, ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἷς τοὺς 412, Θ τις. ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν Z αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον ἐμπε- σοῦνται. οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς 472, O ἐμπεσεῖται. οὐδὲ εἰς τοὺς Β, Γ' ἐμπεσεῖται. p 3. ἐμάϑομεν. haec quidem verba in Euclidis elementis non: M (cf. Heiberg, litterargesch. Studien über Euklid,. S. 53). Habes tamen in El. VIII, 7 haee: ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν, ἀριϑμοὶ [ἑξῆς] ἀνάλογον » ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει. ex quibus etiam quae hoc loco demon-: straturus est Euclides facillime sequuntur. 5 1. φημὶ δή Μ΄. 2. Γ' (alt.)] B W. 8. ἐμάϑομεν)] W ei Porph., ἔμαϑον cett, Post ἀριϑμοί add. ἐφεξῆς M*mg. 4. p corr. M. μετρῇ] B, μετρεῖ cett. 7. οὐδεὶς μέσος W, μέσ SECTIO CANONIS .. 163 numeri I' multiplex. dico, etiam B numeri I'esse multi- plicem. nam quoniam Z/ numeri Γ᾽ multiplex est, I'nu- merum Z/ metitur. verum didicimus, si quotlibet numeri proportionales sint et primus ultimum metiatur, eum etiam medios mensurum esse. metitur igitur I' nume- rum B. ergo B mulüplex numeri I* p, II. Superpartieularis intervalh nullus medius numerus neque unus proportionaliter incidet neque plures. .. mam sit superparticulare intervallum BI minimi autem in eadem ratione ac B, I' sint ZZ, O. hos igitur unitas sola communis mensura metitur. aufer numero 9 aequalem HZ. οὐ quoniam Z/Z superparticularis est mumeri O, excessus Z/ H communis mensura numerorum 212 et O est; unitas igitur Z/ H; itaque incidet in ZZ, 9 nullus numerus medius. nam erit is, qui incidit, minor quam z/Z, maior vero quam 6, ita ut unitas dividatur, quod fieri non potest. itaque nullus medius incidet in 2412, 09. quot autem in minimos medii proportionaliter ineidunt, totidem etiam in eos, qui eandém rationem habent, proportionaliter incident. nullus autem in ZZ, 9 ineidet, ac ne in BI' quidem incidet. Fig. prop. IIT est ad protasin Il in N, similis, sed in duas partes discerpta ad prot. III in M*; exigua exstant figurae vesti- gia in M'. addit autem N lineis ZZ, O raüones 4, I' et 5 parti ZH numerum c, lineas B, I' idem signat numeris ἢ, s | etiam M? habet illas numerorum rationes, nisi quod ponit lin. | B:I'-—:i0:9, et lineae HZ dat numerum y. ᾿ οὔτε in ras. M. 8. ἐμπεσεῖται) W οὐ Porph., ἐμπεσοῦνται cett. |. 9. BI'] Porph, B τοῦ I' codd. 10. ἐν] N, perfossum in M., bL ἐπί W. 12. 1g ἐγ (reliquiae figurae) post μόνης M!, post μετροῦνται W. 13. Post τὸν ras. et H Z καὶ ἐπίλοιπον μον“ ν Li.e.uovéág M*. καὶ ἐπεί] W, om. cett. 14. Post ἐστιν add. ἄρα M*. 15. 4H] 4 W. Post καί ins. (ὃ i£ 19 ex fig. W. 16. ὁ 4H] ἡ aH M,44W. 21. 42, Θ] 402 W. 856. οὐδέ — 326. ᾿ ἐμπεσεῖται} om. W. mr 11" ^ tam 164 .. KATATOMH KANONOZ δ΄. ᾿Εὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεϑῇ, τὸ ὅλον, οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται οὔτε ἐπιμόριον. | ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον τὸ BI, x ὅ γεγενήσϑω, ὡς ὃ Γ πρὸς τὸν B, 0 B πρὸς τὸν Zt* λέγω, ὅτι ὁ Z1 τοῦ I' οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν. ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ 44 τοῦ I' πολλαπλάσιος. οὐχοῦν ἐμάϑομεν, ὅτι, ἐὰν διάστημα δὶς συντεϑὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν ἐστιν. ἔσται ἄρα 10 ὁ B τοῦ I' πολλαπλάσιος. οὐκ ἦν δέ. ἀδύνατον ἄρα τὸν Zl τοῦ Γ εἷναι πολλαπλάσιον. ἀλλὰ μὴν οὐδ᾽ ἐπιμόριον. ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον fumi σπτει. εἷς δὲ τοὺς 4, I ἐμπίπτει ὁ Β. ἀδύνατον ἄρα τὸν Zl τοῦ Γ' ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι. Lum de b. , 15 €. os caia ΤΡ, ᾿Εὰν διάστημα δὶς συντεϑὲν τὸ ὅλον μὴ ποιῇ πολλαῦ πλάσιον, οὐδ᾽ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον. ἔστω γὰρ: διάστημα τὸ BI, καὶ γεγενήσϑω ὡς ὃ r πρὸς τὸν B, ὃ B πρὸς τὸν Zl, xal μὴ ἔστω ὃ 4 τοῦ mn 20 xoliexideng" λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Β τοῦ Γ ἔσται πολλα-, πλάσιος. εἶ γάρ ἐστιν ὁ B τοῦ Γ πολλαπλάσιος, ἔσται, ἄρα ὃ 4 τοῦ Γ πολλαπλάσιος. οὐκ ἔστι δέ. οὐκ ἄρα ὃ B τοῦ Γ ἔσται πολλαπλάσιος. ΐ ; πο ai doy Decr μή] supra ser. M?. μὴ πολλαπλάσιον) om. W. 8. Post | En (pr. hab. πολλάπλα supra M. 8. ποιεῖ W. 10. τόν] D τό codd. 13. 4, ΓῚ N, in ras. M, add. 6 W. τόν] ὁ codd. - 14. πιπλάσιος et ἐπὶ ριος codd. 17. πολλαπλάσιον γ|β ὃ μι M* repetit fig. prop. IV. —" SECTIO CANONIS 165 IV. . — Si intervallum non multiplex bis componitur, totum neque multiplex erit neque superparticulare. 4 nam sit intervallum non multiplex BI, ] et factum sit Γ: B — Β: 21; dico, z/ numeri I' neque multiplicem neque superparticula- ἢ rem esse. nam sit primum Ζ΄ numeri I' mul- ἢ. D tiplex. didieimus igitur, si intervallum bis j compositum totum efficiat multiplex, id et ipsum esse multiplex [prop.II]. quare B erit numeri I' multiplex. at non erat. itaque fieri 3. ς à non potest, ut Z numeri I' sit multiplex. sed | ne superpartieulare quidem. nam superpar- lieularis intervalli nullus medius numerus proportiona- liter ineidit [prop. III]. verum in Zi, I' incidit B. ergo fieri non potest, αὖ 7/ numeri Γ΄ aut multi- 4 plex sit aut. superparticularis. V. B Si intervallum bis compositum totum non efficiat multiplex, ne ipsum quidem erit mul- 4. D tüplex. : nam sit intervallum BI, et factum sit I B 5 — Β: Ζ,, et sit // numeri I' non multiplex; dieo, ne B quidem numeri Γ΄ fore multipli- " cem. nam si B numeri Γ΄ est multiplex, erit $9 ς à 4 numeri Γ multiplex. at non est. ergo B : numeri J' non erit multiplex. ᾿ς 9. Post δὲς συντεϑῇ M! hanc habet figuram falsis numeris rnatam : r $01. f8 | |ID|B|z . eui addit M* in margine figuram veriorem ex aequalibus lineis a ipsam compositam, veris tamen numeris instructam. m e 10 15 20 5 roig I. ὃ ἄρα .4 ἴσος ἐστὶ δυσὶ τοῖς I" δι- 166 KATATOMH ΚΑΝΟΝΟΣ - Τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δυο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συνέστηκεν, ἔκ τὲ τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου. ἔστω γὰρ ὁ μὲν ΒΓ τοῦ AZ ἡμιόλιος. ὁ δὲ 42 τοῦ Θ ἐπίτριτος" gxul τὸν BI' τοῦ Θ διπλάσιον εἷναι. ἀφεῖλον γὰρ ἴσον τῷ Θ τὸν ΖΚ καὶ τῷ 42 τὸν ΓΔ. οὐκοῦν ἐπεὶ ὃ ΒΓ τοῦ 42 ἡμιόλιος, ὁ BA ἄρα τοῦ ΒΓ τρίτον μέρος ἐστίν, τοῦ δὲ 42 ἥμισυ. πάλιν ἐπεὶ ὃ AZ τοῦ Θ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ LK τοῦ μὲν AZ τεταρτημόριον, τοῦ δὲ Θ τριτη- μόριον. οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ ZK τοῦ 42 ἐστι τεταρτημόριον, ὃ ὃὲ BA τοῦ 41 ἥμισυ. τοῦ ἄρα BA ἥμισυ ἔσται ὁ 4Κ. ἣν δὲ ὁ BA τοῦ ΒΓ τρίτον μέρος" ὁ ἄρα 4 K τοῦ ΒΓ ἔχτον μέρος ἐστίν. ἦν δὲ ὃ 4 Καὶ τοῦ Θ τρίτον μέρος" ὃ ἄρα ΒΓ τοῦ Θ διπλάσιός ἐστιν. Ἄλλως. Ἔστω γὰρ ὁ μὲν 4 τοῦ B ἡμιόλιος, ὃ δὲ B τοῦ Γ ἐπί- τριτος᾽ λέγω, ὅτι ὃ 4 τοῦ Γ ἐστι διπλάσιος. ᾿Επεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἔστιν ὁ Α΄ τοῦ B, ὃ 4 A ἄρα ἔχει τὸν Βὶ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο ἄρα οἵ 4 ἴσοι εἰσὶ τρισὶ τοῖς B. πάλιν ἐπεὶ ó B Β τοῦ Γ ἐστιν ἐπίτριτος, ὁ Β ἄρα ἔχει τὸν Γ Γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. τρεῖς ἄρα οἱ Β ἴσοι εἰσὶ τέτταρσι τοῖς Γ. τρεῖς δὲ οἱ Β ἴδοι εἰσὶ δυσὶ τοῖς 4. δύο ἄρα οἱ 4 ἴδοι εἰσὶ τέτταρσι i πλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ A τοῦ I. | PEOR : | 2. δύο] om. M!W. 8. ἔκ τε τοῦ τρίτου καὶ $uioA(ov W. — 6. ΖΚ1.-Μ5,.2 M, 8W. - PA] M3W, DP Μ᾿. 1. Ῥοϑὲ ἡμιόλιος, add. καὶ ἐκ τοῦ τριπλοῦ καὶ ἐπιτρίτου τὸ τετραπλάσιον ὁμοίως δείκνυται καὶ ἐκ τοῦ τετραπλοῦ καὶ ἐπιτετάρτου τὸ πενταπλοῦν καὶ ἀεὶ ὁμοίως M!W (prim. καί om.), perfodit M*. 9. ἐστιν ἔσται W. A4K] M*, 4 M!W, item lin 12 et 183. τεταρτῆ- μόριόν ἐστι δ. 11. BA] (utrumque) M*, B M'; item lin. 12. 12. ΒΓ (pr)] B W. 18. ὁ A ar e. M'!W. 19. τὸν ἥμισυν MW. 50. A] supra scr. M*, om. W. τοῖς B retol. W.. 24 d SECTIO CANONIS 161 VI. Duplum intervallum ex duobus maximis superparti- ' eularibus constat, et ex sesquealtero et ex sesquetertio. | nam sit BI' dimidia parte maior quam B AZ, 42 autem tertia parte maior quam 9; dico, BI' duplo maiorem esse quam 9. nam 2 abstuli Z K aequalem numero Θ et [ΓΖ nu- |4 | g mero ZZ. quoniam igitur BI' dimidia parte | K | maior est quam Z/Z, B.4 numeri BI' tertia pars est, numeri Z/Z vero dimidia. rursus quoniam Z/Z tertia parte maior est quam 6, | ΓΖ 4Κ numeri ZZ quarta pars est, numeri Θ vero tertia. quoniam igitur Z/K numeri ZZ quarta pars est, B4 vero numeri ZZ dimi- dia, numeri B4 dimidia erit Z/ K. verum erat ΒΖ nu- meri BI'tertia pars. itaque 7/K numeri BI'sexta pars est. verum erat ΖΚ numeri O tertia pars. ergo BI' duplo maior est quam 6. ΙΒ ἡ s Aliter. nam sit 4 dimidia parte maior quam B, B autem tertia parte maior quam Γ΄. dico, 4 duplo maiorem esse quam I* nam quoniam 44 dimidia parte maior est quam B, .4 numerum B continet eiusque dimidium. quare 244 — 3B. rursus quoniam B tertia parte maior est quam I; B nu- - merum I'continet et tertiam eius partem. quare 3 B — 4I: verum 3 B —2 A. quare 24 —4I* itaque 4 —2TI: »ergo 4 duplo maior est quam I: In figura prop. VI M plures habet litteras (scriptas manu 3); - sunt enim in prima linea partes indicatae 4f et H (hoc bis scr.), ἴα altera linea inter 4 et K scriptum e (i.e. 8). in M'W nulla - figurae vestigia. | 21. I (pr)] M?W, τρίτου M!. . εἰσιν ἴσοι W. 28. I7] - AT W. δυσί Meibom, δύο bd: 25. ὁ ἄρα A] Vat. 221, . ἄρα ὁ A cett, Peua, Meibom, Tan. 10 1ὅ 20 25 168 KATATOMH KANONOZ E t. ᾿ Ἔκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλά- σιον διάστημα γίνεται. h 3 ἔστω γὰρ ὃ μὲν 4 τοῦ B διπλάσιος, ὃ δὲ Ἵ B τοῦ Γ' ἡμιόλιος" λέγω, ὅτι ὁ 4 τοῦ Γ ἐστι τριπλάσιος. | ἐπεὶ γὰρ ὃ .4 τοῦ B ἐστι διπλάσιος. δ᾽ Α B3 ἄρα ἴσος ἐστὶ δυσὶ τοῖς B. πάλιν ἐπεὶ ὃ B ΠῚ τοῦ Γ' ἐστιν ἡμιόλιος. ὁ B ἄρα ἔχει τὸν Γ ἶ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο ἄρα οἱ Β ἴσοι εἰσὶ τρισὶ τοῖς I. δύο δὲ οἱ B ἴσοι εἰσὶ τῷ 4. "δ 5 9. καὶ ὃ .4 ἄρα ἴσος ἐστὶ τρισὶ τοῖς I. τριπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ 4 τοῦ Γ. ᾿ η. [ "Eàv ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιφεϑῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον. ἔστω γὰρ ὃ μὲν 4 τοῦ B ἡμιόλιος, ὁ δὲ Γ τοῦ B ἐπί- τριτος" λέγω, ὅτι ὃ 4 τοῦ Γ ἐστὶν ἐπόγδοος.. ἐπεὶ γὰρ ὁ 4 τοῦ B ἐστιν ἡμιόλιος, ὁ 4 ἄρα ἔχει τὸν B xci τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ὀχτὼ ἄρα οἱ 4 ἴσοι εἰσὶ δώδεκα. τοῖς B. πάλιν ἐπεὶ ὁ Γ τοῦ B ἐστὶν ἐπίτριτος, ὃ Γ' ἄρα ἔχει τὸν B καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. ἐννέα ἄρα οἱ Γ' ἴσοι εἰσὶ δώδεκα τοῖς Β, δώδεκα δὲ οἱ Β ἴσοι εἰσὶν ὀχτὼ τοῖς 4* ὀχτὼ ἄρα οἱ Α' ἴσοι εἰσὶν ἐννέα τοῖς I. ὃ A ἄρα. ἴσος ἐστὶ τῷ Γ᾿ καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ" ὁ 4 ἄρα τοῦ Γ ἐστιν ἐπόγδοος. ὅ. ὁ] om. W. 8. 4 ἄρα] W, ἄρα A M^, 4 om. Μ'. 9. ὁ B ἄρα] ἄρα ὁ B codd., Pena, Meibom, lan. 10. τὸν ἥμισον W.. 11. δύο — 12. ΓῚ om. W. 11. ΑἹ add. M*. 16. ἐπόγδοον] M*, τὸ ὄγδοον W. 17. ὁ (alt. — 19. ἡμιόλιος] om. W. 17. ΓῚ M?, τρίτος M'. B] M? in ras. 19. ὁ ἄρα 4 M. 20. d 4 W. δωδεκάτοις B W. 21. τοῖς B] in ras. M*. 22. οἱ I'] supra scr. M*. 23. δώδεκα (alt.) — 924. roig 4] om. W. 28.06] Μ΄. 34, A (pr etal) 4 M* T]in 4 | | | | | | SECTIO CANONIS 169 VII. - Ex intervallo duplo et sesquealtero intervallum fit triplum. —— nam sit 4 duplo maior quam B, B autem dimidia parte maior quam Γ; dico, .4 triplo maiorem esse quam I* - nam quoniam 4 duplo maior est quam B, est 4—2 B. rursus quoniam B dimidia parte maior est quam I, B "numerum Γ' continet et eius dimidium. quare 2B — 3T. yerum 2B — 4. itaque etiam 4 — ὃΓ' ergo 4 triplo maior est quam I: VIII. - Bi ab intervallo sesquealtero intervallum sesquetertium aufertur, quod relinquitur, sesqueoctavum est. A nam sit 4 dimidia parte maior quam B, 1 I'autem tertia parte maior quam B; dico, .4 octava parte maiorem esse quam I* nam quoniam .4 dimidia parte maior est | B quam B, 4 numerum B continet et eius di- i midium. quaré 8.4 — 12B. rursus quoniam " I'tertia parte maior est quam B, I'nume- ἡ rum B continet et tertiam eius partem. quare 4 91'-12B; sed 128 -- 844; quare 84 —9T- itaque 4 aequalis est numero Γ᾽ et octavae eius parti. ergo .4 octava parte maior est s ἡ quam I. E I Ad figuram prop. VIII M? habet ascriptos hos numeros: 95 .g » iB 9 i oB of op (3 s ἡ medias ad lineas, ἡ (8 9 imum ad finem positos). às. M?, B W. 4 (tert.) supra scr. M*. 25. ὁ A ἄρα] E ab. 221 (Pena, Meibom), ἄρα ὁ A4 cett. Ian. ἐπόγδοός ἐστιν W. 10 1ὅ 20 τῷ σι 110 KATATOMH KANONOZX ὃ". ; Τὰ ἕξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονά ἐστι μι... ἑνὸς διπλασίου. ἔστω γὰρ εἷς ἀριϑμὸς ὃ A. καὶ τοῦ μὲν A inóyloQ] ἔστω ὁ B, τοῦ δὲ B ἐπόγδοος ὃ I, τοῦ δὲ I' ἐπόγδο ὁ Z1, τοῦ δὲ 2 ἐπόγδοος ὃ E, τοῦ E ἐπόγδοος ὃ Ζ, τοῦ Z ἐπόγδοος ὃ H* λέγω, ὅτι ὃ Η τοῦ 4 μείξων ἐστὶν ij διπλάσιος. ἐπεὶ ἐμάϑομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριϑμοὺς ἐπογδόους b λήλων, εὑρήσϑωσαν ol 4, B, I, Zl, E, Z, H, xci γίνεται ὁ μὲν A κε μύρια μβρμὸ, ὁ δὲ B κθ μύρια δ'διβ, I' Ày μύρια «vos, 4 λξ μύρια γόμη., E μα μύρια 0750, Z μξ μύρια βτῆβ, ὁ 0 H vy μύρια αυμα, καί ἐστιν ὃ H τοῦ 4 μείζων ἢ διπλάσιος. C», Q» CO» C» ^ ($^ O^ (^ à Q^ Q^ O^ O^ , Pi Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι πολλαπλάσιον. ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων ὃ A, μέση δὲ ὃ B, προσλαμβανόμενος δὲ ὁ Γ. τὸ ἄρα 4 Γ διάστημα δὶς διὰ πασῶν ὄν ἐστι σύμφωνον. ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν ἢ πολλαπλάσιον. ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν᾽ ἐπιμορίου yàg. διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει" πολλα- πλάσιον ἄρα ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο (ἴσαν διαστήματα τὰ AB, BI' συντεϑέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον, καὶ τὸ AB ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον. 2. $5] εἰσι W. 9. Post ἀριϑμούς add. ἐφεξῆς MS * 11. M codd., item in seqq. (xg M?. 12. 2] ^ M; item lin. 15, z W. 13. Ày et « add. M*. 14. Numeros add. M*. 15. μα] M*. Ma v W. v] M*. 18. διπλάσιος] «|g]z|21s|£] add M!, ix «D ΤῊ τὸ τέ iE τή W. 23. ὄν] Μ΄, à» M*. il ἡ M. 26. ἴσα] Meibom, om. eodd. τά] om. W. 238, ἐστί --- p. 178 lin. 10 τρίτη] óm. W; mg. m. 2 λείπει ὧδε. SECTIO CANONIS 171 IX. Sex intervalla sesqueoctava maiora sunt uno inter- ; vallo duplo. nam sit unus numerus 4. et numero 4 octava parte | maior sit B, numero autem B octava parte maior I nu- | mero I' octava parte maior Ζ΄, numero Ζ΄ octava parte 'maior E, numero E octava parte maior Z, numero Z | octava parte maior H. dico, esse H 7 2 A. quoniam didieimus septem invenire numeros octonis inter se partibus maiores, inventi sint numeri 4. B, T Z, E, Z, H, et fit 4 — 262144; '"E- B 294912, I' 391116, Δ 313248, E 419904, Z 412392, H 531441, et est H 7 2 A. X. RD Diapason intervallum est multiplex. nam sit nete hyperbolaeon A4, mese autem E B B, proslambanomenos vero I: AI'igitur inter- Δ΄ vallum, quod est bis diapason, consonans est. j | itaque aut superparticulare est aut multi- bs ἡ. ὁ plex. superpartieulare non est; nam super- , particularis intervalli nullus τ δῖα nume- i rus proportionaliter incidit [prop. III]; quare multiplex ᾿ est. iam quoniam duo intervalla aequalia 4B, BI' com- - posita totum efficiunt multiplex [prop. Il], one AB - multiplex est. | 9. Heiberg 1. c. comparat EL. VIII, 2: ἀριϑμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς r ἀνάλογον ΙΗ; ὅσους ἂν ἐπιτάξῃ τις, ἐν τῷ δοϑέντι λόγῳ. -— 18. Fig. e| 8| || e| £m M^. | 20. Fig. habet N, sine numeris M?. d ex 10 15 20 26 v 172 KATATOMH KANONOX 3 , LC . Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε ἑκάτερον ἐπιμόριόν ἐστιν. ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὃ 41, μέση δὲ ὃ B, ὑπάτη δὲ μέσων ὃ I. τὸ ἄρα 4Γ διάστημα δὶς διὰ τεσ- σάρων ὕν ἐστι διάφωνον" οὐκ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον. ἐπεὶ οὖν δύο διαστήματα ἴσα τὰ AB, ΒΓ συντεϑέντα τὸ ὅλον μὴ ποιεῖ πολλαπλάσιον, οὐδὲ ἄρα τὸ AB ἐστι πολλα- πλάσιον. καί ἐστι σύμφωνον" ἐπιμόριον ἄρα. ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ τοῦ διὰ πέντε. up. To διὰ πασῶν διάστημά ἐστι διπλάσιον. ἐδείξαμεν γὰρ αὐτὸ πολλαπλάσιον. οὐκοῦν ἤτοι δὲ- πλάσιόν ἐστιν --- ἢ μεῖξον ἢ διπλάσιον. ἀλλ᾽ ἐπεὶ ἐδεί- ἕξαμεν τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπι- μορίων συγκείμενον, ὥστε, εἰ ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖξον διπλασίου. οὐ pupxsidivaz ἐκ δύο μόνων ἐπιμορίων» ἀλλ᾽ ἐχ πλειόνων, — σύγκειται δὲ ἐκ δύο συμφώνων διαστημάτων, ἔκ ve τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων, οὐκ ἄρα ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖξον διπλασίου. διπλά- σιον ἄρα. j ἀλλ᾽ ἐπειδὴ τὸ διὰ πασῶν ἐστι διπλάσιον. τὸ δὲ δὲ- πλάσιον ἐκ τῶν μεγίστων, ἐπιμορίων δύο συνέστηκε, καὶ τὸ διὰ πασῶν ἄρα ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου συνέστηχε᾽ ταῦτα γὰρ μέγιστα. συνέστηκε δὲ ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων, ὄντων ἐπιμορίων" τὸ μὲν ἄρα διὰ πέντε, ἐπειδὴ μεῖξόν ἐστιν. ἡμιόλιον - εἴη. τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον. LU "I V, 1g M?, nec iam sequuntur protaseon numeri in. codd. 5. δίς] supra scr. M* 6. ὄν] M* ex ów. 18. αὐτὸν αὐτῶ M. 25. δέ] Porph., γάρ codd. Post ἐκ insert. τὸ M*. 0 * Ψ' T SECTIO CANONIS 118 XI. .- Diatessaron intervallum et diapente utrumque super- particolare est. nam sit nete synemmenon Z, mese autem B, hypate vero meson I: ΑΓ igitur inter- vàlladi quod est bis diatessaron, dissonans est; quare non est multiplex. iam quoniam duo intervalla aequalia 4 B, B I' composita totum non efficiunt multiplex [prop. V], ne AB quidem multiplex est. et est consonans; τι ergo superpartieulare. eadem demonstratio st eliam in diapente. s XII. 1 Bibispason intervallum duplum est. L nam demonstravimus, multiplex id esse [prop. X]. Itaque aut duplum est aut maius quam duplum. verum quoniam demonstravimus, intervallum duplum ex duo- maximis superpartieularibus constare [prop. VI], iia ut, si diapason maius erit quam duplum, non con- tel ex duobus solis superparticularibus, sed ex pluri- )us, — constat vero ex duobus intervallis eonsonantibus, XX diapente et diatessaron, diapason non erit maius quam duplum, ergo duplum. τ sed quoniam diapason duplum est, intervallum autem "duplum ex duobus maximis superpartieularibus constat -[prop. VI], etiam diapason ex intervallis sesquealtero δὲ sesquetertio constat, nam haee maxima sunt, constat autem ex diapente et diatessaron, quae sunt super- artieularia [prop. XI]. ergo diapente, quia est maius, jsquealterum est, diatessaron vero sesquetertium. 10 1ὅ 20 25 114 ΚΑΤΑΤΟΜῊ ΚΑΝΟΝΟΣ φανερὸν δή, ὅτι καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ διὰ πασῶν τριπλάσιόν ἐστιν. ἐδείξαμεν γάρ, ὅτι ἐκ διπλασίου δια: στήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνετ' ὥστε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ διὰ πέντε τριπλάσιον. —. τὸ δὲ δὶς διὰ πασῶν τετραπλάσιόν ἐστιν. | ἀποδέδεικται ἄρα τῶν συμφώνων ἕκαστον, ἐν τίσι λόγοις ἔχει τοὺς περιέχοντας φϑόγγους πρὸς ἀλλήλ Y Uy “οιπὸν δὴ περὶ τοῦ τονιαίου διαστήματος m ὅτι ἐστὶν ἐπόγδοον. E ἐμάϑομεν γάρ, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματ ἐπίτριτον διάστημα ἀφαϊρεϑῇ. τὸ λοιπὸν καταλείπετα ἐπόγδοον. ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε τὸ διὰ τεσσάρωϊ ἀφαιρεϑῇ, τὸ λοιπὸν τονιαῖόν ἐστι διάστημα᾽ τὸ ἄρα τονιαῖον διάστημά ἐστιν ἐπόγδοον. ^ n ; ιδ΄. ] To διὰ πασῶν ἔλαττον ἢ ἕξ τόνων. δέδεικται γὰρ τὸ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιον, ὃ δὲ τό- vog ἐπόγδοος᾽ τὰ δὲ ἕξ ἐπόγδοα διαστήματα μείξονα διαστήματός [ἐστι] διπλασίου. τὸ ἄρα διὰ πασῶν ἔλατ- τόν ἐστιν ἕξ τόνων. ἢ υε΄. : Τὸ διὰ τεσσάρων ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου καὶ τὸ διὰ πέντε ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίο ἔστω γὰρ “νήτη μὲν διεξευγμένων ὁ B, παραμέδη ὁ DI, μέση δὲ ὃ 4, ὑπάτη δὲ μέσων ὃ Z. οὐκοῦν τὸ μὲ 6. Post ἄρα add. ὅτι M*. ἕκαστον] ex fxrov corr. M*. 7. λόγοις] -o:g om. in fine lin. M. 9. δή] D, δεῖ M. 10. ἐπόγ doov| ὃ in ras. M. 11. ἐάν] ἐὰν μέν in ras. M*. — 17. Pos ἔλαττον add. ἐστιν M*. SECTIO CANONIS 118 ! jam manifestum est, et etiam diapente et diapason Iriplum esse. demonstravimus enim, ex intervallo duplo eb sesquealtero intervallum fieri triplum [prop. VII], ita ut etiam diapason et dispente sit triylum. |. disdiapason quadruplum. | ergo demonstratum est, singula consonantia inter- ala in quibus rationibus sonos, quibus continentur, inter se habeant. | XIII. - Iam restat, ut de toniaeo intervallo disseramus, esse: IE ooctovum. nam didicimus, si ab intervallo sesquealtero inter- vallum sesquetertium auferatur, quod relinquitur, sesque- 'Qetavum esse [prop. VIII]. verum si a diapente diates- 'Saron auferatur, quod relinquitur, toniaeum est inter- yallum. ergo toniaeum intervallum sesqueoctavum est. | XIV. | diapason minus est quam sex tonorum. | 1; nam demonstratum est, diapason duplum esse [prop. t XII], tonum vero sesqueoctavum [prop. XIII]. verum sex intervalla sesqueoctava intervallo duplo sunt maiora [prop. IX]. Z4 ergo diapason minus est sex tonis. F XV. Diatessaron minus est duobus tonis se- B mitonioque et diapente minus est tribus tonis semitonioque. nam sit nete diezeugmenon B, para- 9 (m is if 5 LP mese autem I, mese autem 7/, hypate Lineae fig. in M? aequales sunt; numeri desunt. 10 15 20 26 116 KATATOMH KANONOZ | ΓΖ διάστημα τόνος ἐστὶ, τὸ δὲ ΒΖ, διὰ πασῶν ὄν, ἔλατ- vov ἕξ τόνων. τὰ λοιπὰ ἄρα, τό τε ΒΓ καὶ τὸ AZ ἴσα ὄντα ἐλάττονά ἔστι πέντε τόνων. ὥστε τὸ ἐν τῷ ΒΓ ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ τεσσάρων, τὸ δὲ BA ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ πέντε. : ἐξ} | Ὁ τόνος o? διαιρεϑήσεται εἰς δύο ἴσα οὔτε εἰς πλείω. ἐδείχϑη γὰρ ὧν ἐπιμόριος" ἐπιμορίου δὲ διαστήματος μέσοι οὔτε πλείους οὔτε εἷς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν. οὔκ ἄρα διαιρεϑήσεται ὃ τόνος εἰς ἴσα. Ἷ ιζ΄. Αἱ παρανῆται καὶ αἱ λιχανοὶ Ζ à ληφϑήσονται διὰ συμφωνίας οὕτως. Z ἔστω γὰρ μέση ὃ B. é&xwevácdo Β διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὸ I, καὶ ἀπὸ τοῦ | E Γ ἀνείσϑω διὰ πέντε ἐπὶ τὸ 4. vó- E vog ἄρα ὃ BZ. πάλιν δὲ ἀπὸ τοῦ 4 διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσϑω ἐπὶ τὸ E, ' καὶ ἀπὸ τοῦ E ἀνείσϑω ἐπὶ τὸ Z διὰ | πέντε. τόνος ἄρα τὸ Zl. δίτονος ἄρα ἑ τὸ ZB. λιχανὸς ἄρα τὸ Ζ. ὁμοίως ῥιρυρύμος ὃ νὃ μὴ ἂν καὶ αἱ παρανῆται ληφϑήσονται. ᾧ uj. À Αἱ παρυπάται καὶ αἱ τρίται οὐ διαιροῦσι τὸ πυκνὸν εἷς ἴσα. ; — 1. ἔλαττον] add. ἐστὶν Μ΄ supra. — 4. 0] ὄν Μ΄, item lin. 5. 8. ἴσα] Jan, ἴσους codd. (cf. lin. 26). πλείω] Porph., πλείους codd. 9. ὦν] M*, ὄν Μ'. 10. μέσοι] N, om. M. 18. 4] Μ᾿ τέταρτον Μ'. 21. Z4] M*, Z Μ'. δίτονος) M*, διάτονος M. SECTIO CANONIS 111 vero meson Z. qtüare intervallum I7/ tonus est, ΒΖ vero, quod est diapason, minus sex tonis [prop. XIV]. itaque reliqua intervalla, et BI' et ZZ, quae sunt aequalia, minora sunt quinque tonis. ergo id, quod in BI' est, minus est duobus tonis sueiitonioquay quod est Mistossoron, BA vero minus tribus tonis semitonioque, quod est diapente. ᾿ XVI. Ἱ Tonus non disidéls in duas partes aequales neque in plures. ! nam demonstratum est, eum esse superpartieularem. verum superparticularis intervalli medii numeri neque plures neque unus proportionaliter incidunt [prop. III]. ergo tonus in partes aequales non dividetur. L ἑ XVII. - Paranetae et lichani sumentur per consonantiam ita. - nam sit mese B. intendatur diatessaron ad I'et a I' ittatur diapente ad 7f. itaque tonus est B7f. rursus iutem a “7 diatessaron intendatur ad E, et ab E remit- atur ad Z diapente. itaque tonus est Z/f. ditonus igitur ZB; ergo lichanos Z. eadem ratione etiam paranetae "sumentur. XVIII. T Parhypatae et iritae non dividunt spissum in partes $ [ . Fig. prop. XVII hab. N.' τόν. add. Jan. M haec habet dia- -grammatis vestigia: 118 KATATOMH ΚΑΝΟΝΟΣ e ὦ éóvo γὰρ μέση μὲν ὁ B, λιχανὸς δὲ ὁ D, ὑπάτη δὲ ὁ Zl. ἀνείσϑω ἀπὸ τοῦ B διὰ πέντε ἐπὶ τὸ Ζ. τόνος (gu. ὁ Z4. καὶ ἀπὸ τοῦ Z διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσϑω ἐπὶ τὸ E. τόνος ἐστὶν ἄρα τὸ Zl διάστημα καὶ τὸ ΒΕ. κοινὸν προσ- 6 χείσϑω τὸ 411. τὸ ἄρα ZE ἴσον ἐστὶ τῷ AB. διὰ τεσσά. ρῶν δὲ τὸ ΖΕ" οὐκ ἄρα μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει τις τῶν ΖΕ" ἐπιμόριον γὰρ τὸ διάστημα. καί ἐστιν ἴσος ὃ 248 τῷ ΖΕ: οὐκ ἄρα τοῦ AI' μέσος ἐμπεσεῖται, ὅ ἐστιν ἀπὸ ὑπάτης ἐπὶ λιχανόν. οὐκ ἄρα ἡ παρυπάτη διελεῖ τὸ 10 πυχνὸν εἰς ἴσα. ὁμοίως οὐδὲ ἡ τρίτη. ιϑ'. Τὸν χανόνα καταγράψαι κατὰ τὸ καλούμενον ἀμε- τάβολον σύστημα. : ἔστω τοῦ κανόνος μῆκος. ὃ καὶ τῆς χορδῆς, τὸ AB, 15 καὶ διῃρήσϑω εἰς τέσσαρα ἴσα κατὰ và I, 4, E. ἔσται ἄρα ὁ ΒΑ βαρύτατος ὧν φϑόγγος βόμβυξ. οὗτος δὲ ὁ AB τοῦ ΓΒ ἐπίτριτός ἐστιν, ὥστε ὁ ΓΒ τῷ AB συμφωνήσει διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὴν ὀξύτητα. καί ἐστιν ὃ AB προσ- λαμβανόμενος" ὃ ἄρα ΓΒ ἔσται ὑπάτων διάτονος. πάλιν 20 ἐπεὶ ὁ AB τοῦ Bl ἐστι διπλοῦς, συμφωνήσει τῇ διὰ πα- A A D o dd xu m [—] Goat — aepo pl ἜΝ ^ "d : e S e X5 ^ o ἀν 248 ΚῚ Se ὡς Gy à S ^w X E] Ἐ "456 ὧν m RE “Φ τ - o Ὁ Ὁ δ S BERE Ὡ Am WR 3FERE E B “ὃ Φ "9 BB S EN m . χαὶ] supra add. Μ᾿, BE] Jan, ΓΕ codd. προσκείσϑω Meib., προκείσϑω codd. 5. ΖΕ] Jan, ZI" codd. zB] ὁ A4E codd. 7. ἐπιμόριον] Μ᾽, ἐπιμόριος Μ᾽. 8. 4B τῷ ZE Jan, 4Z τῷ ΤῈ add. 15. διῃρήσϑω] διαιρείσϑω W. κατά om. W. 16. ó»] M*W, ὧν M'. 18. Ante διά add. τῇ M*.- 19. ΓΒ] BI W. ὑπάτων) M', ὑπατῶν M*W. καὶ πάλιν 20. διπλοῦς] διπλάσιος M*. SECTIO CANONIS 119 . nam sit mese B, lichanos autem I, hypate vero Z. " inteidatur AB dispante ad Z. itaque L4 I'E B tonus est Z4. et a Z diatessaron inten- datur ad E. itaque tonus est Zzf inter- vallum et BE. commune adiciatur 4I: itaque est ΖΕ — 28. verum diatessaron ΖΕ. quare nullus medius numerus in ZE | proportionaliter incidit. superpartieulare μη est enim intervallum. et est Z/B — ZE. 1 »à quare medius in Z/I' non incidet, quod T est ab hypate ad lichanum. ergo parhy- pate spissum in partes aequales non di- videt. eadem ratione ne trite quidem. XIX. P Canona designare secundum systema immutabile, quod vocatur. ᾿ς Sit canonis longitudo, quae eadem est chordae, AB, et lividatur in quattuor partes aequales in punctis Γ, Ζ,, E. | erit igitur B.4, cum gravissimus sit tonus, bomi b autem AB wiplo maior est quam ΓΒ, iin ut ΓΒ cum AB consonet diatessaron ad acumen. et est 4B proslam- omenos. itaque ΓΒ erit hypaton diatonos. rursus, -quoniam 48 — 2 ΒΩ, consonabit cum diapason et érit B 4 I e Za Kk Z Ho:EB men [1 EB l B : * x «ὦ mn o ε re ΡΞ, ἐμὰ ἢ 3 Ξ 8 ΔΗ m Ω, ““ἰ Ρι TES. S 4 OQ "5 Sdo o o EE «ἢ o cel "mun mW P Fig. prop. XVIII hab. N; in M*: β ξ ὃ (bum e | βοΐ » 21. encima hab. M* mg., sed παραμέση K et νήτη συν. 2 perverse mutaverunt locos. 1595 10 1ὅ 20 25 30 3 σῶν xal ἔσται ὃ ΒΖ μέση. πάλιν ἐπεὶ τετραπλάσιός id ὁ 4.8 vooEB, ἔσται ó EB νήτη ὑπερβολαίων. ἔτεμον τὸν ΓΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ. καὶ ἔσται διπλάσιος ὃ ΓΒ τοῦ ΖΒ, ὥστε συμφωνεῖν τὸν ΓΒ πρὸς τὸν ZB διὰ πασῶν" ὥστε εἷναι τὸν ZB νήτην συνημμένων. ἀπέλαβον τοῦ 4B τρί- τον μέρος τὸ ZH. καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὃ 48 τοῦ HB, ὥστε συμφωνήσει ὃ 4B πρὸς τὸν HB ἐν τῷ διὰ πέντε" ὃ ἄρα ΗΒ νήτη ἔσται διεξευγμένων. ἔϑηκα τῷ H B ἴσον τὸν ΗΘ, ὥστε ὁ ΘΒ πρὸς τὸν ΗΒ συμφωνήσει διὰ πασῶν, ὡς εἶναι τὸν ΘΒ ὑπάτην μέσων. ἔλαβον τοῦ ΘΒ τρίτον μέρος τὸ ΘΚ. καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὁ ΘΒ τοῦ ΚΒ, ὥστε εἶναι τὸν ΚΒ παράμεσον. ἀπέλαβον τῷ KB ἴσον τὸν AK καὶ γενήσεται ὁ AB ὑπάτη βαρεῖα. ἔσονταν ἄρα εἰλημμένοι ἐν τῷ κα- νόνι πάντες οἱ (ἑστῶτες) φϑόγγοι τοῦ ἀμεταβόλου συστή- ματος. | 180 KATATOMH KANONOEZ x. E. “οιπὸν δὴ τοὺς φερομένους λαβεῖν. ἔτεμον τὸν EB εἰς ὀκτὼ καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔϑηχι τὸν EM, ὥστε τὸν MB τοῦ EB γενέσϑαι ἐπόγδοον. xa πάλιν διελὼν τὸν MB εἷς ὀκτὼ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔϑηχα τὸν ΝΜ’ τόνῳ ἄρα βαρύτερος ἔσται ὁ ΝΒ τοῦ ΒΜ, ὃ δὲ MB τοῦ BE, ὥστε ἔσται μὲν ὃ ΝΒ τρίτη ὑπερβολαίων; ὁ δὲ ΜΒ ὑπερβολαίων διάτονος. ἔλαβον τοῦ ΝΒ τρίτοι μέρος καὶ ἔϑηκα τὸν NE, ὥστε τὸν KB τοῦ ΝΒ εἶναι ἐπί- τριτον καὶ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν ἐπὶ τὴν βαρύτητα καὶ γενέσϑαι τὸν 58 τρίτην διεξευγμένων. πάλιν τοῦ EB λαβὼν ἥμισυ μέρος" ἔϑηκα τὸν ΞΟ, ὥστε διὰ πέντε συμ’ φωνεῖν τὸν OB πρὸς τὸν EB: ó ἄρα OB ἔσται παρυπάτ'! μέσων. καὶ τῷ XO ἴσον ἔϑηκα τὸν ΟΠ, ὥστε γενέσϑ τὸν IIB παρυπάτην ὑπάτων. ἔλαβον δὴ τοῦ BI' τέταρτοι μέρος τὸν ΓΡ, ὥστε γενέσϑαι τὸν PB μέσων διάτονον 2. Éreuov] add. γάρ M*. 8. ΗΒ (pr)] ὁ HB Μ', 10. cot W, τόν M'. 14. ἑστῶτες] Bojesen (De harmonica scientia Grae js : SECTIO CANONIS 181 ΒΖ mese. rursus quoniam 48 — AEB, erit EB nete yperbolaeon. divisi ΓΒ in duas partes aequales in ncto Z. et erit ΓΒ duplo maior quam ZB, ut con- onet ΓΒ ad ZB diapason. itaque ZB est nete synem- menon. abstuli ab ΖΒ tertiam partem ΖΗ. et erit 4B E parte maior quam HB, ita ut Z/B consonet ad B in diapente. itaque HB nete erit diezeugmenon. posui HO — HB, ita ut 9B ad HB consonet diapason. ataque ΘΒ est hypate meson. sumpsi longitudinis ΘΒ 'ertiam partem OK. et erit ΘΒ dimidia parte maior quam KB, ita ut KB sit parameson. abstuli 4K — KB et fie& 4B hypate gravis. ergo sumti erunt in canone | omnes soni stantes systematis immobilis. ! XX. — Jam restat, ut mobiles sumamus. - divisi EB in octo partes aequales et uni earum ae- qualem posui EM, ita ut MB octava parte maior fiat quam EB. et rursus diviso MB in octo partes aequales "uni earum aequalem posui NM; tono igitur gravior erit ΝΒ quam BM, MB autem quam BE, ita ut sit NB trite hyperbolaeon, MB vero hyperbolaeon diatonos. sumpsi longitudinis NB tertiam partem et posui NA, ita ut EB lertia parte maior sit quam ΝΒ et diatessaron ad gra- yitatem consonet et EB fiat trite diezeugmenon. rursus longitudinis ,'$B sumta dimidia parte posui ,£O, ita ut diapente consonet OB ad XB. itaque O B erit parhypate neson. et posui ΟΠ — XO, ita ut fiat I1 B parhypate hypaton. iam sumpsi longitudinis BI' quartam partem ΤΡ, ita ut fiat PB meson diatonos. orum p. 133 not), Jan. 17. δή] Jan, δεῖ codd. 18. τόν] W, τό M. 23.0 δὲ MB ὑπερβολαίων] mg.add. M*. vov] M*W, τόν M. )4. Post καί add. ivi αὐτῶν ἴσον M*. — NE] E W. τοῦ] M?, ὧν M!. 26. καὶ] supra m. 1 add. Vat. Regin. 94, om. cett. 21. ἔϑηκα)] ἴσον αὐτῷ M? supra. 28. τῷ] M* ex τό. 81. τόν pr)] W, τό M. IP] ΓΟ W. μέσον M. . KATATOMH KANONOZ 182 [ c l ὃ - ^ S 3 $ Z^ ^A 8 E & wo E T XD ^ : POT Gua ER 2 9 8 τῶν ῷ & oc .Ξ5 «5 S 5 Ὁ 8 a i *90 /— Som ὃς P s] τῷ "S a κῷ 5. i4 RU ox S "d B E sx» 8 e 9 Puce €t " T NZ woe τι μὴν ἢ gom m Φ Θεῷ $ iode Y. EG ἘΞ ρθε z od S E i E Ra LAS MET τῷ Z oS & uS ξ, 3 E S 3 ον τ [E ode sa ue ce e Ὲ E δε B N Mo 4 53 moo I8 45 BA - B E E] Ἐ E Ξ Ἐν Ἐ δι cu Ὁ Deseriptum hoc est diagramma manu 2 in imo margine fol. 16* cod. M. litteras II et Z librarius omisit, reliqua quae uncinis ( » inclusa sunt perierunt cum margine membranae. Alterum est diagramma in summo margine eiusdem folii neglegenter descriptum, litterarum ordo hie: 4 4D - OAZ2PKH EM N 5 O II B, sonorum nomina non addita. W diagramma non habet. Addit M* εὐκχλείδου κανόνος κατατομή ξώσιμος διώρϑου ἐν κωνσταντινουπόλει εὐτυχῶς. SECTIO CANONIS 183 (proslambanomenos» 7 PN |. hypate (hypaton» P j Z^ ᾿ς parhyp. (hypaton) "Ἢ . lichanos (hypatonp | 4 . hypate meson -ῷ parhypate meson TO . liehanos meson T^g Mese E δ paramese irite diezeugmenon La » paranete diezeugmenon- S nete diezeugmenon “ΕΝ irite hyperbolaeon T . paranete hyperbolaeon -- αὶ . mete hyperbolaeon MN - INTRODUCTIO HARMONICA ex 10 15 20 1. Ἁρμονική ἐστιν ἐπιστήμη ϑεωρητική TE καὶ aqux - Tux? τῆς τοῦ ἡρμοσμένου φύσξως. ἡρμοσμένον δὲ τὸ ἐκ φϑόγγων τε καὶ διαστημάτων ποιὰν τάξιν ἐχόντων 6vy-. κείμενον. μέρη δὲ αὐτῆς ἐστιν ἕπτά" περὶ φϑόγγων, περὶ διαστημάτων, περὶ γενῶν, περὶ συστήματος, περὶ τόνου, περὶ μεταβολῆς, περὶ μελοποιΐας. ἶ φϑόγγος μὲν οὖν ἐστι φωνῆς πτῶσις ἐμμελὴς ἐπὶ μίαν τάσιν. Ξ διάστημα δὲ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο φϑόγγων ἀνο- μοίων ὀξύτητι x«l βαρύτητι. : γένος δέ ἐστι ποιὰ τεττάρων φϑόγγων διαίρεσι. — σύστημα δέ ἐστι τὸ ἐκ πλειόνων ἢ ἑνὸς διαστημάτων! συγκείμενον. | τόνος δέ ἐστι τόπος Tig τῆς φωνῆς δεκτικὸς συστή- ματος ἀπλατής. μεταβολὴ δέ ἐστιν ὁμοίου τινὸς εἷς ἀνόμοιον τόπον pere Gio. 1 μελοποιΐα δέ ἐστι χρῆσις τῶν ὑποκειμένων τῇ &guo-- vixi πραγματείᾳ πρὸς τὸ οἰκεῖον ἑκάστης ὑποϑέσεως. 2. Ταῦτα δὲ ϑεωρεῖται ἐν φωνῆς ποιότητι. ἧς κι- νήσεις εἰσὶ δύο, ἡ μὲν συνεχής τε καὶ λογικὴ xeAov- μένη. ἡ δὲ διαστηματική τε καὶ μελῳδική. ἡ μὲν οὖν. συνεχὴς κίνησις τῆς φωνῆς τάς τε ἐπιτάσεις καὶ τὰς ἀνέσεις ἀφανῶς ποιεῖται μηδαμοῦ ἱσταμένη ἢ μέχρι Κλεονείδου si. ἀρ. N fol. 56 (cum Par. 2535, B fol. 311, Vat. 221, Riccard., Bonon. 2432). Εὐκλείδου εἰ. ἀρ. Μ΄ in ras. W- m. 2. Lips. 25 (Marc. 322. Bon. 2048. Vat. 1341. 1346. Urb. 175. Regin. 94. Mon. 104. Berol. Phil. 1552. Par. 2456. 2457. 2460“, suppl. 449. Escor. ᾧ 2,5. X 1, 12. — Barocc) ᾿Εκ τῶν τοῦ Πάππου B (fol. 3800) cum N fol. 16. Par. Crameri 2460 (f. 52). Vat. 221. 671. Urb. 77". Ζωσίμου Matritensis N. 48, Zvovóuov cod. Vule. rasura in M'. ΠΠ1. Harmonica est scientia naturam compositionis harmonieae et considerandi et exercendi. harmonice eompositum autem est id, quod et ex sonis et ex intervallis ordinem quendam habentibus constat. partes gutem eius sunt septem: de sonis, de intervallis, de eneribus, de systemate, de tono, de mutatione, de me- E | sonus igitur est conecinnus vocis easus in unam ten- |Sionem. intervallum autem, quod comprehenditur duobus sonis acumine et gravitate dissimilibus. genus est quaedam quattuor sonorum divisio. - Systema est id, quod ex pluribus quam uno inter- vallis constat. - tonus est locus quidam vocis, systematis capax, lati- "udine carens. - mutatio est similis alicuius in dieto locum trans- motio. 4 melopoeia est usus eorum, quae traetationi harmoni- eae sunt subiecta pro eo, quod est uniuscuiusque argu- menti proprium. 2. Haec autem considerantur in vocis qualitate, cuius mmotus sunt duo, alter qui vocatur continuus et loquendi proprius, alter intervallatus et melodieus. continuus igitur vocis motus et intentiones et remissiones latenter facit nusquam insistens nisi usque ad silentium. inter- ! 1 J - 1. re] om. W, item lin. 3. 2. Post δέ add. ἐστι W. 8. ποιάν meris nspriptis mutat Μ΄. συστημάτων W. 6. τόνων /W. 10 15 20 25 188 ἘΙΣΑΓΩΓΉ APMONIKH Qe cand σιωπῆς. ἡ δὲ διαστηματικὴ κίνησις τῆς φωνῆς ἐναντίω! κινεῖται τῇ συνεχεῖ" μονάς τὲ γὰρ ποιδῖ καὶ τὰς μεταξὺ τούτων διαστάσεις, ἐναλλὰξ αὐτῶν ἑκάτερον τιϑεῖσα. τὰς μὲν οὖν μονὰς τάσεις καλοῦμεν, τὰς δὲ μεταβάσεις τὰς ἀπὸ τάσεων ἐπὶ τάσεις διαστήματα. τὰ δὲ ποιοῦντα τὴν τῶν τάσεων διαφορὰν ἐπίτασίς ἐστι καὶ ἄνεσιξ, ἀποτέλεσμα δὲ τούτων ὀξύτης καὶ βαρύτης. τὸ μὲν γὰρ δι’ ἐπιτάσεως γινόμενον εἰς ὀξύτητα ἄγει, τὸ δὲ δι ἀνέσεως εἰς βαρύτητα. καὶ ὀξύτης μὲν οὖν ἐστι τὸ OV ἐπιτάσεως γινόμενον ἀποτέλεσμα, βαρύτης δὲ τὸ δὲ ἀνέσεως. ἰ.. .. ἀμφοῖν γὰρ συμβέβηκε τὸ τετάσϑαιἢ καλοῦνται δὲ αἱ τάδεις καὶ φϑόγγοι" τάσεις μὲν ἀπὸ τῶν καϑαπτῶν ὀργάνων παρὰ τὸ τετάσϑαι, φϑόγγοι δέ, ἐπεὶ ὑπὸ φωνῆς ἐνεργοῦνται. φϑόγγοι δέ εἶσι τῇ μὲν τάδει ἄπειροι, τῇ δὲ δυνάμει καϑ' ἕκαστον γένος δὲ- καοχτώ. 9. Γένη δέ ἐστι τρία, διάτονον, χρῶμα, ἁρμονία. καὶ μελῳδεῖται τὸ μὲν διάτονον ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ κατὰ τόνον καὶ τόνον καὶ ἡμιτόνιον, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐναντίως κατὰ ἡμιτόνιον καὶ τόνον καὶ τόνον, τὸ δὲ χρῶμα ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ κατὰ τριημιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐναντίως κατὰ ἡμιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον καὶ τριημιτόνιον, ἡ δὲ ἁρμονία ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ κατὰ δίτονον καὶ δίεσιν καὶ δίεσιν, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐναντίω κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν καὶ δίτονον. 4. Εἰσὶ δὲ οἱ μὲν ἐν τῷ διατόνῳ φϑόγγοι οἵδε" προσλαμβανόμενος t ὑπάτη ὑπάτων ! παρυπάτη ὑπάτων ᾧ 8. ἐναλάξ W. τιϑεῖσα)] τέϑειται W. 8. ἐτίτασις — 1. fa-- ρύτης] ἐπίτασις δέ ἐστι καὶ ἄνεσις τὸ ἀποτέλεσμα τούτων ὀξύ- τητι καὶ βαρύτητα. 7. Post γάρ add. διαφέρον W. 9. xol ὀξύτης μὲν οὖν] ὀξύτης δέ -W. 10. δι᾽ ἀνέσεως] τὸ ἐναντίον W. 11. Ante ἀμφοῖν γάρ hab. ὅτε τάσις καλεῖται παρὰ τὸ τετά- σϑαι" καλεῖται δὲ καὶ φϑόγγος, ἐπεὶ ὑπὸ φωνῆς ἐνεργεῖται W.. Ὧ Ὶ INTRODUCTIO HARMONICA 189 Ens vero vocis motus contrarie movetur continuo; mam et institiones facit et inter eas distantias, vicissim utrumque eorum conlocans. et institiones quidem ten- |'Siones vocamus, transitus vero a tensionibus ad ten- |siones intervalla. quae autem tensionum differentiam efficiunt, intentio sunt et remissio, harum vero perfectio 'acumen et gravitas; nam id, quod intentione fit, ad |aeumen versus tendit; id vero, quod remissione, ad gra- vitatem versus. acumen igitur perfectio est, quae inten- ione fit, gravitas vero, quae remissione. [.... utrique enim continiek; ut intendatur.]*) vocantur autem ten- siones etiam soni; tensiones de tactis instrumentis, quia "intenta sunt, soni vero, quod voce eduntur. soni autem tensione innumerabiles sunt, potestate vero in unoquo- que genere duodeviginti. | ὃ. Genera autem sunt tria: diatonum, ehroma, har- onia. et eanitur diatonum ad grave versus per tonum δὲ tonum et semitonium, ad acutum versus contrarie 3 semitonium et boni et tonum, chroma autem ad E rave versus per triemitonium et Pomitohiqii et, semi- "Xtonium, ad aeutum versus contrarie per semitonium et semitonium et triemitonium, harmonia autem ad grave versus per ditonum et diesin et diesin, ad acutum ver- --sus contrarie per diesin et diesin et ditonum. 4. Sunt autem soni in diatono hi: proslambanomenos hypate hypaton parhypate hypaton |. 1) Verba lin. 11. ἀμφοῖν — τετάσϑαι Jan rectissime iudicat interpolata esse; v. Mus. Gr. p. 177. —— m———^«—GÁ'—«—»ESZTM ρον παρε πα UB gr 3s 112. αἱ] W. om. cett. — 13. καϑαπτῶν] xc9" αὐτῶν W. 15. δέχα xol ówvó W. 26. δέ]! W, om. M. 28. ὑπάτων semper Μ΄, ὑπατῶν corr. M. i 10 1ὅ 20 25 80 190 ΕΙΣΑΓΩΓΗ APMONIKH λιχανὸς ὑπάτων διάτονος ὑπάτη μέσων παρυπάτη μέσων λιχανὸς μέσων διάτονος μέση τρίτη συνημμένων παρανήτη συνημμένων διάτονος νήτη συνημμένων παραμέση τρίτη διεξευγμένων παρανήτη διεξευγμένων διάτονος νήτη διεξευγμένων τρίτη ὑπερβολαίων παρανήτη ὑπερβολαίων διάτονος νήτη ὑπερβολαίων. Ἔν δὲ χρώματι ois: προσλαμβανόμενος ὑπάτη ὑπάτων παρυπάτη ὑπάτων λιχανὸς ὑπάτων Xgonuctunj ὑπάτη μέσων παρυπάτη μέσων λιχανὸς μέσων χρωματική μέση τρίτη συνημμένων παρανήτη συνημμένων χρωματική νήτη συνημμένων παραμέση τρίτη διεζευγμένων παρανήτη διεξευγμένων χρωματική νήτη διεξευγμένων τρίτη ὑπερβολαίων νήτη Ὗ. 1. λιχανός videtur M! semper, λίχανος M corr. 7. 8. διάτονος νήτη συνημμένων] om. W. 6. τρίτη} 9. Post. ; INTRODUCTIO HARMONICA 191 lichanos hypaton diatonos hypate meson parhypate meson lichanos meson diatonos mese irite synemmenon paranete synemmenon diatonos nete synemmenon paramese irite diezeugmenon paranete diezeugmenon diatonos nete diezeugmenon inte hyperbolaeon paranete hyperbolaeon diatonos nete hyperbolaeon. In chromate autem hi: proslambanomenos hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton chromatice hypate meson parhypate meson ξ ' liehanos meson chromatice mese irite synemmenon paranete synemmenon echromatice [ nete synemmenon ! paramese irite diezeugmenon | paranete diezeugmenon chromatice nete diezeugmenon - irite hyperbolaeon τ αὐ Ro RS, παραμέση add. συνημμένων W. 11. παρανήτη] νήτη W, sed ante νήτη lac. et ras. 4— 5 litt. 18. ὑπάτη]) bis W. | 192 EIZAUQI'H APMONIKH παρανήτη ὑπερβολαίων χρωματική νήτη ὑπερβολαίων. Ἔν δὲ ἁρμονίᾳ οἵδε" 10 15 20 25 80 Κατὰ προσλαμβανόμενος ὑπάτη ὑπάτων παρυπάτη ὑπάτων λιχανὸς ὑπάτων ἐναρμόνιος ὑπάτη μέσων παρυπάτη μέσων λιχανὸς μέσων ἐναρμόνιος μέση τρίτη συνημμένων ἐναρμόνιος παρανήτη συνημμένων ἐναρμόνιος νήτη συνημμένων παραμέδη τρίτη διεξευγμένων ἐναρμόνιος παρανήτη διεξευγμένων ἐναρμόνιος νήτη Oustevyu£vov τρίτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος παρανήτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος νήτη ὑπερβολαίων. δὲ μίξιν τῶν γενῶν οἵδε" προσλαμβανόμενος ὑπάτη ὑπάτων παρυπάτη ὑπάτων λιχανὸς ὑπάτων ἐναρμόνίος λιχανὸς ὑπάτων χρωματική λιχανὸς ὑπάτων διάτονος ὑπάτη μέσων παρυπάτη μέσων 7. λιχανὸς ὑπάτων] om. W. 8. μέσων] μέση W, item - lin. 9, 10. εναρμόνιος] in M perfossum; 14. Post συνημμένων add. παρανήτη συνημμένων W. E 15. Post παραμέση add. συνημμένων ἐναρμόνιος W. — 16. τρίτη]. 12. Post συνημμένων add. λιχανὸς συνημμένων Ἢ. item lin. 16, 17 et 30. ἡ 3 | r3 INTRODUCTIO HARMONICA 193 paranete hyperbolaeon chromatice nete hyperbolaeon. J In harmonia autem hi: proslambanomenos hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton enarmonios hypate meson parhypate meson liehanos meson enarmonios mese irite synemmenon enarmonios paranete synemmenon enarmonios nete synemmenon paramese irite diezeugmenon enarmonios paranete diezeugmenon enarmonios nete diezeugmenon irite hyperbolaeon enarmonios paranete hyperbolaeon enarmonios nete hyperbolaeon. ᾿ Seeundum mixturam generum hi: proslambanomenos hypate hypaton . parhypate hypaton lichanos hypaton enarmonios lichanos hypaton chromatice lichanos hypaton diatonos hypate meson: parhypate meson "n W. ἐναρμόνιος] del. M*; om. W, item lin. 17, 19. 17. ἐν- ouoviog] perfossum M. 18. παραμέση διεξευγμένων ἐναρμό- ς W. 25. Add. ἐναρμόνιος W. 22—25. ità in B; in M T et fere omnia nova. 26. ἐναρμόνιος —28. óxdioy . W. 29. Post μέσων add. χρωματικὴ λιχανὸς ὑπάτων Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 13 Wc mtpua ep ΧΙ ΣΣΖΣΣΣΩΣ. TET PETI στε HL DRIFT SR AE SIT Yn e cs 10 1ὅ 20 25 30 194 ἙἘΙΣΑΓΩΓῊ APMONIKH λιχανὸς μέσων évaguóviog λιχανὸς μέσων χρῶωματική λιχανὸς μέσων διάτονος μέση τρίτη συνημμένων παρανήτη συνημμένων ἐναρμόνιος παρανήτη συνημμένων χρωματική παρανήτη συνημμένων διάτονος νήτη συνημμένων παραμέση τρίτη διεξευγμένων παρανήτη διεξευγμένων ἐναρμόνιος παρανήτη διεξευγμένων χρωματική παρανήτη διεξευγμένων διάτονος νήτη διεξευγμένων τρίτη ὑπερβολαίων παρανήτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος παρανήτη ὑπερβολαίων χρωματική παρανήτη ὑπερβολαίων διάτονος νήτη ὑπερβολαίων. | τῶν δὲ ἐξηριϑμημένων φϑόγγων οἱ μέν εἶσιν ἕστ τες, οἱ δὲ κινούμένοι. ἑστῶτες μὲν οὖν εἰσιν, ὅσοι ταῖς τῶν γενῶν διαφοραῖς οὐ μεταπίπτουσιν, ἀλλὰ μέ νουσιν ἐπὶ μιᾶς τάσεως. κινούμενοι δέ, ὅσοι τοὐνα τίον πεπόνϑασιν᾽ ἐν γὰρ ταῖς τῶν γενῶν διαφοραῖς μεταβάλλουσι καὶ οὐ μένουσιν ἐπὶ μιᾶς τάσεως. εἰσὶ οὖν οἱ μὲν ἑστῶτες ὀχτὼ οἵδε᾽ προσλαμβανόμενος, ὑπά ὑπάτων, ὑπάτη μέσων, μέση, νήτη συνημμένων, παρ μέση, νήτη διεξευγμένων, νήτη ὑπερβολαίων" κινούμξ νοι δὲ οἱ ἀνὰ μέσον τούτων πάντες. [ τῶν δὲ ἑστώτων οἱ μέν εἶσι βαρύπυκνοι. οἱ 11. τρίτη] M in ras. νήτη W. 12. γμένων —14. διάτον M* in ras. . 16. ó:xeoflola(ov] add. χρωματική W. 11. INTRODUCTIO HARMONICA 195 | lichanos meson enarmonios E lichanos meson ehromatice Í lichanos meson diatonos 3 mese | irile synemmenon. paranete synemmenon enarmonios paranete synemmenon chromatice paranete synemmenon diatonos nete synemmenon paramese trite diezeugmenon paranete liezeugmenon enarmonios paranete diezeugmenon chromatice paranete diezeugmenon diatonos nete diezeugmenon irite hyperbolaeon paranete hyperbolaeon enarmonios paranete hyperbolaeon chromatice paranete hyperbolaeon diatonos nete hyperbolaeon. -. sonorum autem, qui enumerati sunt, alteri sunt stantes, alteri mobiles. ac stantes quidem sunt, quot- | quot in generum differentiis non mutantur, sed manent -in una tensione; mobiles vero, quotquot contrarium subierunt; in generum enim differentiis mutantur neque ' manent in una tensione. sunt igitur stantes octo hi: | proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, -nete synemmenon, paramese, nete diezeugmenon, nete —hyperbolaeon; mobiles vero, qui sunt in horum medio, - omnes. | stantium alii sunt barypyeni, alii apycni et compre- — αρμόνιος — 19. ὑπερβολαίων] om. W. 24. κινούμενοι —926. τάσεως] om. W. 30. oi] οἵδε οἱ W. μέσων W. 31. τῶν ἑστώτων oi βαρύπυκνοι M mg. m. 2. 13* 190 ΕΙΣΑΓΩΓῊ APMONIKH ἄπυκνοι καὶ περιέχοντες τὰ τέλεια συστήματα. βαρύ- πυκχνοι μὲν οὖν εἰσι πέντε οἵδε ὑπάτη ὑπάτων, ὑπάτη μέσων, μέση, παραμέση, νήτη διεξευγμένων. ἄπυκνοι δὲ καὶ περιέχοντες τὰ τέλεια συστήματα οἱ λοιποὶ volg & οἵδε᾽ προσλαμβανόμενος, νήτη συνημμένων, νήτη ὑπερ- βολαίων. E τῶν δὲ κινουμένων ol μέν εἶσι μεσόπυκνοι, ol δὲ ὀξύπυκνοι, οἱ δὲ διάτονοι. μεσόπυχνοι μὲν οὖν εἶσι, πέντε οἵδε παρυπάτη ὑπάτων, παρυπάτη μέσων, τρίτη 10 συνημμένων, τρίτη διεξευγμένων, τρίτη ὑπερβολαίων. ὀξύπυκνοι δὲ ὁμοίως κατὰ γένος πέντε, ἐν μὲν ἅρμον t ol ὀναρμόνιοι, ἐν δὲ χρώματι οἱ χρωματικοί" τὸ γὰρ διάτονον οὐ μετέχει πυχνοῦ. εἰσὶν οὖν oi μὲν ἐν τῇ ἁρμονίᾳ οἵδε" λιχανὸς ὑπάτων ἐναρμόνιος, λιχανὸς μέσων 15 ἐναρμόνιος, παρανήτη συνημμένων ἐναρμόνιος, παρα- νήτη διεξευγμένων ἐναρμόνιος., παρανήτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος. ἐν δὲ τῷ χρώματι οἵδε' λιχανὸς ὑπάτων χρωματική, λιχανὸς μέσων χρωματική, παρανήτη συνημ- μένων χρωματική, παρανήτη διεξευγμένων χρωματιχή, 20 παρανήτη ὑπερβολαίων χρωματική. (οὗ δὲ διατόνοιν οἵδε, λιχανὸς ὑπάτων διάτονος, λιχανὸς μέσων διάτονος, πα- ρανήτη συνημμένων διάτονος, παρανήτη διεξευγμόνοϑ διάτονος, παρανήτη ὑπερβολαίων διάτονος. D. Τῶν δὲ διαστημάτων διαφοραί εἶσι πέντε, ἧ E 25 μεγέϑει ἀλλήλων διαφέρει καὶ ἧὗ κατὰ γένος καὶ T τὰ σύμφωνα τῶν διαφώνων καὶ ἧ τὰ σύνϑετα τῶν ἀσυν-᾿ ϑέτων καὶ ἧ τὰ ῥητὰ τῶν ἀλόγων. ἡ μὲν οὖν κατὰ μέγεϑός ἐστι, καϑ' ἣν ἃ μέν ἐστι μείζονα τῶν διαστη-. 4. οἱ ἄπυκνοι M. mg. m. 2. 7. τῶν κινουμένων μεσόπυκνοι, ὀξύπυκνοι διάτονοι M mg. m. 2. 9. παρυπάτη (pr.) Μὰ, ὑκάτη! M, 10. τρέτη (alt.)] "Ma, τῶν M'. 19. χώματι M!, sed corr. 18. χρωματική (alt. — 22. συνημμένων] om. W. 18. χρῶμα l τική (alt.)] corr. ex δίτονος Μ΄; item lin. 19. 20. οἱ δὲ epe an, ἐν δὲ διατόνῳ NB. — 21. Augavüg — 93. διάτο- vog] NB, om. M. 24. ἧ τε μεγέϑει] ἢ τὰ μεγέϑη W. — 25. Post INTRODUCTIO HARMONICA 197 hendentes systemata perfecta. ac barypyeni quidem sunt juinque hi: hypate hypaton, hypate meson, mese, para- nese, nete diezeugmenon. apyeni vero ek comprehen- entes systemata perfecta hi tres reliqui: proslambano- menos, nete synemmenon, nete hyperbolaeon. mobilium autem alii sunt mesopyeni, alii oxypyeni, alii diatoni. ae mesopyeni quidem sunt quinque hi: iparhypate hypaton, parhypate meson, trite synemmenon, drite diezeugmenon, trite hyperbolaeon. oxypyeni vero similiter secundum genus quinque, in harmonia enar- monii, in ehromate chromatici; diatonum enim spissi particeps non est. sunt igitur in harmonia hi: lichanos hypaton enarmonios, lichanos meson enarmonios, para- mete synemmenon enarmonios, paranete dieseogimenon enarmonios, paranete hyperbolaeon enarmonios. in chro- 4nate autem hi: liehanos hypaton chromatice, lichanos meson chromatice, paranete synemmenon chromatice, .paranete diezeugmenon chromatice, paranete hyper- "bolaeon chromatiee. diatoni autem hi: lichanos hy- - paton diatonos, lichanos meson diatonos, paranete synem- »menon diatonos, paranete diezeugmenon diatonos, para- nete hyperbolaeon diatonos.!) |. 9. Intervallorum differentiae sunt quinque, quatenus "magnitudine inter se differunt et quatenus genere et "quatenus consona a dissonis et quatenus composita ab -incompositis et quatenus rationalia ab irrationalibus. 80 differentia quidem seeundum magnitudinem est, se- | 1) V. quae de hoc loco corrupto diserte disputavit J. Cook - Wilson, Classical Rev. XVIII 1904, p. 388 sq. ' “γένος add. ἀλλήλων W. 26. 7] W, om. cett., item lin. 27. ᾿σύνϑετα τῶν ἀσύνϑέτων] ἀσύνϑετα τῶν συνϑέτων W. | | [^] 10 15 20 25 198 ἙΙΣΑΓΩΓῊ APMONIKH μάτων, ἃ δὲ ἐλάττονα, olov Ó(vovov, τόνος, ἡμιτόνιον διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν καὶ τὰ ὅμοια ἡ δὲ κατὰ γένος, καϑ' ἣν ἃ μέν ἐστι τῶν διαστημάτων διατονικά, ἃ δὲ χρωματιχά, ἃ δὲ ἐναρμόνια. ἡ δὲ τοῦ συμφώνου, x«9' ἣν ἃ μέν ἐστι τῶν διαστημάτων, σύμφωνα, ἃ δὲ διάφωνα. σύμφωνα μὲν οὖν ἐστι διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν καὶ τὰ ὅμοια. διάφωνα, δὲ τὰ ἐλάττονα τοῦ διὰ τεσσάρων πάντα καὶ τὰ μεταξὺ τῶν συμφώνων πάντα. ἐλάττω μὲν οὖν ἐστι τοῦ διὰ τεσσάρων δίεσις, ἡμιτόνιον, τόνος, δίτονον, μεταξὺ δὲ τῶν συμφώνων τρίτονον, τετράτονον, πεντάτονον καὶ τὰ ὅμοια. ἔστι δὲ συμφωνία μὲν κρᾶσις δύο p9óyyov, ὀξυτέρου καὶ βαρυτέρου: {διαφωνία δὲ τοὐναντίον δύο, φϑόγγων ἀμιξία», ὥστε μὴ κραϑῆναι. ἀλλὰ τραχυνϑῆναι. τὴν ἀκοήν. ἡ δὲ τοῦ συνθέτου ἐστὶ διαφορά, καϑ᾽ ἣν ἃ μέν ἐστι τῶν διαστημάτων ἀσύνθετα, ἃ δὲ σύν- ϑετα. ἀσύνϑετα μὲν οὖν διαστήματά ἐστι τὰ ὑπὸ τῶν ἑξῆς φϑόγγων περιεχόμενα, οἷον ὑπάτης καὶ παρυπάτηβ, χαὶ λιχανοῦ καὶ μέσης" ὁ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν λοι- πῶν διαστημάτων. σύνϑετα δὲ τὰ ὑπὸ τῶν μὴ ἑξῆς, οἷο, μέσης καὶ παρυπάτης, μέσης καὶ νήτης, παραμέσης καὶ ὑπάτης. ἔστι δέ τινα κοινὰ συνϑέτου καὶ ἀσυνϑέτου διαστήματα, τὰ ἀπὸ ἡμιτονίου μέχρι διτόνου. τὸ μὲν, γὰρ ἡμιτόνιόν ἐστιν ἐν ἁρμονίᾳ σύνϑετον, ἐν δὲ χρώ- ματι καὶ διατόνῳ ἀσύνθετον" ὁ τόνος ἐν μὲν χρώματι σύνϑετος, ἐν δὲ διατόνῳ ἀσύνϑετορ᾽ τὸ τριημιτόνιον ἐν μὲν χρώματι ἀσύνϑετον, ἐν δὲ διατόνῳ σύνϑετον" τὸ δίτονον ἐν μὲν ἁρμονίᾳ ἀσύνϑετον, ἐν δὲ χρώματι καὶ διατόνῳ σύνϑετον. τὰ δὲ ἐλάττω τοῦ ἡμιτονίου 1. δίτονον) διάτονον W. Post δίτονον add. τριημιτόνιον Μ΄“, τόνος] τόνος καὶ τόνος καί W. Post ἡμιτόνιον add. δίεσις Μ΄, 2. διά (ργ.}} τὰ διά W. 8. πάντα] Μ᾽, πέντε M! W. — 9. ἐλάτ- τω] ΝΒ, ἐλάττων M, ἐλάττονα W. 10. "Post τόνος add. τριημιτό- νιὸν Μ΄. 18. διαφωνία — ἀμιξία Pena, Meibom, Jan., om. codd. 14. ὥστε μή] μὴ ὥστε MW. xoc vo] ἢ καϑαρθῆναι INTRODUCTIO HARMONICA 199 "undum quam alia intervallorum sunt maiora, alia mi- B. velut ditonum, tonus, semitonium, disbbosarom, liapente, diapason sitsiliaque. differentia autem se- "x )dum genus, secundum quam alia intervallorum sunt liatoniea, alia chromatiea, alia enarmonia. differentia &utem consoni, secundum quam alia intervallorum sunt sonsona, alia dissona. consona sunt igitur diatessaron, diapente, diapason similiaque. dissona vero sunt ea, juae minora sunt quam diatessaron, omnia et ea, quae Inter consona sunt, omnia. et minora quidem sunt quam diatessaron diesis, semitonium, tonus, ditonum, inter consona autem tritonum, tetratonum, pentatonum 5]- miliaque. atque consonantia est permixtio duorum so- norum, acutioris et gravioris, dissonantia vero contrarie duorum sonorum fuga permixtionis, ita ut non miscean- t*ur atque auditus exasperetur. compositi autem est differentia, secundum quam alia intervallorum sunt in- ^eomposita, alia composita. atque incomposita sunt intervalla, quae sonis deinceps conlocatis comprehen- "duntur, velut hypate et parhypate, lichano et mese. eadem ratio est in ceteris quoque intervallis. composita |yero ea, quae sonis non deinceps conlocatis comprehen- untur, velut mese et parhypate, mese et nete, para- mese eb hypate. sunt autem communia iib dámá com- positi et incompositi intervalla, ea dico, quae a semi- nio sunt usque ad ditonum. sbtmitondum enim in har- onia est compositum, in chromate vero et diatono compositum; tonus in chromate est compositus, in jatono incompositus; triemitonium in chromate incom- ositum, in diatono compositum; ditonum in harmonia ἐχκαϑαρϑῆναι W. 18. Ante περιεχόμενα add. μή W. καί , om. MW: qne Ante μέσης insert. ὑπάτης M* 20. τῶν aj| ia W. 21. μέσης καί νήτης] om. W. 23. διτόνου] δια- τόνου 24. ἐστιν] om. W. Post ἁρμονίᾳ add. μέν W. 8. dieere] W, óí///^ovov M. E 4 10 15 20 25 200 ΕΙΣΑΓΩΓῊ APMONIKH || : 1 4 πάντα ἐστὶν ἀσύνθετα" ὁμοίως δὲ καὶ và μείζω τοῦ δι- τόνου πάντα σύνϑετα. ἡ δὲ τοῦ ῥητοῦ καὶ ἀλόγου διαφορά ἐστι, x«9' ἣν τῶν διαστημάτων ἃ μὲν ἐστι ῥητὰ, ἃ δ᾽ ἄλογα. ῥητὰ μὲν οὖν ἐστιν, ὧν οἷόν τέ ἐστι τὰ μεγέϑη ἀποδιδόναι, οἷον τόνον, ἡμιτόνιον, δίτόνον, τρίτονον xci τὰ ὅμοια: ἄλογα δὲ τὰ παραλλάττοντα ταῦτα τὰ μεγέϑη ἐπὶ τὸ μεῖξον ἢ ἐπὶ τὸ ἔλαττον ἀλόγῳ τινὶ μεγέϑει. ri 6. Γένη δέ ἐστι τρία và προειρημένα. πᾶν οὖν ἔσται μέλος ἤτοι διατονικὸν ἢ χρωματικὸν ἢ. ἐναρμόνιον ἢ κοινὸν ἢ μικτὸν ἐκ τούτων. διατονικὸν μὲν οὖν ἐστι τὸ τῇ διατονικῇ διαιρέσει χρώμενον. χρωματικὸν δὲ τὸ τῇ χρωματικῇ, ἐναρμόνιον δὲ τὸ τῇ ἐναρμονίῳ. κοινὸν δὲ τὸ ἐκ τῶν ἑστώτων συγκείμενον, μικτὸν δὲ τό, ἐν ᾧ δύο ἢ τρεῖς χαρακτῆρες γενιχοὶ ἐμφαίνονται, οἷον διατόνου καὶ χρώματος ἢ διατόνου καὶ ἁρμονίας ἢ χρώματος καὶ ἁρμονίας ἢ καὶ διατόνου καὶ χρώματος καὶ ἁρμονίας. γίνονται δὲ αἷ τῶν γενῶν διαφοραὶ παρὰ τοὺς κινου- μένους τῶν φϑόγγων᾽ κινεῖται δὲ ἡ μὲν λιχανὸς ἐν vo- νιαίῳ τόπῳ. ἡ δὲ παρυπάτη ἐν διεσιαίῳ. λιχανὸς μὲν οὖν ἔστιν ὀξυτάτη ἣ τόνον ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀπέχουσα τῶν τὸ τετράχορδον περιεχόντων, βαρυτάτη δὲ ἡ δίτονον. ὁμοίως δὲ καὶ παρυπάτη ἐστὶ βαρυτάτη μὲν ἡ δίεσιν ἀπὸ τοῦ βαρυτέρου τῶν τὸ τετράχορδον περιεχόντων ἀπέχουσα, ὀξυτάτη δὲ ἡ ἡμιτόνιον ἀπέχουσα. 1 1. Χρόα δέ ἐστι γένους εἰδικὴ διαίρεσις. χρόαι δέ εἰσιν αἵ ῥηταὶ καὶ γνώριμοι ξξ, ἁρμονίας μία, χρώματος τρεῖς, διατόνου δύο. [ H 1. ὁμοίως] ἔμπαλιν W. 7. τά — 8. τιν τῷ W. 9. ἐστι] εἶσι W. προειρημένα] seq. lac. 2.—8. litt. et deinde »“ litulo in textu: περὶ μέλους W. 14. τό (pr.)| τὸ τό W. Post ἑστώτων add. φϑόγγων W. 16. ἁρμονίας] ας in ras. M, item: lin. 17. (utrumque). 19. Post φϑόγγων add. τόπους W.. 20. διεσιαίῳ) Μ΄, δι σιαίω M, δεσίῳ W. 21. ἑτέρου] ó&vrépou: Μ΄, ἑτέρου τόνου W. 22. τετραχόρδων W. Ad teri M, item. p.202 lin. 8. 28. καί] om, W. δίεσιν — 25. ἀπέχουσα (alt. INTRODUCTIO HARMONICA 201 - ineompositum, in chromate et diatono compositum. inter- . valla vero, quae sunt hemitonio minora, omnia suni in- | eomposita; eodem modo etiam ea, quae sunt maiora . ditono, omnia composita. rationalis vero et irratio- nalis est differentia, secundum quam intervallorum alia sunt rationalia, alia irrationalia. atque rationalia sunt, | quorum magnitudines possunt iudicari, velut tonus, semitonium, ditonum, tritonum similiaque; irrationalia |! vero, quae has magnitudines sive maius sive minus ver- . sus transgrediuntur irrationali quadam magnitudine. 6. Genera autem sunt tria, quae autea nominata sunt. omne igitur melos aut diatonieum erit aut chromaticum aut enarmonium aut commune aut mixtum ex his. diatoni- eum est igitur id, quod diatonica divisione utitur, chro- . maticum id, quod chromatiea, enarmonium id, quod en- . armonia. commune vero id, quod ex stantibus est com- positum, mixtum id, in quo duo vel tres habitus generales adparent, velut diatoni et harmoniae aut chro- matis et harmoniae aut et diatoni et chromatis et harmo- niae. fiunt autem generum differentiae secundum mo- . biles sonorum. et lichanos quidem in toniaeo ambitu movetur, parhypate vero in diesiaeo. ac liehanos acutis- sima est ea quae tono abest ab altero eorum sonorum, qui tetrachordum comprehendunt, gravissima, quae ditono. eodem autem modo etiam parhypate est gravissima, quae diesi abest a graviore eorum sonorum, qui tetrachordum - eomprehendunt, acutissima vero, quae hemitonio abest. | | ] j 1. Coler autem est specialis generis divisio. colores autem sunt rationales et perceptu faciles sex, harmoniae unus, chromatis ires, diatoni duo. τοῦ βαρυτέρου τὸ τῶν τετραχόρδων περιεχόντων δίτονον &mé- χουσα, ὀξυτάτη δὲ ἡ τόνον ἀπέχουσα ἀπὸ τῶν τετραχόρδων περιεχόντων W. 20. γένους] ἡ γένους W. χρόαι] χροιαί MW, prius ; eras. M. 27. ἁρμονίας] ἡ τοῦ ἐναρμονίου γένους supra M*. 10 1ὅ 20 25 202 EIEZALTQDLIH APMONIKH ἡ μὲν οὖν τῆς ἁρμονίας τῇ αὐτοῦ τοῦ γένους διαι- ρέσει κέχρηται" μελῳδεῖται γὰρ κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν ὦ τὴν ἴσην καὶ δίτονον. £€ τῶν δὲ χρωματικῶν διαιρέσεων βαρυτάτη μέν ἐστιν ἡ τοῦ μαλακοῦ χρώματος χρόα᾽ μελῳδεῖταν δὲ κατὰ δίεσιν τριτημόριον τόνου καὶ δίεσιν τὴν ἴσην καὶ τὸ ἴσον τόνῳ καὶ τῷ ἡμίσει καὶ τρίτῳ" τὸ δὲ ἡμιόλιον κατὰ δίεσιν ἡμιόλιον τῆς ἐναρμονέου διέσεως καὶ δίεσιν τὴν ἴσην καὶ ἑπτὰ τεταρτημορίων διέσεων ἀσύνϑετον διά- στημα. τὸ δὲ τονιαῖον χρῶμα τῇ αὐτῇ τοῦ γένους χρόᾳ κέχρηται" μελῳδεῖται γὰρ κατὰ ἡμιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον. x«i τριημιτόνιον. κέκληται δὲ τὰ εἰρημένα χρώματα ἀπὸ τῶν ἐνυπαρχόντων αὐτοῖς πυκνῶν τό τε γὰρ τονιαῖον ἀπὸ τοῦ ἐνυπάρχοντος αὐτῷ κατὰ σύνϑεσιν τόνου, καὶ ἡμιόλιον ἀπὸ τῶν ἐνυπαρχουσῶν αὐτῷ διέσεων, ἡμιο- λίων τῶν ἐναρμονίων διέσεων, μαλακὸν δὲ τὸ τοῦ ἐλα- | χίστου πυχνοῦ ὡσαύτως χρῶμα, ἐπειδὴ τὸ ἐν αὐτῷ πυχ- νὸν ἀνίεταί τε καὶ ἐκλύεται. E ^ - , ' ^ , τῶν δὲ διατονικῶν διαιρέσεων τὸ uiv διάτονον ua- | λακὸν χαλεῖται, τὸ δὲ σύντονον. ἡ μὲν οὖν τοῦ μαλακοῦ διατόνου χρόα μελῳδεῖται κατὰ ἡμιτόνιον καὶ τριῶν — διέσεων ἀσύνϑετον διάστημα χαὶ πέντε διέσεων ὁμοίως ἀσύνϑετον διάστημα. ἡ δὲ τοῦ συντόνου διατόνου τῇ αὐτῇ τοῦ γένους ἐπικοινωνεῖ διαιρέσει" μελῳδεῖται γὰρ καϑ' ἡμιτόνιον καὶ τόνον καὶ τόνον. 1. αὐτοῦ] Μ', αὐτῇ M?W* διαιρέσει] NB; add. τῇ αὐτῇ Μ', καὶ αὐτή M*; διαϑέσει W. 2. Post δίεσιν (pr. add. τὸ τε- ταρτημόριον τόνου Μ΄. καὶ δίεσιν] M*?, om. M'. 8. τὴνἴσην] om. W, item lin. 8. 5. κατά] κατὰ τήν M. 6. τὸ τριτημόριον W. ἴσην —". τρίτῳ] ἡμίσειαν ἡμιτονίου τόνου τριημιτόνιον καὶ i τὸ διὰ πέντε xol τὴν ἴσην τόνῳ καὶ τὴν τετάρτην W. Post τρίτῳ add. ἀσύνθετον διάστημα Μ΄. κατὰ diea] M*W, om. M*. 9. ἡμιόλιον τῆς ἐναρμονίου διέσεως] Μ΄, om. M'W. 9. xai] Μ΄, om. M!'W. τεταρτημορίων διέσεων)] NB, διέσεων Μ', ὃ. τε- ταρτημορίων M* μὲν ἡμιτονίων W. ἀσύνθετον) σύνϑετόν ἐστι W. Post διάστημα in M litura fere 36 litterarum, τρὶς καὶ ἑπτὰ καὶ εἴκοσι καὶ ἕν add. W. 10. κέχρηται χρόᾳ W. 12. κέ- idee. Li t ND * ioi M INTRODUCTIO HARMONICA 203 atque harmoniae quidem color ipsius generis divi- sione utitur; canitur enim per diesin et aequalem diesin et ditonum. divisionum vero chromaticarum gravissima est color "ehromatis mollis; canitur autem per eam diesin, quae est toni pars tertia, et diesin aequalem et intervallum, ^quod est aequale tono et dimidio et tertiae eius parti; »sesquealterum vero chroma canitur per diesin sesque- | alteram diesis enarmoniae et diesin aequalem et inter- vallum incompositum septem diesium, quarum unaquae- ^ que est quarta pars toni. toniaeum autem chroma eodem quo genus colore utitur; canitur enim per semitonium et semitonium et triemitonium. nomina autem habent chromata, quae diximus, ex spissis, quae in iis insunt; nam et toniaeum ex tono, qui in eo inest seeundum compositionem, et sesquealterum ex diesibus, quae in eo insunt et quae sesquealterae sunt diesium enarmo- niarum, molle vero minimi spissi eodem modo chroma, quoniam spissum, quod in eo inest, et remittitur et ener- vatur. diatonicarum autem divisionum altera diatonum molle vocatur, altera syntonum. ae mollis diatoni color | eanitur per semitonium et trium diesium incomposi- !| tum intervallum et quinque diesium intervallum eodem |, modo incompositum. syntoni vero diatoni color eandem cum genere communem habet divisionem; canitur enim . per semitonium et tonum et tonum. κληνται W- 14. αὐτῷ —16 ἐλαχίστου] om. W. 14. αὐτῷ κατὰ σύνϑεσιν τόνου] NB, αὐτῷ τόνου eras. M!, rep. M* mg. et supra scr. κατὰ συνθέσεως. 15. ἐνυπαρχουσῶν] ἐνυπαρχόντων L| M*. 17. Post πυκνοῦ add. ἡμιόλιον δέ ἐστι ἐλάχιστον πυκνόν |L.W. χρῶμα] καὶ χρῶμα W — Post mvxvóv add. χρῶμα codd. ᾿ 18. ἐχλύεται] N, ἐκ Μ', λύεται add. M?, διατήκεται W. 19. τῶν δέ] M?, καὶ ἐκ τῶν W. μαλακόν] καὶ μαλακόν W. 22. ài- | écsov (pr)] διαιρέσεων W. καί] καὶ κατά W. 25. x«9] 9 in litura Μ΄. καὶ τόνον (alt)| M*W, om. Μ΄. ex 10 15 20 25 30 204 EIZALQDTH APMONIKH δείκνυνται δὲ καὶ δι’ ἀριϑμῶν «t χρόαι τὸν τρόπον τοῦτον. ὑποτίϑεται γὰρ ὃ τόνος εἰς δώδεχά τινα ἐλά- χιστα μόρια διαιρούμενος, ὧν ἕχαστον δωδεκατημόριον, τόνου καλεῖται" ἀναλόγως δὲ τῷ τόνῳ καὶ τὰ λοιπὰ διαστήματα" τὸ μὲν γὰρ ἡμιτόνιον εἰς ἕξ δωδεκατημόρ ἃ; ἡ δὲ δίεσις ἡ μὲν τεταρτημόριος εἷς τρία. ἡ δὲ τριτη- μόριος εἰς τέσσαρα, ὅλον δὲ τὸ διὰ τεσσάρων εἰς τριά- κοντα. ἡ μὲν οὖν ἁρμονία μελωδηϑήσεται κατὰ τριῶν δωδεκατημορίων μέγεϑος καὶ y καὶ xÓ, τὸ δὲ μαλακὸν χρῶμα κατὰ ὃ καὶ Ó καὶ κβ, τὸ δὲ ἡμιόλιον χρῶμα κατὰ τέτταρα ἥμισυ καὶ OC" xal κα, τὸ δὲ τονιαῖον χρῶμα κατὰ ς καὶ ς καὶ τη, τὸ δὲ μαλακὸν διάτονον κατὰ 5 καὶ θ καὶ τε. τὸ δὲ σύντονον χατὰ ς καὶ vB καὶ vf. 8. Τῶν δὲ συστημάτων διαφοραί, εἰσιν ἑπτά. τέδ-: σαρὲς μὲν αἵ αὐταὶ τοῖς διαστήμασιν, 4j τε κατὰ μέγεϑος καὶ ἡ κατὰ γένος καὶ ἡ τοῦ συμφώνου καὶ διαφώνου καλή, τοῦ ῥητοῦ καὶ ἀλόγου" τρεῖς δὲ ἴδιαι τῶν συστημάτων. διαφοραί εἰσιν, ἡ τοῦ ἑξῆς καὶ ὑπερβατοῦ καὶ ἡ τοῦ συνημ- μένου καὶ διεξευγμένου καὶ ἡ τοῦ ἀμεταβόλου καὶ ἐμ- μεταβόλου. μεγέϑει μὲν οὖν διαφέρει τὰ μείξω συστή- ματα τῶν ἐλαττόνων καϑάπερ τὸ διὰ πασῶν τοῦ voici vov ἢ διαπέντε ἢ διὰ τεσσάρων ἢ τῶν ὁμοίων. yévev. δὲ τὰ διατονικὰ τῶν ἐναρμονίων ἢ χρωματικῶν, ἢ v& χφωματικὰ ἢ ἐναρμόνια τῶν λοιπῶν. τῇ δὲ τοῦ Gvu-. póvov xal διαφώνου διοίσει và ὑπὸ τῶν συμφώνων ἷ φϑόγγων περιεχόμενα τῶν ὑπὸ διαφώνων. σύμφωνα δέ, ἐστιν ἐν τῷ ἀμεταβόλῳ συστήματι ξξ᾽ ἐλάχιστον μὲν τὸ διὰ τεσσάρων, τόνων δύο ἡμίσεος, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ ὑπάτης ὑπάτων ἐπὶ ὑπάτην μέσων δεύτερον δὲ τὸ διὰ πέντε, τόνων τριῶν ἡμίσεος, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμ- 1. καί] om. W. δι᾽ ἀριϑμῶν] B, ἀριϑμῶ!! M, ἀριϑμῷ ὙΥ. 4. τόνου] τόνου τόνος W. 6. volo] τέσσαρα W. "5. τέσσαρα] τρία W. 16. καὶ διαφώνου] Mare. 322 Lips. 95 Mon. 104, om. cett. 20. συστήματα) συστημάτων W, 92. γένει} γένη ML 23. Ante τῶν add. διαφορᾷ W. 1j (pr)] καὶ W. τά alt) -— fd towers LONE πὸ oui eL LÀ INTRODUCTIO HARMONICA 205 - designantur autem per numeros quoque colores hoe modo. nam supponitur tonus in duodecim quasdam partes minimas divisus, quarum unaquaeque duodecima pars ioni vocatur. eodem modo ac tonus cetera quoque intervalla dividuntur; semitonium enim in sex partes | duodecimas, diesis quadrantalis in tres, trientalis in "quattuor, totum diatessaron in triginta. ges harmonia "eanetur per magnitudinem trium partinzn duodecimarum οὖ trium et viginti quattuor, molle autem cehroma per |quattuor et quattuor et viginti duarum, sesquealterum "ehroma per quattuor semis et quattuor semis et viginti "unius, toniaeum chroma per sex et sex et duodeviginti, molle diatonum per sex et novem et quindecim, synto- |mmum per sex et duodecim et duodecim. .L..8. Systematum differentiae sunt septem. quattuor eaedem atque in intervallis, differentia et seeundum magni- - tudinem et secundum genus et consoni atque dissoni et "irationalis atque irrationalis; tres autem propriae syste- | [matum differentiae sunt, differaidin ordinati et praeposteri, | eoniuneti eb disiuneti, immutabils et mutabilis. 86 | magnitudine differunt maiora systemata a minoribus, | velut diapason a tritono vel a diapente vel a diatessa- ^ ron vela similibus. genere autem differunt diatonica Lab enarmoniis vel chromatieis, aut chromatica vel en- armonia a reliquis. consoni vero et dissoni differentia different ea, quae consonis sonis continentur, ab iis, quae dissonis. consona autem sunt in immutabili syste- mate sex; minimum est diatessaron, tonorum duorum semis, quale est consonum ab hypate hypaton ad hy- paten meson; secundum diapente, tonorum trium semis, L quale est a proslambonemo ad hypaten meson; tertium 94. λοιπῶν] τὸ χρῶμα καὶ τὸ ἐναρμόνιον τοῦ διτόνου W. 838. δι- οἶσει} διαφορᾷ W. 26. τῶν ὑπὸ διαφώνων] ὁμοίως διοίσει W. 238. ἡμίσεος καὶ ἡμίσεως W, item lin. 80. 10 15 20 25 206 ἙἘΙΣΑΓΩΓῊ APMONIKH cog βανομένου ἐπὶ ὑπάτην μέσων" τρίτον δὲ τὸ διὰ πασῶν, τόνων ξξ, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ μέ: σην᾽ τέταρτον δὲ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, τό- νῶν ὀχτὼ καὶ ἡμίσεος, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμβανο- μένου ἐπὶ νήτην συνημμένων ἢ παρανήτην διεξευγμένων διάτονον᾽ πέμπτον τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, τόνων ἐννέα ἡμίσεος, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ νήτην διεξευγμένων: ἕκτον τὸ δὶς διὰ πασῶν, τόνων δώδεκα, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ νήτην. ὑπερβολαίων. [τὸ δὲ συνημμένον σύστημα πρόεισι μέχρι τετάρτου συμφώνου᾽ πρῶτον γὰρ ἐν αὐτῷ τὸ διὰ τεσσάρων, δεύτερον τὸ διὰ πέντε, τρίτον τὸ διὰ πασῶν, τέταρτον τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων. ὃ ὃὲ τῆς φωνῆς τόπος αὔξεται μέχρι τοῦ ὀγδόου συμφώνου, ὅπερ ἐστὶ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων καὶ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε. διάφωνα δέ ἐστι τά τε ἐλάττω τῶν διὰ τεσσάρων καὶ μεταξὺ τῶν εἰρημένων συμφώνων πάντα. 9. Γίνεται δὲ καὶ σχήματα τοῦ αὐτοῦ μεγέϑους ἐκ τῶν αὐτῶν ἀσυνϑέτων συγκείμενα καὶ ἀριϑμοῦ, εἰ ἡ τάξις αὐτῶν ἀλλοίωσιν λάβοι ἐνυπάρχοντός τινος ἀνο- μοίου" τὰ γὰρ ἐξ ἴσων πάντων ἢ ὁμοίων σχημάτων ἀλ- λοίωσιν οὐ ποιεῖ. τοῦ μὲν οὗν διὰ τεσσάρων τρία ἐστὶν εἴδη. πρῶτον μὲν τὸ ὑπὸ βαρυπύκνων περιεχόμε- vov, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ ὑπάτης ὑπάτων ἐπὶ ὑπάτην μέσων" δεύτερον τὸ ὑπὸ μεσοπύκνων περιεχόμενον, οἷόν ἐστι, 1. kerid id Εαν ὑπάτης M, ὑπάτη W. ἢ. τόνων —3. διὰ πασῶν] om. - vov] μέσων W. 6. διάτονον — 8. Oisfevyuévov] om. W. 10. τό — 11. μέχρι] M*, om. ΜΙ. πρῶτον] M*W, πρώτων Μ'. γὰρ ἐν αὐτῷ] NB, γραφῶν M!, γὰρ αὐτῶν Μ΄, γράφε 12. δεύτερον] M*W, δευτέρων Μ', item τρέτων. 18. τέταρτον τὸ διὰ πασῶν] M*W, om. M'. διά (alt.)|] om. W. Post διὰ τεσ- σάρων Μ΄ facit signum rei omissae λυ; add. πέμπτον τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, ἕκτον τὸ δὶς διὰ πασῶν W. 14. αὔξεται) αὔξει W. 1. δὶς (utrumque) M*, om. M'W. 16. re] om. W. 4. καὶ ἡμίσεος] ἡμίσους W. 5. συνημμέ- : INTRODUCTIO HARMONICA 201 | diapason, tonorum sex, quale est a proslambomeno ad | mesen, quartum diapason et diatessaron, tonorum octo | semis, quale est a proslambomeno ad neten synemme- . non sive ad paraneten diezeugmenon diatonon; quintum diapason et diapente, tonorum novem semis, quale est ἃ proslambomeno ad neten diezeugmenon; sextum dis- diapason, tonorum duodecim, quale est a proslambo- meno ad neten hyperbolaeon. [synemmenon autem systema progreditur usque ad quartum syntonum; pri- mum enim in eo est diatessaron, secundum diapente, tertium diapason, quartum diapason et diatessaron.]*) vocis autem ambitus augetur usque ad octavum conso- num, quod est diapason et diatessaron atque disdiapa- son et diapente.) dissona vero sunt et ea, quae sunt . minora quam diatessaron, eb ea, quae sunt inter con- - sona, quae diximus, omnia. . 9. Existunt autem etiam formae eiusdem magnitudi- - nis, quae ex iisdem incompositis et eodem numero?) sunt . eompositae, si eorum ordo mutationem subeat, cum dis- | simile aliquid insit; ea enim, quae ex aequalibus omni- - bus sive similibus formis constant, mutationem non fa- ciunt. et diatessaron quidem consonantiae species sunt Ἢ tres. prima est, quae barypyenis comprehenditur, qualis ο΄ est ab hypate hypaton usque ad hypaten meson; se- 1) Lin. 10 τό — 13 διὰ τεσσάρων Ian putat interpolatoris esse, v. Mus. Gr. p. 177. 2) Lin. 15 verba δὲς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων καί super- - vacanea esse iudicat Bellermaun ad Anon. p.73, admodum suspecta sunt Wilsono l. c. p. 150sq. 3) Genetivo ἀριϑμοῦ lin. 20. suo iure offenditur Wilson l e. p. 387; secundum Aristoxenum p. 74,15 Meibom (p. 108, 16 Marquard) legi vul συγκειμένου μεγέϑ'ει καὶ Go uo. 11. τὰ μεταξύ W. — 20. συγκείμενα] Μ΄, συγκειμένων. M'. εἴ] om. M', in ras. W. 21. τάξις Μ΄. 24. ἐστίν] in ras. ὙΥ. εἴδη) εἰ — in ras. W. ὑπό] ἀπό M!W. 25. ὑπάτην μέσων) M?*, ὑπά. των W. 10 15 20 25 208 EIZAU2ITH APMONIKH τὸ ἀπὸ παρυπάτης ὑπάτων ἐπὶ παρυπάτην μέσων" vgi- vov δὲ τὸ. ὑπὸ ὀξυπύκνων περιεχόμενον, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ λιχανοῦ ὑπάτων ἐπὶ λιχανὸν μέσων. ἐν μὲν οὖν ἁρμονίᾳ καὶ χρώματι πρὸς τὴν τοῦ πυχνοῦ σχέσιν τὰ σχήματα τῶν συμφώνων λαμβάνεται, ἐν δὲ διατόνῳ ἐπὶ πυχνοῦ οὐ γίνεται" διαιρεῖται ὃὲ τὸ γένος τοῦτο elg. . ἡμιτόνια καὶ τόνους. ὑπάρχει δὲ ἐν τῇ διὰ τεσσάρων συμφωνίᾳ ἡμιτόνιον μὲν £v, τόνοι δὲ δύο ὁμοίως δὲ κἀν τῷ διὰ πέντε ἡμιτόνιον μὲν ἕν, τόνοι δὲ τρεῖς" ἐν δὲ τῷ διὰ πασῶν ἡμιτόνια μὲν δύο, τόνοι δὲ πέντε" πρὸς E τὴν τῶν ἡμιτονίων σχέσιν τὰ σχήματα ϑεωρεῖ-, ται. τοῦ οὖν διὰ τεσσάρων πρῶτον μέν ἐστιν εἶδος, οὗ τὸ ἡμιτόνιον ἐπὶ τὸ βαρὺ τῶν τόνων κεῖται, δεύτερον δέ, οὗ πρῶτον ἐπὶ τὸ ὀξὺ, τρίτον, οὗ μέσον τῶν τόνων. ἔστι δὲ καὶ ταῦτα ὁμοίως τοῖς λοιποῖς γένεσιν ἀπὸ τῶν αὐτῶν φϑόγγων ἐπὶ τοὺς αὐτούς. τοῦ δὲ διὰ πέντε τέσσαρά ἔστι σχήματα. πρῶτον μὲν τὸ ὑπὸ βαρυπύχνων περιεχόμενον, οὗ πρῶτος δ᾽ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ" ἔστι δὲ ἀπὸ ὑπάτης μέσων ἐπὶ παρα- | μέσην. δεύτερον δὲ τὸ ὑπὸ μεσοπύκνων περιεχόμενον, οὗ δεύτερος ὃ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ" ἔστιν ἀπὸ παρυπάτης μέσων ἐπὶ τρίτην διεξευγμένων. τρίτον δὲ τὲ ὑπὸ ὀξύ- - πύκνων περιεχόμενον, οὗ τρίτος ὃ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ" ἔστι δὲ ἀπὸ λιχανοῦ μέσων ἐπὶ παρανήτην διεξευγμένων. τέταρτον τὸ ὑπὸ βαρυπύκνων περιεχόμενον, οὗ πρῶτος ὃ τόνος ἐπὶ τὸ βαρύ" ἔστι δὲ ἀπὸ μέσης ἐπὶ νήτην διεξευγμένων ἢ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ ὑπάτην μέ- σων. ἐν δὲ διατόνῳ πρῶτον μέν ἐστι σχῆμα, οὗ πρῶτον 1. παρυπάτην] Μ, ὑπάτων M'W. 8. μέσων] W, μέσον Μ'. 6. δέ] an γάρ Jan. 8. τόνοι] W, τονιαῖα M. 11. πρὸς δὲ τήν] προσδέοι M!. 14, πρῶτον ἐπὶ τὸ ὀξύ] M'W, μέσον τῶν τόνων Μ΄. μέσον] B, μέσων M'W, πρῶτον ἐπὶ τὸ ὀξὺ τῶν τό- νων Μ΄. 15. ἔστι] ἔχει Μ΄. Ante γένεσιν add. τήν M* mg. 17. τοῦ] τοῦτο Μ΄. 21. ἔστιν] M!, ἔστε δέ cett, — 25. τέταρτον δέ Μ΄. πρῶτος] Jan, τέταρτος codd. 26. & τ. βαρύ] NB, om. - INTRODUCTIO HARMONICA 209 I ! zunda ea, quae mesopyenis comprehenditur, qualis est a bury paie hypaton ad parhypaten meson; tertia autem, quae oxypyenis compréhenditur, qualis ἰδὲ a Éicliano hypaton ad lichanum meson. atque in harmonia et ehromate ad rationem spissi consonorum species su- muntur, in diatono vero spissum non est; dividitur autem hoe genus in semitonia et tonos. est autem in diates- saron consonantia semitonium unum, toni duo. eadem ratione etiam in diapente semitonium unum, soni tres; jn diapason semitonia duo, toni quinque; ad semitonio- 'rum autem rationem formae considerantur. diatessaron jgitur eonsonantiae prima est species, cuius semitonium ad grave tonorum iacet; secunda, euius primum ad acu- -tum, tertia, cuius tonorum est medium.) sunt autem . hae quoque similiter reliquis generibus ab iisdem sonis ad eosdem. diapente consonantiae quattuor sunt formae. prima est, quae barypyenis comprehenditur, cuius tonus pri- | | mus iacet ad acutum; est autem a parhypate meson ad paramesen. secunda δα; quae mesopyenis comprehen- "ditur et cuius. tonus secundus ad acutum; est autem ἃ arhypate meson ad triten diezeugmenon. tertia est, quae oxypyenis comprehenditur et cuius tonus tertius δα acutum; est autem a lichano meson ad paraneten [diezeugmenon. quarta est, quae barypyenis comprehen- ditur et euius tonus primus ad grave; est autem a mese ad neten diezeugmenon sive a proslambanomeno ad D$ dran meson. in diatono vero prima est forma, 1) Lin. 12 τοῦ — 14 τόνων. hunc locum apud Meibom con- fusum primus e coniectura sanavit Boeckh, de metris Pindari p. 211. M'W, £. v. ὀξύ Μ΄. 21. προσλαμβανομένου]) — ov M W. 38. οὗ πρῶτον — p. 210 lin. 2. δεύτερον ἐπὶ τὸ ὀξύ] om. Μ΄. οὗ πρῶ- τον} mg. add. m. 1 W. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 14 10 15 20 25 30 210 EIEZADQLH APMONIKH τὸ ἡμιτόνιον ἐπὶ τὸ βαρὺ κεῖται, δεύτερον δέ, οὗ πρῶ- τον ἐπὶ τὸ ὀξύ, τρίτον, οὗ δεύτερον ἐπὶ τὸ ὀξύ, τέταρ- τον, οὗ πρῶτον ἐπὶ τὸ βαρύ. — τοῦ δὲ διὰ πασῶν εἴδη ἐστὶν ἑπτά. πρῶτον μὲν τὸ ὑπὸ βαρυπύκνων περιεχόμενον, οὗ πρῶτος ὃ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ ἔστι δὲ ἀπὸ ὑπάτης ὑπάτων ἐπὶ παραμέσην, ἐκαλεῖτο δὲ ὑπὸ τῶν ἀρχαίων μιξολύδιον. δεύτερον τὸ ὑπὸ μεσοπύκνων περιεχόμενον, οὗ δεύτε- ρος ὃ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ: ἔστι δὲ ἀπὸ παρυπάτης ὑπάτων. ἐπὶ τρίτην διεξευγμένων, ἐκαλεῖτο δὲ λύδιον. τρίτον τὸ ὑπὸ ὀξυπύκνων περιεχόμενον, οὗ τρίτος ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ' ἔστι δὲ ἀπὸ λιχανοῦ ὑπάτων ἐπὶ παρανήτην διεξευγμένων, ἐκαλεῖτο δὲ φρύγιον. τέταρτον τὸ ὑπὸ βαρυπύκνων περιεχόμενον, οὗ τέ- ταρτος ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ ἔστι δὲ ἀπὸ ὑπάτης μέσων ἐπὶ νήτην διεξευγμένων, ἐκαλεῖτο δὲ δώριον. πέμπτον τὸ ὑπὸ μεσοπύκνων περιεχόμενον, οὗ πέμ- πτος ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ᾽ ἔστι δὲ ἀπὸ παρυπάτης μέσων ἐπὶ τρίτην ὑπερβολαίων, ἐκαλεῖτο δὲ ὑπολύδιον. Éxvov τὸ ὑπὸ ὁξυπύχνων περιεχόμενον, οὗ £xrog ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ" ἔστι δὲ ἀπὸ λιχανοῦ μέσων ἐπὶ παρα- νήτην ὑπερβολαίων, ἐκαλεῖτο δὲ ὑποφρύγιον. ξβδομον τὸ ὑπὸ βαρυπύκνων περιεχόμενον, οὗ πρῶ- vog ὁ τόνος ἐπὶ τὸ βαρύ ἔστι δὲ ἀπὸ μέσης ἐπὶ νήτην ὑπερβολαίων ἢ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ μέσην, ἐκα- λεῖτο δὲ κοινὸν καὶ λοχριστὶ καὶ ὑποδώριον. ἐν δὲ διατόνῳ πρῶτον μέν ἐστιν εἶδος τὸ διὰ πασῶν, οὗ πρῶτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ, τέταρτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ ἐστι τὸ ἡμιτόνιον᾽ δεύτερον δέ, οὗ τρέτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ, πρῶτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ᾽ τρίτον δέ, οὗ δεύτερον 1. κεῖται] WB, om. cett. 8. πρῶτον] τρίτον codd., cf. p. 208 lin. 25. 6. ἔστι δέ) ἤ W. 21. ἐπί (alt.)) M*, ἤ M'W. 26. λοκριστί] W, λοκροστί M', λοκρικόν M*. καί (alt.)] om. W. 27. διατόνῳ] và ὃ. Μ᾽. εἶδός ἐστι W. 98. οὗ] οὐ M. μὲν INTRODUCTIO HARMONICA 211 »uius semitonium primum ad grave iacet, secunda, cuius primum ad acutum, tertia, cuius secundum ad acutum, quarta, cuius primum ad grave. - diapason consonantiae species sunt septem. ac prima 3st, quae barypyenis comprehenditur et cuius tonus primus est ad acutum; est autem ab hypate hypaton ad paramesen; appellabatur vero a veteribus mixolydia. - secunda est, quae mesopyenis comprehenditur et cuius lonus secundus ad acutum; est autem a parhypate hy- mo ad triten diezeugmenon; appellabatur vero 1ydia. "tertia est, quae oxypyenis comprehenditur et cuius Bins bein ad acutum; est autem a lichano hypaton ad paraneten diezenginenon: appellabatur vero phrygia. | quarta est, quae barypyenis comprehenditur et euius tonus quartus ad acutum; est ab hypate meson ad neten diezeugmenon; appellabatur vero doria. - quinta est, quae mesopyenis comprehenditur et cuius tonus quintus ad acutum; est a parhypate meson ad iriten hyperbolaeon; appellabatur vero hypolydia. |;|sexta est, quae oxypyenis comprehenditur et cuius tonus &exbus ad acutum; est, autem a lichano meson ad ferendi hyperbolaeon; appellabatur vero hypophrygia. i septima est, quae barypyenis comprehenditur et cuius tonus primus ad grave; est autem a mese ad neten hyperbolaeon sive a proslambomeno ad mesen; appella- batur vero communis et locrensis et hypodoria.!) | in diatono prima species id est diapason, cuius semi- onium primum est ad grave, quartum ad acutum; se- funda, cuius semitonium tertium ad grave, primum ad -1) Ea, quae sequuntur de genere diatono, Jan interpolatori |Eribuit; v. Mus. Gr. p. 177. im τὸ βαρύ] M*, τε καί M'W. δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ ἐστι) ἐπί M! W. δον ποίκον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ] om. M'W. 80. δέ (pr.)] 14" 212 EIXZALTQDTH APMONIKH ἐφ᾽ ἑἕκάτερα' τέταρτον δὲ οὗ πρῶτον uiv ἐπὶ τὸ βαρύ, τρίτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ" πέμπτον δέ, οὗ τέταρτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ, πρῶτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ" ἕκτον δέ, οὗ τρίτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ, δεύτερον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ: ἕβδομον δέ, οὗ ὅ δεύτερον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ, τρίτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ. ἔστι δὲ καὶ ταῦτα ἀπὸ τῶν αὐτῶν φϑόγγων ἐπὶ τοὺς αὐτούξ, καϑάπερ ἐπὶ τῆς ἁρμονίας καὶ τοῦ χρώματος, καὶ Ἵ λεῖτο τοῖς αὐτοῖς ὀνόμασι. 10. Τῇ δὲ τοῦ ῥητοῦ καὶ ἀλόγου διαφορᾷ m 10 συστήματα, ὅσα ἐκ ῥητῶν διαστημάτων σύγκειται; τῶν ἐξ ἀλόγων. ὅσα μὲν γὰρ ἐκ ῥητῶν ῥητά ἐστιν, ὅσα δὲ à ἀλόγων ἄλογα. : τῇ δὲ τοῦ ἑξῆς καὶ ὑπερβατοῦ διαφορᾷ διοίσει e ματα τὰ διὰ τῶν ἑξῆς φϑόγγων μελῳδούμενα τῶν xa 15 ὑπερβατόν. ; τῇ δὲ τοῦ συνημμένου καὶ διεξευγμένου δια: φορᾷ διοίσει συστήματα, ὅσα διὰ τῶν συνημμένων τε: τραχόρδων τὴν σύνϑεσιν ἔχει τῶν διὰ τῶν διεξευγ' μένων. ἔστι δὲ συναφὴ μὲν δύο τετραχόρδων ἕξῆς μελῳ- 20 δουμένων, ὁμοίων κατὰ σχῆμα, φϑόγγος κοινός. διάξευ: ξις δέ ἐστι δύο τετραχόρδων ἑξῆς μελῳδουμένων, ὁμοίωι κατὰ σχῆμα, τόνος ἀνὰ μέσον. εἰσὶ δὲ αἱ πᾶσαι συναφὰ τρεῖς" μέση, ὀξυτάτη, βαρυτάτη. καὶ ἔστι βαρυτάτη uà ἡ [ἐκ] τοῦ ὑπάτων καὶ μέσων τετραχόρδου" κοινὸς 25 αὐτῇ συνάπτει, φϑόγγος ὑπάτη μέσων. μέση δέ ἐστ συναφὴ ἡ τοῦ μέσων καὶ νητῶν συνημμένων᾽" κοινὸς ὃ αὐτῇ συνάπτει φϑόγγος μέση. ὀξυτάτη δέ ἐστι συναφὶ 2. τρίτον] τέταρτον W. τέταρτον μέν] πρῶτον M'W, 8. πρῶτον δέ] τέταρτον Μ', δεύτερον W. οὗ τρίτον uiv ἐπ τὸ βαρύ, δεύτερον δέ] in lit. M*. τρίτον] πρότερον W. 5. δεύ τερον] πρότερον W. βαρύ) ὀξύ M'W. τρίτον] πέμπτον M* δεύτερον W. ὀξύ] βαοῦ W. 6. καί] om. W, item Jin. 7 (alt 10. τῶν] ἡ (sic) 11. γάρ] om. W. ῥητὰ ἐκ ῥητῶ codd. 18, διοίσει] δύοις εἰς (sic) W, item lin. 17. 14. rd ins. M', om, W. τῶν (alt)] Jan., τῇ codd. 17. Ante 6vori ματα add. ὁμοίως W. DUE & W. τῶν] τῶν διέσεων ΜΙ. INTRODUCTIO HARMONICA 213 (eutum; tertia, euius semitonium secundum in utramque Li tem; quarta, euius semitonium primum ad grave, JGwertium ad acutum; quinta, cuius semitonium quartum 1d grave, primum ad acutum; sexta, cuius semitonium του απ ad grave, primum ad acutum; septima, cuius semitonium secundum ad grave, tertium ad acutum. sunt iutem etiam hae species ab iisdem sonis ad eosdem ut in harmonia et chromate appellanturque iisdem nominibus. -.10. Rationalis autem et irrationalis differentia diffe- rent gystemata, quotquot sunt ex intervallis rationalibus composita, ab 118, quae ex irrationalibus; nam quotquot ex rationalibus sunt composita, MPO sunt; quot- quot ex irrationalibus, irrationalia. continui et praeposteri differentia different ea syste- παῖδ, quae per sonos deinceps positos canuntur, ab iis, (uae seeundum praeposterum. -| eoniuncti autem οὖ disiuneti differentia different '&ystemata, quotquot per coniuncta tetrachorda compo- 'sitionem habent, ab iis, quae per disiuncta. coniunctio "est duorum tetr achordorum, quae deinceps canuntur et "Similia sunt specie, sonus communis. disiunctio vero 'st duorum tetrachordorum, quae deinceps canuntur οὐ similia sunt specie, tonus medius. sunt autem con- "sima. atque gravissima edi eus ii o tetrachordi *) ypaton et meson; communis ei contiguus est sonus Jhypate meson. media est coniunctio intervalli meson οὐ neton synemmenon; communis ei contiguus est sonus 2. 1) Lin. 24, 26 et p. 214, 1 Wilson l. c. p. 390 praefert ἡ £x; ante μέσων addit τοῦ. B rt ü τῶν τετραχόρδων W. 18. διὰ τῶν] om. MW. 22. μέσων W. - 94. éx] del. Jan. 25. αὐτῇ] M'W, αὐτά M?, item lin. 27 et p.214 lin.2. ὑπάτη — 21. peores om. W. 26. 7] Jan, ἐκ (vel y) codd., ef. lin. 24 et p. 214 lin. 1, 3. νητῶν] NB, erasum in M. 'evvquuéro»] -m Mt. 10 15 20 25 30 214 ΕΙΣΩΑΓΩΓῊ APMONIKH. ἡ τοῦ διεξευγμένων καὶ τοῦ ὑπερβολαίων" κοινὸς δὲ αὐτῇ συνάπτει φϑόγγος νήτη διεξευγμένων. διάξευξις δέ ἐστι μία ἡ τοῦ μέσων καὶ νητῶν διεξευγμένων" κοι- νὸς δὲ αὐτὰ διαξεύγνυσι τόνος ὃ μεταξὺ μέσης καὶ παρα- μέσης. τέλεια δέ ἐστι συστήματα δύο, ὧν τὸ μὲν m δι τὸ δὲ μεῖξον. καὶ ἔστι τὸ μὲν ἔλαττον κατὰ συναφὴν ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ νήτην συνημμένων. ὑπάρχει δὲ ἐν αὐτῷ τετράχορδα τρία συνημμένα τάδε: ὑπάτων μέσων συνημμένων, καὶ τόνος ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ ὑπάτην ὑπάτων: συμφώνῳ δὲ ὁρίξεται τῷ διὰ πα- σῶν καὶ διὰ τεσσάρων. τὸ δὲ μεῖξόν ἐστι κατὰ διάξευξιεν ἀπὸ προσχαῃ βανομένου ἐπὶ νήτην ὑπερβολαίων. ὑπάρχει δὲ ἐν αὐτῷ τετράχορδα μὲν τέσσαρα διὰ δυοῖν διεξευγμένα, ἀλλή: λοις δὲ συνημμένα, τό τε ὑπάτων καὶ μέσων, καὶ διξ- ξευγμένων xe ὑπερβολαίων, καὶ ἔτι τόνοι δύο, ὅ me ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ ὑπάτην ὑπάτων καὶ ὁ ἀπὸ παραμέσης ἐπὶ μέσην. συμφώνῳ δὲ διορέξεται τῷ δὶς διὰ πασῶν. ἃ πέντε δὲ ὄντων τετραχόρδων ἐν τῷ ἀμεταβόλῳ συ- στήματι, ὕπερ ἐστὶν ἐξ ἀμφοῖν τελείοιν σύνϑετον., μὲν δύο κοινά ἐστιν ἑκατέρῳ τῶν τελείων, τό τε ὑπάτωι καὶ μέσων" ἴδια δὲ τοῦ μὲν χατὰ συναφὴν τὸ νητῶν συνημμένων, τοῦ δὲ κατὰ διάξευξιν τὸ νητῶν deter vov καὶ νητῶν ὑπερβολαίων. 11. Τῇ δὲ τοῦ ἀμεταβόλου καὶ ἐμμεταβόλου διοίσει, xc) ἣν διαφέρει τὰ ἁπλᾶ συστήματα τῶν μὴ ἁπλῶν ἁπλᾶ μὲν οὖν ἐστι τὰ πρὸς μίαν μέσην ἡρμοσμένα, διπλᾶ δὲ τὰ πρὺς δύο, τριπλᾶ δὲ τὰ πρὺς τρεῖς, πολλὰ 1. ἡ] N?, ἡ ἐκ B, ἐκ Ν', 8. ἡ] ἡ ἐκ NB, ἐκ MW. νητῶν νη- in it. M* 4. αὐτά] αὐτήν W. τόνος] τόπος W. 8. ἀπὸ om. W, zo M* supra. piene] M*, νήτη Μ'. 12. συμφώνῳ -ov W. τῷ] τό W, item lin. 19. — 16. re] om. W. 19. cv INTRODUCTIO HARMONICA 215 | mese. acutissima est coniunetio tetrachordi diezeug- menon et hyperbolaeon; communis ei contiguus est ! sonus nete diezeugmenon. disiunctio vero est una, dis- iunctio tetrachordi meson et neton diezeugmenon; com- munis ea disiungit tonus, qui est inter mesen et para- ! mesen. perfecta systemata sunt duo, quorum unum minus, "alterum maius. ac minus est secundum coniunctionem ἃ proslambanomeno ad neten synemmenon. in eo autem - haec insunt tetrachorda tria coniuncta: hypaton meson ' gynemmenon, et tonus a proslambanomeno ad hypaten " hypaton; terminatur autem intervallo consono diapason | et. diatessaron. maius vero est secundum disiunetionem a proslam- ' banomeno ad neten hyperbolaeon. insunt in eo quattuor | tetrachorda, quorum bina sunt a binis disiuncta, inter se vero coniuncta, hypaton et meson, diezeugmenon et | hyperbolaeon, et praeterea duo toni, alter a proslam- "banomeno ad hypaten hypaton, alter a paramese ad »mesen. terminatur autem intervallo consono disdiapason. -. eum quinque sint tetrachorda in systemate immuta- | bili, quod est ex ambobus perfeetis compositum, duo ;eommunia sunt utrique perfecto, hypaton et meson; - propria autem systematis secundum coniunctionem neton Synemmenon, systematis vero secundum disiunctionem ᾿ neton diezeugmenon et neton hyperbolaeon. -góvo] e corr. M, συμφώνων M!. διορίξεται)] M'W, ὁρίξεται Μ΄. EB ?1. ἐμμεταβόλῳ M* 59. τελείοιν] δύο τελείων W. — 23. ἕκα.-. : τέρῳ] N, ἑκατέρων ΜΥ͂. 24. Me] add. καὶ διεξευγμένων W. -| c6] M5, τῶν M'W. 25. τό] τῶν Μ΄. 30. τρι(πλᾶ) Μ΄ in lit. 10 20 25 216 EIXALQDH APMONIKH πλάσια δὲ τὰ πρὸς πλείονας. ἔστι δὲ μέση φϑόγγου δύναμις, ᾧ συμβέβηκε κατὰ μὲν διάξευξιν ἐπὶ μὲν τ ὀξὺ τόνον ἔχειν ἀσύνϑετον ἀπαϑῆ ὕντα τοῦ e ματος, ἐπὶ δὲ τὸ βαρὺ δίτονον ἢ {τριημιτόνιον ἢ τόνον. ἀσύνϑετον" κατὰ δὲ συναφήν, ᾧ συμβαίνει τριῶν τετρα- χόρδων συνημμένων ἤτοι τοῦ μέσου ὀξυτάτῳ εἶναι, ἤτοι τοῦ ὀξυτάτου βαρυτάτῳ. ἀπὸ δὲ τῆς μέσης καὶ τῶν λοι- πῶν φϑόγγων αἴ δυνάμεις γνωρίζονται" τὸ γὰρ πῶς ἔχευν ἕκαστον αὐτῶν πρὸς τὴν μέσην φανερῶς γένεται. 12. Τόνος δὲ λέγεται τετραχῶς᾽ καὶ γὰρ ὡς φϑόγγος χαὶ ὡς διάστημα καὶ ὡς τόπος φωνῆς καὶ ὡς τάσις. ἐπὶ μὲν οὖν τοῦ φϑόγγου χρῶνται τῷ ὀνόματι οἱ λέγοντες | ἑπτάτονον τὴν φόρμιγγα, καϑάπερ Τέρπανδρος καὶ Ἴων. ὃ μὲν γάρ quow: | ἡμεῖς τοι τετράγηρυν ἀποστέρξαντες ἀοιδὰν Γ ἑπτατόνῳ φόρμιγγι νέους κελαδήσομεν ὕμνους. ὁ δὲ" * ἑνδεκάχορδε λύρα, δεκαβάμονα τάξιν ἔχοισα * * ξεν συμφωνούσας ἁρμονίας τριόδους" πρὶν μέν σ᾽ ἑπτάτονον ψάλλον δὶς τέσσαρα πάντες . Ἕλληνες σπανίαν μοῦσαν ἀειράμενοι. 4 x«l ἕτεροι δὲ οὐκ ὀλίγοι κέχρηνται. τῷ ὀνόματι" ἐπὶ δὲ τοῦ ὃ ιαστήματος, C ὅταν λέγωμεν ἀπὸ μέσης ἐπὶ παρα- μέσην τόνον εἶναι. ὁ ὃὲ ὡς τόπος φωνῆς, ὅταν λέγωμεν δώριον ; p. » 2635, ri dex igboós M, ἑνδεκαχόρδῳ W. - Ante δεκαβάμο : hab. τήν codd., primus delevit G. s tig 18. 19. ἔχοισα εἰ] ἔχοις ἀεί τάς ΜῊ (ἔχεις W) Pena, ἔχουσα τάς Meibom Berg Hiller- Crusius (Anth. lyr. 1904 p. 126), ἔχοισα εἰς Wilamowi Mittit INTRODUCTIO HARMONICA 217 "tres, multiplicia, quae ad plures. mese autem est gradus - soni, cui contigit, αὖ secundum disiunetionem ad acutum | versus tonum habeat incompositum, qui est systematis | expers), ad grave versus ditonum aut triemitonium aut tonum incompositum; secundum coniunetionem vero, . eui eontingit, ut trium tetrachordorum coniunctorum yel medii sit acutissimus vel acutissimi gravissimus. à mese ceterorum quoque sonorum gradus cognoscuntur; ut enim unus quisque eorum ad mesen se habeat, mani- festum est. 12. Tonus autem. dicitur quadrupliciter; ut sonus enim, ut intervallum, ut ambitus vocis, utque tensio. pro sono igitur hoc nomine utuntur, qui heptatonam dicunt phorminga, ut Terpander et Ion. alter enim nos, - inquit, tetratonum aspernati cantum phorminge hepta- - tona novos sonabimus hymnos. alter autem: lyra undecim chordarum, decem gradu- um ordinem habens trivias harmonias consonantes; ante quidem te pulsabant heptatonam binis tetrachordis omnes Graeci tenuem cantum tollentes. et alii non pauci hoe nomine usi sunt; pro intervallo vero, quando dicimus, a mese ad paramesen esse tonum. tonus est autem quasi locus vocis, quando dicimus 1) Wilson l. c. p. 390 Jani coniecturam ἀπαϑῆ ὄντα (lin. 8) probat; quod idem malit τῆς τῶν γενῶν διαφορᾶς pro τοῦ συστήματος, improbat; p. 389 emendationem l. 4 τριημιτόνιον ἢ τόνον superfluere arbitratur; et haec quidem recte. (Hermes 37 p. 305sq., Timotheus Perser p. 75 adn. 1), £y. εἶ Diels (Festschrift f. Gomperz p. 11), £y. τρεῖς Fr. Marx, ἔχ. τῶν (συμφωνουσῶν ἁρμονιῶν) Th. Heinach (Revue des ét. Grecques XIV p. 18). τριόδους] primus Meibom, τριώδους codd. (o in ras. m 2 W). 20. πρίν] πλήν W, πρίν supra m. 2. σ᾽] οὖν W. Μάλον W. δίς] Bergk p. 491! Jan Diels Reinaeh Fr. Marx, διά codd., Bergk p. 4683 Hiller- Crusius Wilamowitz. 24. εἶναι τόνον W. 25. τόπος ὅταν λέγωμεν φωνῆς codd. 918 ΕΙΣΩΓΩΓῊ APMONIKH E E. φρύγιον ἢ λύδιον ἢ τῶν ἄλλων τινά. εἰσὶ δὲ κατὰ Ἀριστόξενον Ly τόνοι" à ὑπερμιξολύδιος καὶ ὑπερφρύγιος καλούμενορ" : μιξολύδιοι δύο, ὀξύτερος καὶ βαρύτερος, ὧν ὁ ἐξ 6 τέρος καὶ ὑπεριάστιος καλεῖται, ὁ δὲ βαρύτερος kal ὑπερδώριος" λύδιοι δύο, ὀξύτερος καὶ βαρύτερος, ὧν ὃ βαρύτερος, καὶ αἰόλιος καλεῖται" | φρύγιοι δύο, ὀξύτερος καὶ βαρύτερος, ὧν ὃ βαρύτερος 10 x«i ἰάστιος καλεῖται" | δώριος εἷς" ἢ ὑπολύδιοι δύο, ὀξύτερος καὶ βαρύτερος, ὃς καὶ ὑπο- αιόλιος καλεῖται" ὑποφρύγιοι δύο, ὧν ὃ βαρύτερος καὶ ὑποιάστιος κα- 15 λεῖται" ὑποδώριος. τούτων ὀξύτατος μὲν ὁ ζὑπερμιξολύδιος, βαρύτατος δὲ ὃ ὑπογδώριος" οἱ δὲ ἑξῆς οἵ ἀπὸ τῶν ὀξυτάτων μέχρι, τοῦ βαρυτάτου ἡμιτόνιον ἀλλήλων ὑπερέχοντες, παράλ- 20 ληλοι δὲ δύο (τόνον, οἱ δὲ τρίτοι» τριημιτόνιον" ἀναλόγως. δὲ ἕξει καὶ ἐπὶ τῆς τῶν λοιπῶν τόνων διαστάσεως. ὃ δὲ ὑπερμιξολύδιος τοῦ ὑποδωρίου τῷ διὰ πασῶν ἔστιν ὀξύτερος. | ὁ δὲ ὡς τάσις τόνος. λέγεται, xo9' ὅ φαμὲν ὀξυ- τονεῖν τινὰ ἢ βαρυτονεῖν ἢ μέσῳ τῷ τῆς φωνῆς τόνῳ κεχρῆσϑαι. 18. Μεταβολὴ δὲ λέγεται τετραχῶς" καὶ γὰρ κατὰ γένος καὶ κατὰ σύστημα καὶ χατὰ τόνον καὶ κατὰ μελο- ποιΐαν. κατὰ μὲν οὖν γένος γένεται μεταβολή, ὅταν ἐκ 2 σι 2. τόνοι] W, om. M. 3. ὑπερφρύγιος] ὁ ὑποφρύγιος W. 4. καί] om. W. 6. ὑπεριάστιος] corr. ex ὑποιάστιος M. 6. ὑπερδώριος)] ὑποδώριος W. 7. ὧν ὁ βαρύτερος] W, ὅς Μὸ, om. Μ΄. 9. A καὶ βαρύτερος ad 12 βαρύτερος errant M'W; quae cum M* corrigeret, etiam quae praecedunt (a lin. 8 ««- λεῖται) erasit et litteris minoribus scripsit. 16. καὶ ὑπο- INTRODUCTIO HARMONICA 219 dorium vel phrygium vel lydium vel ceterorum aliquem. sunt autem secundum Aristoxenum toni tredecim: hypermixolydius, qui idem hyperphrygius appel- latur; mixolydii duo, acutior et gravior, quorum acutior etiam hyperastius appellatur, gravior etiam hyperdorius; lydii duo, aeutior et gravior, quorum gravior etiam aeolius appellatur; phrygii duo, acutior et gravior, quorum gravior etiam iastius appellatur; dorius unus; hypolydii duo, acutior et gravior, qui idem hypo- aeolius appellatur; hypophrygii duo, quorum gravior etiam hypoiastius appellatur; hypodorius. horum acutissimus est hypermixolydius, gravissimus hypodorius; toni autem deinceps ab acutissimis usque ad gravissimum sequentes inter se superant semitonio, paralleli duo tono, tertii triemitonio; similiter se habe- bit ceterorum tonorum distantia. hypermixolydius vero hypodorio consonantia diapason est acutior. ut tensio autem tonus dieitur, quatenus dicimus, aeuto tono aliquem eanere vel gravi vel medio vocis tono uti. 13. Mutatio dieitur quadrupliciter: seeundum genus enim et secundum systema et secundum tonum et se- eundum melopoeiam. ac secundum genus fit mutatio, Sieios res 17. ὑπερμιξ. — 18. ὑπο in ὑποδώριος add. Jan. gi] ἄχρι W. 19. ἡμιτονίῳ M*. ὑπερ χοντες ΝΒ, om. Law. M? corrigens renovat ἡμιτόνιον --- 20. τριημιτόνιον. 20. τόνον, οἱ δὲ τρίτοι] add. Jan. τριημιτονίῳ M*, 21. δια- τάσεως W. 22. ὑπερμιξ.) NB, Mrs ΜΙ. 28. μελω- ποιΐαν Μ'. 29. γίνεται ἡ μεταβολή W 10 15 20 25 220 EIXALQ9DUH APMONIKH διατόνου εἰς χρῶμα ἢ ἁρμονίαν, ἢ ἐκ χρώματος ἢ ἀρ- μονίας εἴς τι τῶν λοιπῶν μεταβολὴ γένηται. κατὰ σύστημα δέ, ὅταν ἐκ συναφῆς εἰς διάζξευξιν 1) ἀνάπαλιν μεταβολὴ γένηται. κατὰ τόνον δέ, ὅταν ἐκ δωρίων sig. φρύγια, ἢ ἐκ φρυγίων sig λύδια ἢ ὑπερμιξολύδια ἢ ὑποδώρια, ἢ καϑόλου ὅταν ἔχ τινος τῶν δεκατριῶν τό- vov εἴς τινα τῶν λοιπῶν μεταβολὴ γένηται. γίνονται 0 μεταβολαὶ ἀπὸ τῆς ἡμιτονιαίας ἀρξάμεναι μέχρι τοῦ διὰ πασῶν, ὧν «i μὲν κατὰ σύμφωνα γίνονται διαστή- ματα, «t δὲ κατὰ διάφωνα. τούτων δ᾽ ἐμμελεῖς μὲν αἵ τὲ χατὰ σύμφωνα γινόμενα διαστήματα καὶ ἡ τονιαία. τῶν δὲ λοιπῶν αἵ μὲν ἄσσον ἐμμελεῖς ἧττον ἢ ἐχμελεῖς, af δὲ μᾶλλον (ἀπέχουσαι μᾶλλον». ἐν ὅσαις μὲν οὖν αὐ- τῶν πλείων ἡ κοινωνία, ἐμμελέστεραί (slav), ἐν ὅσαις δὲ ἐλάττων, ἐκμελέστεραι᾽" ἐπειδὴ ἀναγκαῖον πάσῃ ueva- βολῇ κοινόν. τι ὑπάρχειν ἢ φϑόγγον ἢ διάστημα ἢ σύ- στημα. λαμβάνεται δὲ ἡ κοινωνέα xa9* ὁμοιότητα φϑόγ- yov' ὅταν γὰρ ἐπ᾽’ ἀλλήλους ἐν ταῖς μεταβολαῖς πέσω- σιν ὅμοιον φϑόγγοι κατὰ τὴν τοῦ πυκνοῦ μετοχήν, ἐμμελὴς γίνεται 3| μεταβολή, ὅταν δὲ ἀνόμοιοι, ἐχμελής.. xarà δὲ μελοποιΐαν γίνεται μεταβολή, ὅταν ἐκ διασταλτικοῦ ἤϑους εἰς συσταλτικὸν ἢ ἡσυχαστικόν, ἢ ἐξ ἡσυχαστικοῦ εἴς τι τῶν λοιπῶν 1) μεταβολὴ γένηται. ἔστι δὲ διασταλτικὸν μὲν ἦϑος μελοποιΐας, δι’ οὗ ση- μαίνεται μεγαλοπρέπεια καὶ δίαρμα ψυχῆς ἀνδρῶδες καὶ πράξεις ἡρωϊκαὶ καὶ πάϑη τούτοις οἰκεῖα. χρῆται δὲ τού- τοις μάλιστα μὲν d τραγῳδία καὶ τῶν λοιπῶν δὲ ὅσα τούτου ἔχεται τοῦ χαρακτῆρος. συσταλτιχὸν δέ, δι’ οὗ συνάγεται ἡ ψυχὴ εἷς ταπεινότητα καὶ ἄνανδρον διά- 8. ἡμιτονιαίας] Jan., ἡμιτονίας codd. ἀρξάμεναι) NB, ἀρξά- μενος videtur M'!, ἀρξαμένης M*W. 10. τούτων δ᾽ ἐμμελεῖς μέν] W, τούτων δ᾽ αἱ μὲν ἐμμ. Μ΄, τούτων ἐμμελεῖς μὲν ἢ ἐκ- μελεῖς M!, qui errat ad lin. 12. 19. ἄσσον — ij] ἧσσον W. ἧττον] om. M'. 18. ἀπέχουσαι μᾶλλον] add. Jan, πλείων] πλεῖον M!? 14. ἐν — 165. ἐκμελέστεραι] NB, om. M'W. 16. φϑόγ- INTRODUCTIO HARMONICA 221 | quando ex diatono in chroma vel harmoniam aut ex - ehromate vel harmonia in ceterorum generum aliquod fit mutatio. secundum systema autem, quando ex con- » iunetione in disiunctionem aut eontte fit mutatio. se- . eundum tonum vero, quando ex doriis in phrygia aut .ex phrygiis in lydia vel hypermixolydia vel hypodoria, , aut omnino, quando ex aliquo tredecim tonorum in ali- . quem ceterorum fit mutatio. fiunt autem mutationes ἃ | semitoniaea exorsae usque ad diapason, quarum alterae "secundum consona fiunt intervalla, alterae secundum . dissona. harum sunt concinnae et eae, quae secundum consona intervalla fiunt, et toniaea. ex ceteris propiores minus sunt eoncinnae quam ineoncinnae, remotiores magis. in quibus igitur earum communio est maior, . eae coneinniores sunt, in quibus minor, inconcinniores, - quoniam necesse est omni mutationi aliquid esse com- mune, aut sonum aut intervallum aut systema. sumitur autem communio secundum similitudinem sonorum; nam si in mutationibus similes soni alii in alios cadunt se- eundum spissi societatem, concinna fit mutatio, quando . vero dissimiles, inconcinna. secundum melopoeiam fit mutatio, quando ex more - diastaltico in systaltieoum vel hesychasticum aut ex hesychastieo in aliquem ceterorum fit mutatio. est autem ; | | : | | | diastaltieus melopoeiae mos, quo significatur magni- ficentia et virile animi robur et res heroicae et adfectus horum proprii utitur autem iis maxime tragoedia et ceterorum quaecumque sunt huie generi vicina. systal- tieus vero, quo contrahitur animus ad humilitatem et habitum viro indignum. conveniet talis status adfecti- yov| corr. ex φϑόγγων Μ΄. 20. δέ] om. Μ΄. ἐκμελής] corr. ex ἐκμελεῖς Μ΄. 22. διασταλτικοῦ] Lips.925, διαστατικοῦ Μ'Ν, διαστηματικοῦ M?. συσταλτιχόν M?, συστατικόν Μ'ΥΥ. 28. ἡσυ- χαστικοῦ) ἡσυχαστικῶν Μ'. 24. διασταλτικόν] διαστηματικόν W. 26. καὶ πάϑη καί W. ex 10 15 20 222 EIXADQDTH APMONIKH ϑεσιν. ἁρμόσει δὲ τὸ τοιοῦτον κατάστημα τοῖς ἐρωτικοῖς πάϑεσι καὶ ϑρήνοις καὶ οἴκτοις καὶ τοῖς παραπλησίοις. — ἡσυχαστικὸν δὲ ἦϑός ἐστι μελοποιΐας, ᾧ παρέπεται ἠρε- 1 μότης ψυχῆς καὶ κατάστημα ἐλευϑέριόν ve καὶ εἰρηνικόν. ἁρμόσουσι δὲ αὐτῷ ὕμνοι, παιᾶνες, ἐγκώμια, συμβουλαὶ x«i τὰ τούτοις ὅμοια. ᾿ 14, Μελοποιΐα ἐστὶ χρῆσις τῶν προειρημένων μερῶν — τῆς ἁρμονικῆς καὶ ὑποκειμένων δύναμιν ἐχόντων. δι ὧν δὲ μελοποιΐα ἐπιτελεῖται, ὃ ἐστιν ἀγωγή, πλοχή, πετ- — τεία, τονή. ἀγωγὴ μὲν οὖν ἐστιν ἡ διὰ τῶν ἑξῆς φϑόγ- — yov ὁδὸς τοῦ μέλους, πλοκὴ δὲ ἡ ἐναλλὰξ τῶν διαστη- — μάτων ϑέσις παράλληλος, πεττεία δὲ ἡ ἐφ᾽ évóg τόνου πολλάκις γινομένη πλῆξις, τονὴ δὲ ἡ ἐπὶ πλείονα χρόνον μονὴ κατὰ μίαν γινομένη προφορὰν τῆς φωνῆς. | [διάγραμμα δὲ σχῆμα ἐπίπεδον τὰς τῶν μελῳδου- μένων περιέχον δυνάμεις. δύναμις δέ ἐστι τάξις φϑόγγου ἐν συστήματι, ἢ δύ- ναμίς ἐστι τάξις φϑόγγου, δι᾽ ἧς γνωρίξομεν τῶν φϑόγ- yov ἕκαστον. μελοποιΐα δέ ἐστι χρῆσις τῶν ὑποκειμένων τῇ ἀρμο- νικῇ πραγματείᾳ πρὸς τὸ οἰκεῖον ἑκάστης ὑποϑέσεως.] οὗτος ὃ ὅρος τῆς κατὰ τὸ ἡρμοσμένον ἐστὶ πραγμα- τείας. 1, κατάστημα] fuisse vid. καταίστημα Μ'. 7. (προειρη)μέ- v(ov) in ras. M. μερῶν — 8. TIOIMONMG W, om. M'. 10. om. M!. 11. τῶν τε M. 13. γενομένη W, item lin. 14. 15. διάγραμμα — 29. πραγματείας] om. Vat. 1341, 1346. 15. δέ] insertum vid. M. μελῷδουμένων] ὁμολογουμένων '"W. 16. δυνά- ; INTRODUCTIO HARMONICA 223 bus erotieis et lamentis et miserationibus et similibus. hesychatieus vero melopoeiae mos est, quem sequitur iranquillitas animi atque status et liberalis et placidus. convenient autem ei hymni, paeanes, encomia, consilia et his similia. 14. Melopoeia est usus partium harmonicae, quae anie nominatae sunt quaeque fundamentorum vim ha- bent. formae autem, quibus melopoeia perficitur, sunt quattuor: agoge, ploce, pettia, tone. atque agoge est eantilenae per sonos deinceps positos via, ploce vero alterna intervallorum positio parallela, pettia vero per- eussio, quae in uno tono fit saepius, tone vero per- mansio, quae per longius tempus fit secundum unam grolstionem vocis. [diagramma est figura plana, gradus comprehendens sonorum, qui canuntur. . gradus est ordo soni in systemate, sive gradus est ordo soni, per quem cognoseimus unumquemque sono- rum. | melopoeia est usus eorum, quae tractationi harmoni- eae subiecta sunt, pro eo, quod est uniuscuiusque ar- gumenti proprium.] | hie est finis tractationis de compositione harmonica. ts] δύναμις Mt 17. Hoc loco erat in M titulus εἰσαγωγὴ QiLOvLX1] εὐκλείδου, sed perfossus est. ἐστι] post συστήματι ab W. 1j Υ, ἡ Ν. 21. τό] om. W. ν Ψ ISTE pau δὺς EET ES EG FRAGMENTA COLLEGIT ET DISPOSUIT J. L. HEIBERG Inter fragmenta recepi etiam lemmata Pappi ad libros, qt perierunt. sicubi ab editionibus citatis discessi, scriptu earum infra indicaui; codicum scripturas raro commemo nisi ubi eas contra editiones citatas recepi. Περὶ διαιρέσεων. | 1. Proelus Comm. in Eucl. p. 68,23sqq. (ed. Friedlein): Πολλὰ uiv oov καὶ ἄλλα τοῦ ἀνδρὸς τούτου [ Euelidis] μαϑηματικὰ συγγράμματα ϑαυμαστῆς ἀκριβείας καὶ ἐπι- στημονικῆς θεωρίας μεστά" τοιαῦτα γὰρ καὶ τὰ Ὀπτικὰ χαὶ τὰ Κατοπτρικά, τοιαῦται δὲ καὶ αἵ κατὰ μουσικὴν Ε΄ ἰὐνῶσεις, ἔτι δὲ τὸ Περὶ διαιρέσεων βιβλίον. Idem ibid. p. 144 ,188qq.: δεύτερον δὲ ἀπὸ τῆς ὁλότη- b. τελειοῦται |sc. ὁ τοῦ σχήματος λόγος] τῆς εἷς τὰ ἀνύμοια μέρη διακρινομένης, ὅϑεν δὴ καὶ αὐτὸς ἑκάστῳ àv εἰδῶν ἐπιφέρει τὸ ὅλον, καὶ τῶν σχημάτων ἕχαστον bis διάφορα αὐτῶν εἴδη τέμνεται. καὶ γὰρ ὃ κύκλος εἰς ἀνόμοια τῷ λόγῳ καὶ ἕκαστον τῶν εὐθυγράμμων διαι- ᾿ρετόν ἐστιν, ὃ χαὶ αὐτὸς ὁ Στοιχειωτὴς ἐν ταῖς Zw 'φέσεσι πραγματεύεται τὸ μὲν εἰς ὅμοια τὰ δοϑέντα σχή- Βα διαιρῶν, τὸ δὲ εἰς ἀνόμοια. Cfr. Studien über Euklid p. ϑ6βαα. sine dillio cum hoe opere Euclidis adfinitate quadam coniunetus est liber III Metricorum Heronis, sed non ita, ut inde Eu- elidea peti possint. . 2. Cod. Paris. supplement. Arab. 952,2 ed. Woepcke, Journal Asiatique, 4* série (1851) XVIII p. 233sqq.: Le traité d'Euclide sur la division. l. Diviser un triangle donné en deux parties égales pàr une ligne párallóle à à s& base. 2. Diviser un triangle donné en trois parties égales par deux lignes paralléles à sa base. 15* 10 15 20 25 10 15 20 25 30 228 FRAGMENTA 3. Diviser un triangle donné en deux parties égale par une ligne droite menée d'un point donné et situé. sur un des cótés du triangle. E! 4, Diviser un trapeze donné en deux parties égien par une ligne paralléle à sa base. 5. Et nous divisons le trapeze donné en trois parties. égales, comme nous venons de diviser le triangle, par. une eonstruetion analogue à la construetion précédente, 6. Diviser un parallélogramme en deux parties égales | par une ligne droite menée d'un point donné et situé. | sur un des cótés du parallélogramme. ; 1. Couper une partie déterminée quelconque d'un parallélogramme donné par une ligne droite menée d'un : point donné et situé sur un des cótés du parallélogramme. | 8. Diviser un trapeze donné en deux parties égales : par une ligne droite menée d'un point donné et situé | sur le cóté supérieur du trapeze. 8 9. Couper une partie déterminée d'un trapeze donné par une ligne droite menée d'un point donné et situé sur le cóté supérieur du trapeze. 10. Diviser un parallélogramme en deux parties égales | par une ligne droite menée d'un point donné en b du parallélogramme. 11. Couper une partie déterminée d'un parallóldg gramme par une ligne droite menée d'un point i: en dehors du parallélogramme. | 12. Diviser un trapeze donné en deux parties ógales par une ligne droite menée d'un point qui n'est pas situé sur le cóté supérieur de ce trapeze. Il est néces-| saire que ce point ne soit pas situé au delà du point de concours des deux cótés. 18. Couper une partie déterminée d'un trapeze donné par une ligne droite menée d'un point donné qui n'est pas situé sur le cóté supérieur de ce trapeze. ll est FRAGMENTA 229 /méeessaire que ce point ne soit pas situé au delà du point de coneours des deux eótés du trapéze. — 14. Diviser un quadrilatéere donné en deux parties égales par une ligne droite menée d'un sommet donné |. du quadrilatére. . 15. Couper une partie déterminée d'un quadrilatére - donné par une ligne menée d'un sommet donné du qua- drilatére. 16. Diviser un quadrilatere donné en deux parties égales par une ligne droite menée d'un point donné et situé sur un des cótés du quadrilatere. 17. Couper une partie déterminée d'un quadrilatere ;par une ligne droite menée d'un point donné et situé sur un des cótés du quadrilatére. 18. Appliquer à une ligne droite un rectangle égal "au reetangle contenu sous les deux droites A4 B, AC, et ' défaillant d'un carré. A E C Z B | | d | | Aprés avoir démontré ce que nous venons de dire, 81 quelqu' un dit: D'oà vient-il qu'il est impossible d'ap- 'pliquer à à la ligne AB un rectangle, tel que le rectangle LAE en EB, égal au rectangle AB en AC et défaillant d'un carré — nous disons: que cela est impossible, parce que 4B est plus grand que B.E, et AC plus grand que AE, et conséquemment le rectangle BA en AC plus grand que le rectangle A.E en EB. Done, lorsqu'on applique à la ligne AB un parallélogramme égal au rectangle 4B en AC, le rectangle AZ en ZB est. . . .") 19. Diviser un triangle donné en deux parties égales par une droite qui passe par un point donné et situé dans l'intérieur du triangle. 1) Lacunam indicauit Woepcke. 15 20 25 30 5 10 15 ?5 angle 7B en ED était égal à la moitié du rectangle 48. soit DE, et appliquons à 26 230 FRAGMENTA ^ | Que le triangle donné soit ABC, et le point donné - dans l'intérieur de ce triangle D. Nous nous proposon de faire passer par D une ligne droite qui divise 1] triangle A4.BC en deux parties égales. Menons du point D une ligne parallele à la ligne BC, laquelle un rectangle égal à la moitié du rectangle AB en BC, lequel soit TB en ED. Appliquons à la ligne T.B un parallélogramme égal au rectangle DT en BE et défaillant d'un carré. Que le rect- angle appliqué soit le rectangle BH en HT. Menons la droite ! DH et prolongeons-la jusqu'à Z. Je dis e 0 a obtenu la ligne demandée, et que le triangle 480 divisé en deux parties ΓΆΤΕΣ H BZ e& ΗΖΟΑ. Démonstration. Le 3 wx TB en BE est égal a B KZ comme ΒΖ à ED. eccl le t sd TBe 1 ED est égal au rectangle B.H en ΒΖ. Mais le rect-] en BC; et le rectangle BH en ΒΖ est au rectangle 48 en BC comme le triangle HBZ au triangle A4.BC, parce; que l'angle B est commun. Ce triangle HBZ est done la moitié du triangle ABC. Conséquemment le triangle Si, en appliquant à 7B un parallélogramme égal δὰ rectangle T.B en B.E et dont le complément est um carré, nous obtenons le rectangle 4B en AAT, nous démontront d'une maniere analogue, en menant la droite ! FRAGMENTA 231 1 AD et en la prolongeant jusquà XK, que le triangle -— ABK est la moitié du triangle ABC. Et c'est ce qu'il j! s'agissait de démontrer. - . 90. Couper une partie déterminée d'un triangle donné par une ligne droite menée d'un point donné et situé - dans l'intérieur du triangle. . Que le triangle donné soit ABC et le point donné /. dans l'intérieur de ee triangle D. Nous nous proposons ᾿ de faire passer par le point D uneligne droite qui coupe une par- tie déterminée du triangle ABC. Que la partie déterminée soit le tiers. Menons du point D une ligne paralléle à la ligne BC, laquelle soit DE, et applh- quons à D.E un rectangle égal au tiers du rectangle AB en BC. Que ce soit le rectangle BZ en - ED. Appliquons ensuite à Z.B un rectangle égal au - reetangle ZB en BE et défaillant d'un carré. Que le - rectangle appliqué soit le rectangle BH en HZ. Menons la ligne HD et prolongeons-la jusqu'à T. . . En procédant comme ci-dessus, on démontrera que le triangle H TB est le tiers du triangle 4.BC; et au moyen d'une eonstruetion analogue à celle-ci, nous divisons le triangle en des parties queleonques. Mais c'est ce qu'il s'agissait de démontrer. 21. Qu'on ait quatre lignes 4, B, C, D, et que le produit de 4 en D soit plus grand que le produit de B en C. Je dis que le rapport de A4 à P sera plus grand . que le rapport de C à D. 22. Et lorsque le produit de 4 en D est plus petit que le produit de B en C, je dis que le rapport de A à DB est plus petit que le rapport de C à D. 285 T 10 15 20 25 30 - 10 15 20 25 232 FRAGMENTA 23. Qu'on ait deux lignes droites, et sur ces droi les | les points 4, B, D, E; et que le rapport de AB à BC - EC n. D I| I l soit plus grand que le rapport de DE à EZ. Je dis que dividendo le rapport de 4C à CB sera plus grand que le rapport de DZ à ZE. 24. Et d'une maniere parfaitement analogue, je dis que lorsque le rapport de AC à CB est plus grand que le rapport de DZ à ZE, on aura componendo le rap- port de 48 à BC plus grand que le rapport de D.E à EZ. 25. Supposons encore que le rapport de AB à BC 8 € 4 | - gn onc certede i | soit plus petit: que le rapport de DE à EZ. Dividendo] le rapport de .4C à CB sera plus petit que le rapport. de DZ à ZE. 1 26. Diviser un triangle donné en deux parties égales. par une ligne droite menée d'un point donné et situé en dehors du triangle. 5 21. Couper une partie déterminée d'un triangle be une ligne droite menée d'un point donné et situé en dehors du triangle. 28. Diviser en deux parties égales une figure donnée | terminée par un arc de cercle et par deux lignes droites - qui renferment un angle donné. ἢ Que la figure donnée soit ABC terminée par l'are - BO et par les deux droites AB, AC qui renferment | l'angle BAC. Nous nous proposons de mener une ligne | droite qui divise la figure 4806 en deux parties égales. FRAGMENTA 233 Menons la droite BC et divisons-la en deux parties les au point E. Menons du point E une ligne per- jpendieulaire à à la ligne BC, laquelle soit EZ, et menons la diroife AE. Alors, parce que BE est égal à EC, la surface 5 BZE sera égale à la surface EZC, et le triangle ABE égal | p triangle A EC. Done la figure | E PB ABZE sera ógale à la figure ZCAE. Alors, si la ligne AE 10 z est le prolongement de la ligne EZ, la figure ABC sera divisée en deux parties égales ABZ E et CA EZ. Si la ligne -AE n'est pas le prolongement de la ligne Z E, nous joignons .4 et Z par une droite, et menons du point .E 15 "une ligne paralléle à la ligne 4.2, laquelle soit ET. "Enfin nous menons la droite T'Z. Je dis que la ligne TZ est celle qu'il s'agissait de trouver, et que la figure -ABC est divisée en deux parties égales, A.BZT et 20 "ZCT. ᾿ς Car, puisque les deux triangles T'ZA et EZA sont construits sur la méme base AZ et compris entre les -mémes paralléles AZ, ΤῊ, le triangle ZT.A est égal au triangle AEZ. Done, en ajoutant à tous les deux la ?5 partie commune AZ B, on aura TZBA égal à ABZE. Mai: cette derniere figure était la moitié de la figure 4 B C; conséquemment la droite Z T' est celle qu'il s'agis- sait d'obtenir, οὐ BZCA est divisé en deux parties égales ABZT, TZC. Cest ce qu'il s'agissait de démontrer. 30 | 29. Mener dans un cercle donné deux lignes paral- leles e& coupant une partie déterminée du cercle. | Que la partie soit le tiers, et le cercle ABC. Nous nous proposons de faire ce qu'on vient de dire. Construisons le cóté du triangle inserit à ee cercle. 35 Z 10 15 20 25 30 234 FRAGMENTA c Que ce soit AC. Menons les deux droites AD, DO, et faisons passer par le point D une ligne parallele à la. ligne 4C, laquelle soit D B. Menons la droite CB, di- visons l'are AC en deux par- ties égales au point E, et me- f nons du point E une droite paralléle à la ligne BC, la- quelle soit EZ. Enfin me- nons la droite 4.8. Je dis qu'on a obtenu deux lignes paralléeles ZZ, CB, coupant un tiers du eercle ABC, à savoir la figure Z BC E. Démonstration. La ligne .4C étant parallele à la ligne DB, le triangle DAC sera égal au triangle BA qu'on ajónfe à tous les deux une partie commune, à savoir le segment de cercle AEC; la figure entiere DAEC sera égale à la figure BAEC. Mais 18 E DAEC est le tiers du cercle ABC. Conséquemment 1i figure BAEC est également le tiers du cerele. Com EZ est parallele à C B, l'are EC sera égal à l'are ΒΖ; mais on avait EC égul à EA, done EA égal à ZB. Ajoutons de part et d'autre l'arc ECDB; arc entier AB sera égal à l'are entier EZ. Üonséqtiemmnient la droite AB sera égale à la droite EZ, et le segment de cer AECB sera égal au segment de cercle ECBZ. En r iranchant le segment commun 5C, il reste la figu EZBC égale à la figure BAEC. Mais la figure BAE était le tiers du cercle ABC. Donc la figure EZB est le tiers du cercle ABC. Et c'est ce quil s'agissaif de démontrer. ἢ Lorsque nous nous proposons de couper d'un cercl son quart, ou son einqui&me, ou une autre partie déter- minée, au moyen de deux lignes paralléles, nous com- d. d jt FRAGMENTA 235 |! struisons dans ce cercle le cóté du carré ou du pentagone - inscrit à ce cercle, e& nous menons, du centre aux extrémités ' de ce cóté, deux lignes droites, comme nous venons de le -faire. La construction sera analogue à ce qui précede. - 80. Diviser un triangle donné par une ligne parallele ἢ sa base en deux parties, de maniere que le rapport - de l'une des deux parties à l'autre soit égal à un rap- port donné [cfr. Hero, Metr. III 2]. 31. Diviser un triangle donné par des lignes paral- |leles à sa base en des parties qui ont entre elles des ' rapports donnés. - 82. Diviser un trapeze donné par une ligne parallele Là sa base en deux parties, de maniere que le rapport de - l'une de ces parties à l'autre soit égal à un rapport donné. . 83. Diviser un trapeze donné par des lignes paral- leles à sa base en des parties qui ont entre elles des ^.rapports donnés. tJ 84. Diviser un quadrilatere donné par une droite ᾿ menée d'un sommet donné du quadrilatére en deux par- | lies, de maniere que le rapport de l'une de ces parties ; t ! ! 3 v à l'autre soit égal à un rapport donné. 35. Diviser un quadrilatere donné par des droites menées d'un sommet donné du quadrilatéere en des par- - ties qui ont entre elles des rapports donnés. 36. Ayant résolu ce qui précéde, nous sommes en état de diviser un quadrilatéere donné suivant un rap- port donné, ou suivant des rapports donnés, par une droite, ou par des droites, menées d'un point donné et situé sur un des cótés du quadrilatére, en ayant égard aux conditions mentionnées ci-dessus. . Fin du traité Nous nous sommes borné à donner — les énoncés sans les démonstrations, parce que les dé- . monstrations sont faciles. . . Ofr. Studien über Euklid p. 14sqq. 15 25 30 10 15 20 25 236 FRAGMENTA Ψευδάρια. ὃ. Proclus Comm. in Eucl p. 10,1 sqq. (ed. Fried- lein): ᾿Επειδὴ δὲ πολλὰ φαντάζεται uiv ὡς τῆς ἀληϑείας., ἀντεχόμενα καὶ ταῖς ἐπιστημονικαῖς ἀρχαῖς ἀκολου- ϑοῦντα, φέρεται δὲ εἰς τὴν ἀπὸ τῶν ἀρχῶν πλάνην καὶ τοὺς ἐπιπολαιοτέρους ἐξαπατᾷ, μεϑόδους παραδέδωκεν, [se. Euclides] x«i τῆς τούτων διορατικῆς φρονήσεωβ, ἃς ἔχοντες γυμνάξειν μὲν δυνησόμεϑα τοὺς ἀρχομένους τῆς ϑεωρίας ταύτης πρὸς τὴν εὕρεσιν τῶν παραλογισ- μῶν, ἀνεξαπάτητοι δὲ διαμένειν. καὶ τοῦτο δὴ τὸ σύγ- γραμμα, δι’ οὗ τὴν παρασκευὴν ἡμῖν ταύτην ἐντίϑησι, Ψευδαρίων ἐπέγραψεν τρόπους τε αὐτῶν ποικίλους ἐν τάξει διαριϑμησάμενος καὶ καϑ᾽ ἕκαστον γυμνάσας ἡμῶν. τὴν διάνοιαν παντοίοις ϑεωρήμασι καὶ τῷ ψεύδει τὸ ἀληϑὲς παραϑεὶς καὶ τῇ πείρᾳ τὸν ἔλεγχον τῆς ἀπάτης. συναρμόσας. τοῦτο μὲν οὖν τὸ βιβλίον καϑαρτικόν. ἐστι καὶ γυμναστικόν. Cfr. Pseudo- Alexander siue Michael Ephesius in Aristot. Soph. Elenchos p. 16, 20 (ed. Wallies): Οὐ μόνον δὲ τοὺς μὴ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν ὡρμημένους τῆς ἐπιστήμης. ὑφ᾽ ἥν ἐστι τὸ πρόβλημα, δοκοῦντας δὲ εἶναι, ψευδεῖς ἐλέγχους φησίν, ἀλλὰ καὶ τοὺς ἐκ τῶν οἰκείων μὲν τῆς ἐπιστήμης ἀρχῶν, κατά τι δὲ παραλογιξομένους, οἷά εἰσι τὰ τοῦ Εὐκλείδου ψευδογραφήματα. Scholia | in Platonis Theaet. 191} (p. 248 ed. Hermann): ἐπειδὰν. ἡμᾶς ἐρωτᾷ περὶ τῶν ἔξω τῆς αἰσϑήσεως, εἶ δυνατὸν συστῆναι ψευδοδοξίαν. οἷον ἐπὶ τῶν παρὰ τοῖς γεωμέ- τραις καλουμένων ψευδαρίων.) οὐ γὰρ διὰ μῖξιν αἰἱ- σϑήσεως ψευδογραφοῦσιν.") 1) ψευδαριϑμῶν codd., corr. Ruhnken. ; 2) Quae de excerptis Alexandri apud Simplicium in Phys. Arist. I p. 54sq. ed. Diels (cfr. I p. 54, 11 ἐπί τινων ἐν m μετρίᾳ ψευδογραφημάτων) suspicatur Paulus Tannery Bul FRAGMENTA 231 Πορέσματα. — 4. Proclus Comm. in Eucl. p. 212,12sqq.: Τὸ ó3 πό- φισμα λέγεται μὲν καὶ ἐπὶ προβλημάτων τινῶν, oiov và Εὐκλείδῃ γεγραμμένα πορίσματα, λέγεται δὲ ἰδίως, ὅταν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ἄλλο τι συναναφανῇ ϑεώρημα “μὴ προϑεμένων ἡμῶν. ὃ καὶ διὰ τοῦτο πόρισμα κεκλή- 'χασιν ὥσπερ τι κέρδος ὃν τῆς ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως ᾿ πάρεργον. - dem ibid. p. 301,21sqq.: Ἕν τι τῶν γεωμετρικῶν ἐστιν ὀνομάτων τὸ πόρισμα. τοῦτο δὲ σημαίνει διττόν" καλοῦσι γὰρ πορίσματα, καὶ ὅσα ϑεωρήματα συγκατα- ᾿σχευάξεται ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν οἷον ἕρμαια καὶ κέρδη τῶν ξητούντων ὑπάρχοντα, καὶ ὅσα ξητεῖται μέν, εὑρέσεως δὲ χρήξει καὶ οὔτε γενέσεως μόνης οὔτε ϑεω- "ρίας ἁπλῆς. ὅτι μὲν γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἱ πρὸς τῇ ᾿ βάσει ἴσαι, ϑεωρῆσαι δεῖ, καὶ ὄντων δή vivov?) πραγ- μάτων ἐστὶν ἡ τοιαύτη γνῶσις, τὴν δὲ γωνίαν δίχα τεμεῖν ἢ τρίγωνον συστήσασϑαι ἢ ἀφελεῖν ἢ προσϑέ- 1 69a,?), ταῦτα πάντα ποίησίν τινος ἀπαιτεῖ" τοῦ δὲ δο- - G£vrog κύχλου τὸ κέντρον εὑρεῖν ἢ δύο δοϑέντων συμ- μέτρων μεγεϑῶν τὸ μέγιστον καὶ κοινὸν μέτρον εὑρεῖν ᾿ ἢ ὅσα τοιάδε μεταξύ πώς ἐστι προβλημάτων καὶ ϑεωρη- L μάτων. οὔτε γὰρ γενέσεις siolv ἐν τούτοις τῶν ξητου- | μένων. ἀλλ᾽ εὑρέσεις, οὔτε ϑεωρία ψιλή᾽ δεῖ γὰρ ὑπ᾽ ὄψιν ἀγαγεῖν καὶ πρὸ ὀμμάτων ποιήσασϑαι τὸ ξητού- u&vov. τοιαῦτα ἄρα ἐστὶν καί, ὅσα Εὐκλείδης πορίσματα γέγραφε y βιβλία Πορισμάτων συντάξας. ἀλλὰ περὶ μὲν τῶν τοιούτων πορισμάτων παρείσϑω λέγειν. . gc. math. 2* série VI p. 147, ut sunt ueri similia, ita non tam certa esse existimo, ut excerpta illa inter fragmenta operis Euclidiani recipere audeam. 1) τινων] τῶν codd. 2) προσϑέσϑαι) ϑέσϑαι codd. 10 15 20 25 288 FRAGMENTA Cfr. scholia in Eucl.I nr. 61 et 62 (V p. 144, on. | p. 146, 19 sqq.).") 5. Pappus Zvvay. VII 3 p. 636, 18sqq. (ed. Hultse: Τῶν δὲ προειρημένων τοῦ &vaAvouévov βιβλίων ἡ τ ὅ Eug ἐστὶν τοιαύτη: Εὐκλείδου Ζ᾽εδομένων βιβλίον ἃ, Ἀπολλωνίου 4óyov ἀποτομῆς B, Χωρίου ἀποτομῆς B, . Διωρισμένης τομῆς δύο, Ἐπαφῶν δύο, Εὐκλείδου Πορισ- μάτων τρία κτλ. Idem ibid. 1118 p. 648, 18sqq.: 10 Μετὰ δὲ τὰς ᾿Επαφὰς ἐν τρισὶ βιβλίοις Πορίαματας ἐστιν Εὐκλείδου, πολλοῖς ἄϑροισμα φιλοτεχνότατον sig. τὴν ἀνάλυσιν τῶν ἐμβριϑεστέρων προβλημάτων, καὶ τῶν γενῶν ἀπερέληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆϑος οὐ- δὲν προστεϑείχασι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσι πρώ- 15 του. χωρὶς εἰ μή τινες τῶν πρὸ ἡμῶν ἀπειρόκαλοι. δευτέρας γραφὰς ὀλίγοις αὐτῶν παρατεϑείκασιν Éxd- στου μὲν πλῆϑος ὡρισμένον ἔχοντος ἀποδείξεων. ὡς ἐδείξαμεν, τοῦ δ᾽ Εὐκλείδου μίαν ἑκάστου ϑέντος τὴν μάλιστά zog ἐμφαίνουσαν. ταῦτα δὲ λεπτὴν καὶ φυσι: 40 χὴν ἔχει ϑεωρίαν καὶ ἀναγκαίαν καὶ καϑολικωτέραν καὶ τοῖς δυναμένοις ὁρᾶν καὶ πορίζειν ἐπιτερπῆ. ἅπαντα, δὲ αὐτῶν τὰ εἴδη οὔτε ϑεωρημάτων ἐστὶν οὔτε προ- βλημάτων, ἀλλὰ μέσον πῶς τούτων ἐχούσης ἰδέας, ὥστε, τὰς προτάσεις αὐτῶν δύνασθαι σχηματίζεσϑαι ἢ M E ES 1) Hine confirmatur scriptura βιβλία Πορισμάτων (προβλη-᾿ μάτων codd. Procli) ἃ. V p. 144,25; 146,34. sed γέγραφεν prog γέγραφε ,γ΄ cum codd. Proeli habuerunt scholiastae. 11. πολλοῖς] del. Hultsch. 12. καὶ] del. Hultsch. 13. οὐδὲν], et sqq. ad ἐπιτερπῆ lin. 21 del. Hultsch. 18. ἑκάστου] ἑκάστοτε, Hultsch. 19. πως ἐμφαίνουσαν] ᾿ἀπεμφαίνουσαν cod., ὑπεμφαί- νουσαν Halley, Hultsch. 93. ὥστε — Υ. 389,1 προβιημάτω»], del. Hultsch. il FRAGMENTA 239 θεωρημάτων ἢ ὡς προβλημάτων, παρ᾽ 0 καὶ συμβέβηκε τῶν πολλῶν γεωμετρῶν τοὺς μὲν ὑπολαμβάνειν αὐτὰ ναι τῷ γένει ϑεωρήματα τοὺς δὲ προβλήματα ἀποβλέ- τοντας εἷς τὸ σχῆμα μόνον τῆς προτάσεως. τὴν δὲ δια- ρορὰν τῶν τριῶν τούτων ὅτι βέλτιον ἤδεσαν οἵ ἀρχαῖοι, δῆλον ἐκ τῶν ὅρων. ἔφασαν γὰρ ϑεώρημα μὲν εἶναι τὸ προτεινόμενον εἰς ἀπόδειξιν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πρόβλημα δὲ τὸ προβαλλόμενον εἰς κατασκευὴν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πόρισμα δὲ τὸ προτεινόμενον εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου. μετεγράφη δὲ οὗ- og ὁ τοῦ πορίσματος ὅρος ὑπὸ τῶν νεωτέρων ui δυ- neo ἅπαντα πορίζειν, ἀλλὰ συγχρωμένων τοῖς στοι- χείοις τούτοις καὶ δεικχνύντων αὐτὸ μόνον τοῦϑ᾽, ὅτι ἔστι τὸ ξητούμενον. μὴ ποριξζόντων δὲ τοῦτο καὶ ἐλεγχο- μένων ὑπὸ τοῦ ὅρου καὶ τῶν διδασκομένων. ἔγραψαν δ ἀπὸ συμβεβηκότος οὕτως πόρισμά ἔστιν τὸ λεῖπον ὑποϑέσει τοπικοῦ ϑεωρήματος. τούτου δὲ τοῦ γένους ὧν πορισμάτων εἶδός ἐστιν οἱ τόποι καὶ πλεονάζουσιν ἐν τῷ ἀναλυομένῳ᾽ κεχωρισμένον δὲ τῶν πορισμάτων ἤϑροισται καὶ ἐπιγράφεται καὶ παραδέδοται διὰ τὸ πο- ὄχυτον εἶναι μᾶλλον τῶν ἄλλων εἰδῶν [τῶν γοῦν τό- Gov ἐστὶν & μὲν ἐπιπέδων ἃ δὲ στερεῶν ἃ δὲ γραμμι- χῶν καὶ ἔτι τῶν πρὸς μεσότητας]. συμβέβηκε δὲ καὶ “Τοῦτο τοῖς πορίσμασιν τὰς προτάσεις ἔχειν ἐπιτετμη- νας διὰ τὴν σκολιότητα πολλῶν συνήϑως συνυπα- χουομένων᾽ ὥστε πολλοὺς τῶν γεωμετρῶν ἐπὶ μέρους ἐχδέχεσϑαι. τὰ δὲ ἀναγκαιότερα ἀγνοεῖν τῶν σημαινομέ- νων. περιλαβεῖν δὲ πολλὰ μιᾷ προτάσει ἥκιστα δυνατὸν ἐν τούτοις διὰ τὸ καὶ αὐτὸν Εὐκλείδην οὐ πολλὰ ἐξ 10. μετεγράφη — 38. μεσότητας] del. Hultsch. 28. περι- priv — Ῥ. 340, 8 πλῆϑος] del. Hultsch. χάστου εἴδους τεϑεικέναι, ἀλλὰ δείγματος ἕνεκα ἐκ τῆς 1ὅ 2ὅ 80 e 10 15 20 25 240 FRAGMENTA πολυπληϑείας ἕν ἢ ὀλίγα. πρὸς ἀρχῇ δὲ ὅμως τοῦ πρὰ του βιβλίου τέϑεικεν ὁμοειδῆ τινα ἐκείνου τοῦ δαψι- λεστέρου εἴδους τῶν τόπων ὡς t τὸ πλῆϑος. διὸ καὶ πὲ γι- λαβεῖν ταύτας μιᾷ προτάσει ἐνδεχόμενον εὑρόντες oU- τως ἐγράψαμεν" ἐὰν ὑπτίου ἢ παρυπτίου τρία τὰ ἐπὶ uu σημεῖα ἢ παραλλήλου τῆς ἑτέρας τὰ δύο δεδομένα T, δὲ λοιπὰ πλὴν ἑνὸς ἅπτηται ϑέσει δεδομένης εὐϑείας, καὶ τοῦϑ'᾽ ἅψεται ϑέσει δεδομένης εὐθείας. τοῦτ᾽ ἐπὶ τεσσά: ρῶν μὲν εὐθειῶν εἴρηται μόνων, ὧν οὐ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου εἰσίν, ἀγνοεῖται δὲ ἐπὶ παντὸς τοῦ προτεινομένου πλήϑους ἀληϑὲς ὑπάρχον οὕτως λε- γόμενον ... τὸν δὲ Στοιχειωτὴν οὐκ εἰκὸς ἀγνοῆσαι τοῦτο, τὴν δ᾽ ἀρχὴν μόνην τάξαι. καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν πορισμάτων φαένεται ἀρχὰς καὶ σπέρματα μόνα πλήϑει πολλῶν καὶ μεγάλων καταβεβλημένος. ὧν τὰ γένη οὐ χατὰ τὰς τῶν ὑποϑέσεων διαφορὰς διαστέλ- λευν δεῖ, ἀλλὰ κατὰ τὰς τῶν συμβεβηκότων καὶ ξητου- μένων. αἱ μὲν γὰρ ὑποϑέσεις ἅπασαι διαφέρουσιν ἀλλή: λων εἰδικώταται οὖσαι, τῶν δὲ συμβαινόντων καὶ ξή- τουμένων ἕκαστον ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ὃν πολλαῖς ὑποϑέσεσι διαφόροις συμβέβηκε. ποιητέον οὖν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ ταῦτα τὰ γένη τῶν ἐν ταῖς προτάσεσι ξητου- μένων" ἐν ἀρχῇ μὲν τοῦ βιβλίου διάγραμμα τοῦτο — — ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων πρὸς ϑέσει δεδομέ τῶι ταῦτα γένη cod., συμβέβηκε διαιρεῖσϑαι Hultsch. 28, ιβλίου] ξ΄ cod., Hultsch. FRAGMENTA 241 j δεδομένης εὐθείας πρὸς τῷ ἐπ᾽ αὐτῆς δεδομένῳ σημείῳ. ᾿ἀποτεμεῖ καὶ ἣ ἑτέρα ἀπὸ ἑτέρας λόγον ἔχουσαν Óo- | dévva* ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς" L ὅτι τόδε τὸ σημεῖον ἅπτεται ϑέσει δεδομένης εὐὖ- ἢ ϑείας. - IL ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς τήνδε δοϑείς. Π]. ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς ἀποτομήν. IV. ὅτι ἥδε ϑέσει δεδομένη ἐστίν. V. ὅτι ἥδε ἐπὶ δοϑὲν νεύει. ΤΠ VI ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως Óo- ϑέντος. VIL. ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε κατηγμένην. - A VIII. ὅτι λόγος τοῦδε τοῦ χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ δοϑείσης ᾿ καὶ τῆσδε. ΙΧ. ὅτι τοῦδε τοῦ χωρίου ὃ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν. X. ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετά τινος χωρίου δὸο- Ἢ ϑέν ἐστιν, ἐχεῖνο δὲ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν. XL ὅτι 4, μεϑ᾽ ἧς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα, λόγον ἔχει πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοϑέντος. XIL ὅτι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆσδε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοϑέντος. | XIIL ὅτι λόγος τῆσδε καὶ τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ξἕως δοϑέντος. XIV. ὅτι ἥδε ἀποτέμνει ἀπὸ ϑέσει δεδομένων δοϑὲν περιεχούσας. Ἔν δὲ τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ ὑποϑέσεις μὲν ἕτεραι, τῶν δὲ ξητουμένων τὰ μὲν πλείονα τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῷ πρώ- τῷ βιβλίῳ, περισσὰ δὲ ταῦτα" μέν τι δοϑέν ἐστιν, ὃ δὲ 18. δοϑέν] δοϑέντος cod., Hultsch. 20. ἡ] ἥδε cod., del. Hultsch. 22. δοϑείσης] δοθέντι cod.; δοθέντος Halley, . Hultsch. 2328. δοϑείσης] δοϑέντι cod.; δοϑέντος Halley, Hultsch. Euclides, edd. Heiberg et Mengo. VIII. 16 1C 18 2€ 2t 3C b ὐρώκ ον i ii ign mobs ἀποτομήν. 10 15 20 25 242 FRAGMENTA XV. ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετὰ δοϑέντος Aóy ᾿ ἔχει πρὸς ἀποτομήν. ε XVI ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς ἀποτομήν. : XVIL ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε κα καὶ τῆς, dco ἣν ἥδε λόγον ἔχει eA καὶ τὸ Oz τῆσδε καὶ τῆς, πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα, λόγο; ἔχει πρὸς ἀποτομήν. XIX. ὅτε λόγος συναμφοτέρου πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ξως δοϑέντος. " XX. ὅτι δοϑὲν τὸ ὑπὸ τῶνδε. jd Ἔν δὲ τῷ τρίτῳ βιβλίῳ αἱ μὲν πλείονες ὑποϑέσεις ἐπὶ ἡμικυκλίων εἰσίν, ὀλίγαι δὲ ἐπὶ κύκλου καὶ τμημάτων, ἧ τῶν δὲ ξητουμένων τὰ μὲν πολλὰ παραπλήσια τοῖς ἔμ- προσϑεν, περισσὰ δὲ ταῦτα" n XXL ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὺς τὸ ὑπὸ τῶνδε. . XXIL. ὅτι λόγος τοῦ ἀπὸ τῆσδε πρὸς ἀποτομήν. ] XXIIL ὅτι τὸ ὑπὸ τῶνδε τῷ ὑπὸ δοϑείσης καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοϑέντος. | XXIV. ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσδε τῷ ὑπὸ δοϑείσης καὶ ἀπο-. λαμβανομένης ὑπὸ καϑέτου ἕως δοϑέντος. XXV. ὅτι συναμφότερος ἥδε καὶ πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα λόγον ἔχει Lok ἀποτομήν. XXVL ὅτι ἔστιν τι δοϑὲν σημεῖον, ἀφ᾽ οὗ αἱ ἐπι- ξευγνύμεναι ἐπὶ τούσδε δοϑὲν περιέξουσι τῷ εἴδει τρί- yovov. | XXVII. ὅτι ἔστιν τι δοϑὲν σημεῖον, ἀφ᾽ oo αἱ ἐπι- | ξευγνύμεναι ἐπὶ τόνδε ἴσας ἀπολαμβάνουσι περιφερείας. | 11. δοϑέντος͵] δοϑέντος ἀποτομήν suspicatur Hultsch. D 15. παραπλήσια] παραπλησίως cod., Hultsch. ᾿ FRAGMENTA 243 W XXVIII ὅτι ἥδε ἤτοι παρὰ ϑέσει ἐστὴν ἢ μετά τινος εὐθείας ἐπὶ δοϑὲν νευούσης δοθεῖσαν περιέχει yo- É ᾿ ψίαν. ᾿ ἔχει δὲ τὰ τρία βιβλία τῶν Πορισμάτων λήμματα λη, αὐτὰ δὲ ϑεωρημάτων ἐστὶν goa. ΡΒ hoe loco cfr. Studien über Eukl p. 64 sqq. (p. 12 sqq. — 6. Pappus Zvv«y. VII 193 p. 866, 1 sqq. CuTe EFT Eg Eggs Lemmata ad Porismata. | Πορισμάτων c B y. Τοῦ πρώτου sig τὸ πρῶτον πόριδσμα. ᾿ς α΄, Ἔστω καταγραφὴ ἡ 48 ΓΖ4 ΕΖΗ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ | à AZ πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ 5 AA πρὸς τὴν A1, καὶ ἐπε- ξεύχϑω ἡ ΘΚ ὅτι παράλ- ληλός ἐότιν ἡ ΘΚ τῇ AT. ἤχϑω διὰ τοῦ Z τῇ ΒΖ E παράλληλος ἡ ZA. ἐπεὶ οὖν ἐστιν. ὡς ἡ AZ πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ Az ZN la H πρὸς τὴν ZI, ἀνάπαλιν καὶ συνϑέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν. ὡς ἡ 21A πρὸς τὴν 4Ζ, τουτ- ἕστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν A, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν A H* παρ- RORDBCCUTeE "ES K e E. 1. ,ἤδε ἤτοι] Hultsch in indice s. v. παράϑεσις, ἡδεντοι cod., ἥδε ἤτοι ἐν Halley. 16* 10 15 20 25 10 15 20 25 244 FRAGMENTA ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AH τῇ ΒΓ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν BA, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν OH. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν BA, οὕτως ἐν παραλ- λήλῳ ἡ EK πρὸς τὴν KZ: καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν KZ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα, deriv ἡ OK τῇ AI. | Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως" ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ AZ πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ 44 πρὸς τὴν A41, ἀνάπαλξι ἐστιν, ὡς ἡ HZ πρὸς τὴν ZA, οὕτως ἡ I4 πρὸς "im 214. συνϑέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ᾿ἀναστρέψαντί ἐστιν, ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν AZ, οὕτως ἡ ADT πρὸς τὴν ΓΗ. ἀλλ᾽ ὃ μὲν τῆς 44 πρὸς iw AZ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς AB πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ δὲ τῆς AT' πρὸς τὴν ΓΗ͂ ἔκ τε τοῦ τῆς 4 B πρὸς τὴν BE καὶ τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ: ὃ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τὲ τοῦ, ὃν ἔχει ἣ AB πρὸς τὴν BE, καὶ ἡ EK πρὸς τὴν ΚΖ, ὃ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔχ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ 48 πρὸς τὴν BE, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν OH. καὶ κοι- νὸς ἐχκεχρούσϑω ὁ τῆς 4B πρὺς τὴν ΒΕ λόγος" λοιπὸν ἄρα ὃ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ AT. 3 x l Eig τὸ δεύτερον πόρισμα. p. Καταγραφὴ ἡ ABIAEZHO, ἔστω δὲ seeds ἡ AZ τῇ 4B, ὡς δὲ ἡ AE πρὸς τὴν EZ, οὕτως ἡ πρὸς τὴν HZ- ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, K, Z. ἤχϑω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν AE ἡ HA, καὶ ἐπιξευχ- ϑεῖσα ἡ OK ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ 4. ἐπεὶ οὖν ἐστιν. ὡς ἡ AE πρὸς τὴν EZ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν HZ, ἐναλλάξ ἐστιν. ὡς ἡ AE πρὸς τὴν TH, 2. ἡ ἘΘ — 8. παραλλήλῳ] addidi, om. cod., ἡ EK πρὸς τὴν ΚΖ καὶ ἡ EO πρὸς τὴν OH: καὶ ὡς ἄρα κτλ. Hultsch cum Commandino. 19. 48 — 14. τοῦ τῆς] addidi; om. cod., Hultsch. " 41 FRAGMENTA 245 3 ἢ - [i οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν ZH. ὡς δὲ ἡ AE πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν HA: καὶ ὡς ἀρὰ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν |: 4 Β E L NNNM WATERS. TCR Φῷ 4 E 1. H Z ZH, οὕτως ἡ EO πρὸς τὴν HA. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ HA: εὐϑεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν O, 4, Z- ὕπερ ἔδει δεῖξαι. γ΄. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς 48, IA, 244 διήχϑωσαν δύο εὐϑεῖαι el OE, ΘΖ" ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ. ΖΦ Γπρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖ. ΒΓ. ἤχϑω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΙΓΑ͂ παράλληλος ἡ KA, καὶ αἱ 414, AB συμ- πιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ K, 4 σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ 4 τῇ 2.4 παράλλη- Àoe ἡ 4M καὶ συμπιπτέ- vo τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ M. 2. Post ΗΜ add. καὶ ἐναλλὰξ διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο in ras, cOd., διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο καὶ ἐναλλάξ Hultsch; ego delere malui ut duo glossemata prauo ordine in textum illata. 4. Post Z add. τουτέστιν ἡ διὰ τῶν O K Z Hultsch. ὅ. ὅπερ ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ OE, 10 1ὅ 10 15 20 25 30 246 FRAGMENTA ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ἡ EZ πρὸς τὴν ZA, οὕτως. ΕΘ πρὸς τὴν O4, ὡς δὲ ἡ AZ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ 64 πρὸς τὴν ΘΜ’ καὶ γὰρ ἡ ΘΚ πρὸς τὴν OH dv παραλλήλῳ" δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ζ οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ. ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν EZ, ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν EZ, ΘΗ͂᾽ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν EG, HZ. πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν EZ, HO, οὕτωρ τὸ ὑπὸ EZ, ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ EZ, ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ. τουτέστιν ἡ 40 πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καί, ὡς j ΚΘ “ τὴν 6 A, οὕτως τὸ ὑπὸ 671, ΒΓ πρὸς - τὸ ὑπὸ 98. If ἀνάπαλιν ἄρα γί- νεται, ὡς ἡ Θπρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ O4, BI. ὡς δὲ ἡ 4Θ πρὸς τὴν OK, οὕτως ἐδείχϑη τὸ ὑπὸ ΕΘ. ΗΖ πρὸς τὸ j| ὑπὸ EZ, HO καὶ 4 BM Tr 4 E 2 ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ EG, HZ πρὸς τὸ ὑπὸ EZ, ΗΘ. e τὸ ὑπὸ OB, I4 πρὸς τὸ ὑπὸ O4, ΒΓ. ᾷ Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως" ἀκεὶ ὃ τοῦ ὑπὸ GE, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ συνῆπται λόγος ἔχ τε τοῦ, ὃν ἊΝ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἣ ZH πρὸς τὴν ΗΘ. καί ἐστιν, ὡς μὲν ἡ OE πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΘΑ͂ πρὸς 3 τὴν ZA, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὺς τὴν HO, οὕτως ἡ ZA πρὸ ^ k n id ἔδει δεῖξαι] o cod., ὅπερ:.. Hultsch cum aliis. p. 245, 18 ἡ AM καὶ] Mpedgmer διαχϑεῖσα ἡ 4M** Hultsch. 9. ἐν παρ- αλλήλῳ)] h. e. quia inter duas parallelas sunt, ἃ. Hultsch i ind. s. u. παράλληλος. 26. ὁ] om. cod., Hultseh. FRAGMENTA 241 “τὴν OK, το ἄρα ὑπὸ OE, ΗΖ προς το ὑπὸ ΘΗ, EZ συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΑ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ Ζ4 πρὸς τὴν ΘΚ. ὃ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΖ πρὸς τὴν Z.A καὶ τοῦ τῆς ZA πρὸς τὴν ΘΚ ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΑ πρὸς τὴν ΘΚ' ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ O0 E, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ. ZE, οὕτως ἡ Θ΄ πρὸς τὴν - OK. διὰ ταὐτὰ καί, ὡς τὸ ὑπὸ Oz, ΒΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ. I4, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν 64. καὶ ἀνά- ᾿ “αλίν ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ OB, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ OA, BI, οὕτως ἡ 0.4 πρὸς τὴν ΘΚ. ἦν δὲ καί, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν - OE, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ, οὕτως ἡ 94 πρὸς τὴν OK: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν OE, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ. οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ4 πρὸς τὸ ὑπὸ 94, ΒΓ 0. Καταγραφὴ ἡ ABIAEZHOKA, ἔστω δέ. ὡς τὸ ὑπὸ AZ, ΒΙΓ πρὸς τὸ ὑπὸ AB, ΓΖ. οὕτως τὸ ὑπὸ σφ pue ronem AZ, AE πρὸς τὸ ὑπὸ A441, ΕΖ ὅτι εὐϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν O, H, Z σημείων. ἐπεί ἐστιν. ὡς τὸ ὑπὸ AZ, BI' πρὸς τὸ ὑπὸ AB, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ AZ, 4Ε πρὸς τὸ ὑπὸ 44, EZ, ἐναλλάξ ἐστιν. ὡς τὸ ὑπὸ AZ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ AZ, ΖΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν 4Ε, οὕτως τὸ ὑπὸ AB, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ 44, ΕΖ. ἀλλ᾽ ὃ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν 4E συνῆπται λόγος. ἐὰν διὰ τοῦ K τῇ AZ παράλληλος ἀχϑῆῇ ἡ ΚΜ, ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὺς KM καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς AE, ὁ 0$ τοῦ ὑπὸ 48, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ AZ, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς 44 xol τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν AE. κοινὸς ἐκκεκρούσϑω ὁ τῆς B.A πρὸς 44 ὃ αὐτὸς àv τῷ τῆς NK πρὸς ΚΑΜ' λοιπὸν ἄρα ὃ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τὲ τοῦ τῆς BI' πρὸς τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΙΓ πρὸς τὴν KO, καὶ τοῦ τῆς KM πρὸς τὴν 4E, τουτέστιν τοῦ τῆς KH πρὸς τὴν HE. εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν O, H, Ζ. 10 15 20 25 3C 10 1ὅ 20 248 FRAGMENTA ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ E τῇ ΘΙ παράλληλον ἀγάγω τὴ ΕΞ. καὶ ἐπιξευχϑεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληϑῇ ἐπὶ τὸ E, ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν HE λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ. ὃ δὲ συνημμένος &x τε τοῦ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς 0 K πρὸς τὴν ΕΞ μεταβαλλόμενος εἷς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον. καὶ ὁ τῆς ΓΖ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ παραλ- λήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ EA- εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν O, S, Z' τοῦτο γὰρ φανερόν" ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν — 0, H, Z εὐϑεῖά ἐστιν. ε΄ Ἐὰν ἡ ἧ καταγραφὴ ἡ ABIAEZHO, γίνεται. ésl 5 d πρὸς τὴν AT, οὕτως ἡ 48 πρὸς n BI. ἔστω οὖν, ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν AI, οὕτως 7 AB πρὸς τὴν ᾿ ΒΙΓ' ὅτι εὐθεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν A, H, Θ. ἤχϑω διὰ τοῦ Η τῇ 44] παράλληλος ἡ KA. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν AT, οὕτως ἡ AB πρὸς τὴν BI, ἀλλ ὡς μὲν ἡ 44 πρὸς τὴν AT, οὕτως ἡ ΚΑ΄ πρὸς τὴν A4 H, ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν BI, οὕτως ἡ KH - πρὸς τὴν H M, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΑ πρὸς τὴν AH, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν H M, καὶ λοιπὴ ἡ H.A πρὸς λοιπὴν τὴν AM ἐστιν, ὡς ἡ KA πρὸς τὴν AH, τουτέστιν ὡς ἡ 44 2. ἐπιξζευχϑεῖσα ἡ OH] ἐπιξευχϑείσης τῆς 6 H cod., αὐοὰ — retineri potest. 5. μεταβάλλεται Hultsch cum Com- , mandaino. E f ᾿ FRAGMENTA 249 πρὸς τὴν ZI. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ AA πρὸς τὴν HA, οὕτως ἡ I4 πρὸς τὴν AM, τουτέστιν ἡ 40 πρὸς ΘΖ. χαί ἐστι παράλληλος ἡ ΗΔ τῇ 441 εὐϑεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, H, Θ σημείων" τοῦτο γὰρ φανερόν. — ς΄. Πάλιν, ἐὰν ἦ καταγραφή, καὶ παράλληλος ἡ 4Ζ τῇ BI, γίνεται ἴση ἡ AB τῇ ΒΓ. ἔστω οὖν ἴση ὅτι παράλληλος. ᾿ς ἔστιν δέ" ἐὰν γὰρ τῇ EB προσϑῶ τῇ ΗΒ ἴσην τὴν ΒΘ καὶ ἐπιξεύξω τὰς 40, OT, γίνεται παραλληλόγραμ- “μον τὸ 4ΘΓΗ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ 44 πρὸς "τὴν 4 E, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ZE: ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς OH πρὸς τὴν HE por ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ 42 τῇ AI. Θ ξ΄. Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν 4 B, BI' μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΑ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ZH τῇ 4Γ. . ἐχβεβλήσϑω ἡ EB, καὶ διὰ τοῦ 4 τῇ 4Z Σεὐϑείᾳ παράλληλος ἤχϑω ἡ AK, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΓΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ AB 3. 44] Commandinus, 4/0 cod.; fort. 4B. 8. τῇ EB προσϑῶ) viv EB ϑῶ cod., 9 Commandinus, ἐπὶ τῆς EB $6 Hultsch. 11. ἑκάτερορ] ἑκατερα Ccod., ἑχατέρων Hultsch 13. λόγῳ] λόγον cod., λόγος Hultsch. πρὸς τὴν Bi, ὡς δὲ ἡ AB πρὸς viv B4, οὕτως ἡ ΚΒ 10 15 20 25 30 250 FRAGMENTA πρὺς τὴν BO, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὺς τὴν BA, οὕτως ἡ KB πρὸς τὴν ΒΘ' παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AO τῇ KI: ἔστιν οὖν πάλιν, ὡς ἡ AZ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΗ͂ πρὸς τὴν Η Ε΄ ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ ὥστε παράλ- ληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ A A. 3 η΄. Ἔστω βωμίσκος ὃ ABI'AEZH, καὶ ἔστω παράϊ- ληλος ἡ μὲν 4E τῇ BI, ἡ δὲ EH τῇ ΒΖ᾽ ὅτι καὶ 3 ZZ τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν. 3 ἐπεξεύχϑωσαν αἱ BE, AI, ZH: ἴσον ἄρα ἐστὶν 28ΒΕ τρίγωνον τῷ 4DLE τριγώνῳ. κοινὸν προῦσ- χείσϑω τὸ 44Ε τρί- yovov' ὅλον ἄρα τὸ ABE τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖ4 τριγώνῳ ἴδον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ παρ- ἀλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ EH, ἴσον ἐστὶν τὸ BZE τρίγωνον τῷ BZH τρι ὁ γώνῳ. κοινὸν ἀφῃρήσθω 8 τὸ ABZ τρίγωνον" λου- | πὸν ἄρα τὸ ABE τρίγωνον λοιπῷ τῷ AHZ es , , ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ABE τρίγωνον τῷ AD τριγών ἐστὶν ἴσον" καὶ τὸ AI'4 ἄρα τρίγωνον τῷ AZH τρι- γώνῳ ἴσον ἐστίν. κοινὸν προσχείσϑω τὸ AI'H τρί- γωνον" ὅλον ἄρα τὸ Γ4Η τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖΗ͂ τρι- γώνῳ ἴσον ἐστίν. καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΗ: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ͂ τῇ 47. | 9". Ἔστω τρίγωνον τὸ ABI, καὶ ἐν αὐτῷ διήχϑωσαν αἱ 44, AE, καὶ τῇ BI' παράλληλος ἤχϑῶ ἡ ZH, καὶ 4. ἑκάτερος] ἑκατέρᾳ cod., ἑκατέρων Hultsch. 6. Az] AD Breton, Hultsch. 18. ἡ ΒΖ τῇ EH] τῇ ΒΖ ἡ EH suspi- catur Hultsch. [ FRAGMENTA 251 wexAdo9o ἡ ZO H, ἔστω δέ, ὡς ἡ BO πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ 246 πρὸς τὴν ΘΕ᾽ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ KA τῇ ΒΓ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ Z0 πρὸς τὴν ΘΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ BZ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ | ἐστιν, ὡς 3] 49 πρὸς τὴν ΘΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΖ πρὸς τὴν (ET, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς NH: καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ ) πρὸς NH, οὕτως ἐστὶν 1 210 πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλ- ' λάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς | τὴν ΖΘ. οὕτως ἡ NH l πρὸς vv OE. ἀλλ᾽ ὡς ᾿ W μὲν ἡ ΖΜ πρὸς τὴν 40, | οὕτως ἐστὶν àv παραλλήλῳ K 4 ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ HN πρὸς τὴν OE, οὕτως i ἐστὶν ἡ H 4 πρὸς τὴν A0: B Z Ὁ Ἢ Τ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν | KO, οὕτως ἐστὴν ἡ HA πρὸς τὴν 4Θ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΑ τῇ HZ: ὥστε xci τῇ ΓΒ. - w. Eie δύο εὐϑείας τὰς BAE, 4AH ἀπὸ τοῦ O ση- | μείου δύο διήχϑωσαν εὐϑεῖαι αἱ 10, ΘΕ. ἔστω δέ, ὡς | τὸ ὑπὸ τῶν 40, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ 4I, ΒΘ, οὕτως τὸ ᾿ ὑπὸ OH, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ZH* ὅτι εὐϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν I A, Z. ἤχϑω διὰ τοῦ O τῇ ΓΑ͂ παράλληλος ἡ KA καὶ συμ- πιπτέτω ταῖς 48, 44 κατὰ τὰ K, 4 σημεῖα. καὶ διὰ τοῦ 4 τῇ 44 παράλληλος ἤχϑω ἡ AM, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ EO ἐπὶ τὸ M, διὰ δὲ τοῦ K τῇ AB παράλληλος ἤχϑω ἡ ΚΝ, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ 4 ἐπὶ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται. ὡς ἡ 40 πρὺς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν 410, ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν A1, ΘΝ. ἄλλο 4 10 15 259 FRAGMENTA d e X δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΖΓ, BO: ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ | 40, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΓ, BO, οὕτως τὸ ὑπὸ I, ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ZI, BO, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ. ἀλλ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΘΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ 4I, BO, ὑπόχει-. ται τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, ὡς δὲ dj ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς 0 4, τουτέστιν ἐν πα αλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ 6H, fs Z4 E πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ZE: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ OE, ZH, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ OH, ZE. πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ HZ πρὸς τὴν ΖΕ. συνϑέντι καὶ ἐναλλάξ, A ὡς ἡ ME πρὸς τὴν EH, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν EH, οὕτως ἐστὶν ἡ 4Ε πρὸς τὴν EA* καὶ ὡς ἄρα ἡ AE πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ OE πρὸς τὴν EZ: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AZ τῇ ΚΑ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ͂᾽ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ Z^ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | 10. τὸ ὑπὸ O E — 11. ἐστιν} om. cod., τὸ ὑπὸ ΘΕ ZH τῷ ὑπὸ ΘΜ ZE xal Hultsch cum Commandino. 11, ὡς] ὡς ἄρα Hultsch cum Commandino. 17. DAZ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι] I'AZO o cod.; ΓΑΖ, ὅπερ: «α Hultsch. FRAGMENTA 253 r i τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις. ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον. ᾿ ια΄. Τρίγωνον τὸ ABI, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ 44, - διαχϑεῖσα ἡ 4Ε τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ E ση- μεῖον ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ AE, ZH πρὸς τὸ ὑπὸ EZ, HA, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν BE. | ἤχϑω διὰ τοῦ Γ' τῇ 4E παράλληλος ἡ ΓΘ, xal ἐκ- βεβλήσϑω ἡ 48 ἐπὶ τὸ Θ. | ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΓΑ͂ πρὸς τὴν AH, οὕτως ἡ ΓΘ ᾿ πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς δὲ ἡ I4 πρὸς τὴν AH, οὕτως ἐστὶν ἢ: ΓΦ ἡ EZ πρὸς τὴν 4 H. καὶ ὡς ἄρα ἡ EZ πρὸς τὴν AH, οὕτως ἐστὶν ἣ OI' πρὸς τὴν ZH' τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ, -A4H ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Ez, ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ EZ, HA: ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ AE, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ 4H, EZ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ, 4H πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΗ. EZ, τουτέστιν ἣ ΓΘ πρὸς EZ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ 4Ε. ZH πρὸς τὸ ὑπὸ EZ, ΗΖ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. τὰ δ᾽ αὐτά, κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχϑῇ ἡ 44 παρ- 15 ὄ 10 15 254 FRAGMENTA ἄλληλος. καὶ ἀπὸ τοῦ 44 ἐκτὸς ὡς ἐπὶ τὸ Γ me | εὐϑεῖα. | ιβ΄. ᾿ποδεδειγμένων οὖν τούτων ἔσται δεῖξαι. ὅτι, ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ AB, I4, καὶ εἷς αὐτὰς ἐμπί- πτῶσιν εὐϑεῖαί τινες αἱ 44, 4 Ζ, BI, BZ, καὶ &u- ζευχϑῶσιν αἱ Ez, EI, [ὅτι] od εὐϑεῖα ἡ διὰ "" HS M; K. icol γὰρ τρίγωνον τὸ 442, καὶ τῇ A4Z παράλληλος ἡ AE, καὶ διῆκται ἡ ΕΓ NOM Oda τῇ 412 κατὰ τὸ A B I, διὰ τὸ προγεγραμμένον γένεται, ὡς ἡ 4 Z πρὸς τὴν ZI, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ. πάλιν, ἐπεὶ τρίγωνόν idu τὸ ΓΒΖ, καὶ τῇ L4 παρ- άλληλος ἧκται ἡ ΒΕ. καὶ διῆκται ἡ AE συμπίπτουσαι, τῇ ΓΖΩ͂ κατὰ τὸ 4, γίνεται. ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Z4, : οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕ, AK πρὸς τὸ ὑπὸ 4Κ, AE* ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡς E 22 πρὸς τὴν ΖΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΚ, AE πρὸς τὸ ὑπὸ ZE, AK. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ AZ. obe τὴν ZI, οὕτως τὸ bar ΓΕ, HO πρὸς ES ὑπὸ DH, 1. ὡς ἐπὶ τὸ ΓῚ τοῦ I' ὡς ἐπὶ τὸ Γ' Commandinus, τοῦ Dn Hultsch. διαχϑῇ ἡ εὐθεῖα) διὰ τὴν εὐθεῖαν cod., & ϑῇ ἡ 4Ε Hultseh cum Commandino. 8. οὖν] coni. H tsch, νῦν cod. 6. ὅτι] uncis incl. Hultsch. 10. προγεγραμμένον] lemma ΧΙ. | FRAGMENTA 255 r: E: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, HO πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂, OE, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΚ, AE πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΕ, KA. “πεὶ οὖν tig δύο εὐθείας τὰς IITMA, O Mz δύο εὐϑεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ EI, ΕΖ. καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ, HO πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂, ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ 4Κ, EA πρὸς τὸ ὑπὸ AE, AK, εὐϑεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν H, M, K* τοῦτο γὰρ προδέδεικται. | ,γ΄. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ AB, I4 παράλληλοι, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν᾽ ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν H, M, K. ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐ- ϑείας τὰς AN, AZ, A4 ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημξδίου τοῦ I' δύο διηγμέναι εἰσὶν ci ΓΕ UA, γένεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ. ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, OE, οὕ- τῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ, ZA πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 4 ΝΖ, ΓΖ. πάλιν ἐπεὶ | ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ση- Lclov τοῦ Z1 εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, BI, ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἱ ΖΕ, 4Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ INI, ZZ πρὸς τὸ ὁ NAZI, ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ 4Κ, EA πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΕ, K 4. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ὑπὸ NI, Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖ, ΓΖ, οὕτως ᾿ἐδείχϑη τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, OE: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, OH πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως ἐστὶν "τὸ ὑπὸ AK, EA πρὸς τὸ ὑπὸ AE, K A. διὰ δὴ τὸ προγε- γραμμένον εὐϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν H, M, K. ὃ. Ante ἐπεὶ add. ἀνῆκται εἰς τὸ πρὸ ἑνός cod., uncis incl. Hultsch (ἀπῆκται suspicatur idem III p. 1263). ΓΜΖ, ΘΜΖ4] ΓΜΩ͂ cod, l'UH4 4MO Hultsch cum Commandino. 7. προδέ- ξδικται) lemma X. 29. Ante διὰ add. ἀπῆκται sig ὃ καὶ ἐπὶ τῶν παραλλήλων cod., uncis incl. Hultsch. προγεγραμμένον] lemma X. 10 15 20 25 30 10 1ὅ 20 25 256 FRAGMENTA ιδ΄. Ἔστω παράλληλος ἡ AB τῇ Dl, καὶ διήχϑωσει αἱ AE, ΓΒ. καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΗ τὸ Z, ὥστε civa ὡς τὴν 4Ε πρὸς τὴν EI, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, HZ xg τὸ ὑπὸ ZB, ΓΗ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν A, Z, 4 ἤχϑω διὰ μὲν τοῦ 4 τῇ BI' παράλληλος ἡ 410, κι ἐχβεβλήσϑω ἡ AE ἐπὶ τὸ Θ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ I4 πα ἄλληλος ἡ OK, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Κ. A ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ 4E πρὸς τὴν EI, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ. ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΓΗ͂, ὡς δὲ ἡ AZ E πρὸς τὴν EI', οὕτως ἐστὶν ij vt Z0 πρὸς τὴν ΓΗ͂ καὶ τὸ ὑπὸ * ΖΘ, ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΗ͂, y. É δ᾿: ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν BI, V/A Ng Hi ZH τῷ ὑπὸ 40, BZ- ἀνάλογον K e Ó: ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ TB πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ 40, τουτέστιν ἡ ΓΚ, πρὸς τὴν HZ: καὶ 7 ἄρα ἡ KB πρὸς ὅλην τὴν BH ἐστιν, ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ZH, τουτέστιν ὡς d 4 πρὸς ΖΗ. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς BH ἐν παραλλήλῳ. οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ͂ πρὸς 4Η καὶ ἡ 46 πρὸς ZH. καί εἶσιν παράλληλοι αἱ 240, ZH* εὐϑεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν 4, Z, 4 σημείων. ὶ ιε΄. Τούτου προτεϑεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ 48 τῇ ΓΖ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ AZ, ZB, ΓΕ, EA, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ BI? HK: ὅτι εὐϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν A, M, 4. 5 ᾿Επεξζεύχϑω ἡ 4M καὶ ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ Θ. : ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ BI'Z ἐχτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆβ 11. ΒΖ, ΓΗῚ BI, ZH cod.; ZB ΓΗ Hultsch eum Comman dino. 12. ἐστὶν] 'del. Hultsch. 18. τουτέστιν ἡ] coniecit Hultsch, τουτέστιν ὡς ἡ cod., πρὸς τὴν HZ τουτέστιν ὡς | ἡ Hultsch. 29. ἐκτὸς] del. Hultsch cum Simsono, sed u. lemm extr. FRAGMENTA 201 τοῦ B σημείου τῇ l4 παράλληλος ἧκται ἡ BE, καὶ διῆχται ἡ 4Ε, γίνεται, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ZZ, οὕτως τὸ ὑπὸ AE, ΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ EA, KA. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ AE, KA πρὸς τὸ ὑπὸ 4 Κι AE, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ͂, O E πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, HO, ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς I4, 40, ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ση- μείου τοῦ E «ci EI, EZ: καὶ ὡς ἄρα ἡ 4Z πρὸς ZI, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂, ΘΕ. διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα 1) διὰ τῶν Α. M, 4 ἐστιν εὐϑεῖα. tg. Eig δύο εὐθείας τὰς AB, AT' ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ση- μείου τοῦ Z1 δύο διήχϑωσαν αἱ 4B, AE, καὶ ἐπ’ αὐτῶν εἰλήφϑω σημεῖα τὰ H, 0, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ EH, Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ 4Ε. HZ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ. ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ BZ, ΓΘ᾽ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν A, Η, Θ. ἤχϑω διὰ τοῦ H τῇ Β4 παράλληλος ἡ KA. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ EH, ΖΖ πρὸς τὸ ὑπὸ AE, ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ BO, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ BA, ΓΘ. ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ EH, Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ AE, ΗΖ συνῆπται 5. ἐπεὶ εἰς] sig cod., εἰς γὰρ Hultsch cum Commandino. 8. Ante διὰ add, καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν H M K cod. (etiam p. 256, 27 pro 4, M, zl hab. H, M, K), καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν O,M, 4 Hultsch praeeunte Commandino. 9. προγεγραμ- μένον] lemma XIV. ἄρα] ἄρα καὶ cod., Hultsch. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 17 10 10 15 20 30 258 FRAGMENTA λόγος ἔκ τε τοῦ Ov ἔχει ἣ HE πρὸς EZ, τουτέστιν ΚΗ πρὸς BA, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ 42 πρὸς ZH, τουτ- ἔστιν ἡ L'A πρὸς τὴν HA, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ B4, ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει d) ΘΒ πρὸς Bzl καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΖΓ πρὸς ΓΘ, καὶ ὃ ἔκ v& τοῦ τῆς KH ἄρα πρὸς Bzl καὶ τοῦ τῆς 4Γ πρὸς HA ὃ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΖ καὶ τοῦ τῆς 4Γ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς KH πρὸς B4 συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΩ ὃ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς KH : πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Bzl καὶ ἔτι τοῦ τῆς AT. πρὸς ΗΔ ὃ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς BO πρὸς ΒΖ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐχ- κεχρούσϑω ὃ τῆς ΘΒ πρὸς ΒΖ λόγος" λοιπὸς ἄρα ὃ | συνημμένος ἔκ vs τοῦ τῆς KH πρὸς BO καὶ τοῦ τῆς AT πρὸς ΗΑ ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς 4Γ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΖΓ πρὸς τὴν - HA καὶ τοῦ τῆς ΗΔ πρὸς τὴν OI. καὶ πάλιν κουνὸς ἐχχεκρούσϑω ὁ τῆς 4 πρὸς τὴν HA λόγος" λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς HA πρὸς τὴν OI. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ KH. πρὸς τὴν HA, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν OI. καί εἶσιν αἱ KA, ΒΓΙΓ παράλληλοι" εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν A, H, 9 σημείων. : i£. AA δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ 48 τῇ ΓΖ, ἀλλὰ | συμπιπτέτω κατὰ τὸ N. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Z4 εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, BI, ΒΖ δύο εὐϑεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ 4Ε, 4Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΝΖ. ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ NI, ZZ, οὕτως τὸ ὑπὸ AE, ΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ EA, KA. - ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΕΖ. KA πρὸς τὸ ὑπὸ EA, KA, οὕτως. ἐστὴν τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ EI, OH" πάλιν 14. ΘΒ] ΒΘ Hultsch. FRAGMENTA 259 γὰρ sig τρεῖς τὰς 14, 40, HK ἀπὲ τοῦ αὐτοῦ σημείου στοῦ E δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ EI, ΕΖ: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΖ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ NI, Z4. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α. O, Ζ καὶ ἡ διὰ τῶν 4, M, | Z4 ἄρα εὐϑεῖά ἐστιν. τς wm. Τρίγωνον τὸ ABI, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχϑω ἡ AA, καὶ διήχϑωσαν αἱ AE, ΖΗ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ἀπὸ [ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ EI'B, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν HI* ᾿ ὅτι. ἐὰν ἐπιξευχϑῇ ἡ Bal, γένεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν 9. Κ | ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς EB πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ BH πρὸς HI κοινὸς ἄρα προσκείσϑω ὃ τῆς | L'E πρὸς ΕΒ λόγος ὃ αὐτὸς ὧν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ΄ δι᾽ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ . EBI' λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν BI, ὃ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς BH πρὸς ΗΓ καὶ | τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ EBI, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς EI' πρὸς EB: ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ 4. προγεγραμμένον] lemma XVI. 18. ἄρα] uncis incl. Hultsch. 17* 10 15 10 15 260 FRAGMENTA ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ BH πρὸς ΗΓ τοῦ ὃν ἔχει ἡ EI' πρὸς EB, ὅς ἐστιν ὃ αὐτὸς τῷ v ὑπὸ EI, BH πρὸς τὸ ὑπὸ EB, ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ m, τὴν BI, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τι ὑπὸ 4E, ZO πρὸς τὸ ὑπὸ 4Ζ, 6 E: καὶ ὡς ἄρα τ É BH r i ὑπὸ ΓΕ, BH πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, EB, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ 4Ε, ZO πρὸς τὸ ὑπὸ 4172, ΘΕ. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν. ἡ διὰ τῶν O, K, Γ΄ τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων. - ἢ υϑ΄. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς AB, ΑΓ, A4 ἀπό τινος, σημείου τοῦ E δύο διήχϑω- ἦ σαν αἱ EZ, ΕΒ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν OH: ὅτι yíve- ται καί, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν AI. ἤχϑω διὰ τοῦ Η τῇ BE παράλληλος ἡ 4Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ EZB IUS A 1 3, 4. προγεγραμμένον] lemma ΧΙ (perperam usurpatum). 5. 4E, ΖΘ] 42 ΘῈ Hultseh cum Simsono. “12, OE] 4E Z9 Hulisch. eum Simsono. 7. 4E, ZO] 4Z OE Hultsch cum Simsono.. 42, ΘΕ] 4E ZO Hultsch cum Simsono. 8. dep y lemma XVl, quod ut lemma X ἀναστρόφιον est lemmatis FRAGMENTA 261 πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ EO πρὸς τὴν ΘΗ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν HK, ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. οὕτως ἐστὶν ἡ 4E πρὸς τὴν HA, x«l ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν HK, οὕτως ἐστὶν ἡ AE πρὸς τὴν HA. ἐναλλάξ ἔστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν EA, οὕτως ὴ ΚΗ πρὸς τὴν HA. ὡς δὲ ἡ KH πρὸς τὴν HA, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΙ᾽ πρὸς τὴν I: καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν EA, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ. ἐναλλάξ ἐστιν; ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΙΓ οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν 4I. τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ 48Γ, 4ΕΖ ἴσας ἔχοντα [πὰς m Z γωνίας" ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ Β4Γ πρὸς τὸ ὑπὸ EAZ, οὕτως τὸ 48Γ τρίγωνον πρὸς τὸ EZ Z τρίγωνον. ἤχϑωσον κάϑετοι αἱ BH, ΕΘ. A B E E Z |. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν 4 γωνία τῇ 4, ἡ δὲ H τῇ Θ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BH, οὕτως ἡ 4Ε πρὸς τὴν ΕΘ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ AB πρὸς τὴν BH, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ BH, AI, ὡς δὲ ἡ AE πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ Ed Z πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, AZ: ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ BH, AT, οὕτως τὸ ὑπὸ EA Z πρὸς τὸ ὑπὸ EO, AZ; καὶ ἐναλλάξ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ὑπὸ BH, 4Γ πρὸς τὸ ὑπὸ EO, A4Z, οὕτως ἐστὶν τὸ ABI' τρίγωνον πρὸς τὸ AEZ τρίγωνον" ἕχα- τέρα γὰρ τῶν BH, EO κάϑετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν .10 15 20 εἰρημένων vovyOvov καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ BAI' πρὸς τὸ 25 13. E4Z] AEZ Hultsch. b 1( - 15 20 262 FRAGMENTA ὑπὸ EZ Z, οὕτως ἐστὶν τὸ ABI" τρίγωνον πρὸς τὸ 4Ε2 τρίγωνον. κα΄. Ἔστωσαν δὴ αἱ 4. 4 δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι" ὅτι πάλιν γίνεται, ὡς τὸ ὑπὺ BAT πρὸς τὸ ὑπὸ EAZ, oU- vog τὸ ABI' τρίγωνον πρὸς τὸ Ζ ΕΖ τρίγωνον. 3 ἐχβεβλήσϑω ἡ BA, καὶ κείσϑω τῇ BA ἴση ἡ AH, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΓΗ͂. Ἶ H B I E Z ἐπεὶ οὖν αἵ 4, 4 γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ BAT, I'AH γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΔΑ Η͂ γωνία τῇ 4. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ Η4Γ πρὸς τὸ ὑπὸ EAZ, οὕτως τὸ AHI* τρίγωνον πρὸς τὸ 4 Ε 2 τρίγωνον. ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν HA τῇ AB, τὸ δὲ HAT' τρίγωνον τῷ ABI τριγώνῳ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ Β4Γ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΖ, οὕτως τὸ 4ΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 4ΕΖ τρίγωνον. κβ΄. Εὐϑεῖα ἡ AB, καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ I, 4, ἢ ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ 4 B, I4 ἴσον τῷ ἀπὸ I'B: ὅτι 4 τὸ ἀπὸ A44 ἴσον ἐστὴν τοῖς ἀπὸ τῶν AI, 4B τετρα- γώνοις. 4 I—| | na ῳ B i a 5 EN ἐπεὶ yàg τὸ δὶς ὑπὸ AB, ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ DB, κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ δὶς ὑπὸ BAI" λοιπὸν ἄρα τὸ ig ὑπὸ 44Γ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖ, 4B τετραγώ- — νοις. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ DI τετράγωνον" λοι- 9. ὀρϑαῖς] ὀρϑαῖς ἴσαι suspicatur Hultsch. FRAGMENTA ᾿ 263 zóv ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ 4Γ4 μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 41 τετραγώνῳ. κοινὸν προσχείσϑω τὸ ἀπὸ AT τετράγωνον᾽ ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ 44 τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν AT, 4B τετραγώνοις. κγ΄. Ἔστω τὸ ὑπὸ ABI' ἴσον τῷ ἀπὸ BZl τετραγώνῳ" ὅτι γίνεται y, τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς A71 Γ καὶ τῆς ΒΖ ἴσον τῷ ὑπὸ AZ, AT, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 44Γ καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ 4 Γ' τετραγώνῳ. τὸ 0à ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 44 Γ' καὶ τῆς B.4 ἴσον τῷ ἀπὸ 44 τετραγώνῳ. | | | | A UY Z4 ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ABI' ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ BA, ἀνά- λογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνϑέντι" ἔστιν ἄρα, ὡς συναμφότερος ἣ ΓΖ, 44 πρὸς τὴν 414, οὕτως ἡ ΓΖά πρὸς τὴν 4B: τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 44. 4Γ καὶ τῆς Β4 ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν AAT. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ 44 πρὸς ὅλην τὴν 4Γ ἐστιν, ὡς ἡ 218 πρὸς τὴν BI, συνϑέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ AAT πρὸς τὴν AI, οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν ΓΒ᾽ τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 44Γ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὺὴν τῷ ἀπὸ AT. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ 44 πρὸς ὅλην τὴν AT ἔστιν, ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν BZ, ἀνάπαλιν καὶ συνϑέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ I414 πρὸς τὴν 44, οὕτως ἡ 424 πρὸς τὴν 48. τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 44Γ καὶ τῆς 48 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 44 τετραγώνῳ. xÜ. Εὐθεῖα ἡ AB καὶ δύο σημεῖα τὰ I,2, καὶ ἔστω τὸ ἀπὸ ΓΖ τετράγωνον ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ AI, ΒΖ ὅτι καὶ τὸ ἀπὲ AB τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν AZ, ΓΒ τετραγώνοις. ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ 4Γ, 48, 6. y] τρία Hultsch. 26. AT, Β4 ὅτι] ALB διότι cod., ATI 48: ὅτι Hultsceh cum Commandino. 1 18 9( 2 10 204 FRAGMENTA τὸ ἄρα δίς ὑπὸ 4ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς LZ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν AI. κοινὸν προσχείσϑω τὸ ἀπὸ AT" - τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ AI'B μετὰ τοῦ ἀπὸ AI' ἴσον ἐστὶν τῷ | ! l | i L D LU Á 1 4 B ἀπὸ 44. κοινὸν προσχείσϑω τὸ ἀπὸ BI" ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ AB τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν 44, ΓΒ τετραγώνοις. 1 κε΄. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν 4ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ ὅτι γίνεται y, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν AZ, 4 Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς BA ἴσον τῷ ὑπὸ AAT, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν AAT — ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΤ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς 4 Γ' τετραγώνῳ, — τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν AZ, 4Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΑ͂ ἴσον . τῷ ἀπὸ τῆς 44 τετραγώνῳ. 1ὅ 20 26 dc. adr om B ἐπεὶ ydg ἐστιν, ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ BA πρὸς τὴν BI, λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι" ἔστιν οὖν, ὡς ἡ τῶν 44. AT' ὑπεροχὴ πρὸς τὴν 41, οὕτως ἡ 424 πρὸς τὴν 4B: τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν A44, AI | ὑπεροχῆς καὶ τῆς 48 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν AZ, AT. πάλιν, ἐπεὶ λοιπὴ ἡ 44 πρὸς λοιπὴν τὴν AT' ἐστιν, ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν BI, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν AAT" ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως ἡ Z4I' πρὸς τὴν ΓΒ᾽ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν 44, 4D ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς AI' τετραγώνῳ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὧς ἡ 44 πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν B4, ἀνά- παλιν xal διελόντι ἐστίν. ὡς v) τῶν A, AT ὑπεροχὴ πρὸς τὴν Z14, οὕτως ἡ 4.4 πρὸς τὴν AB* τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν 44, 4Γ᾽ ὑπεροχῆς καὶ τῆς 48 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 424 τετραγώνῳ. 8. 7] τρία Hultsch. 9. AAT (ali)] 44 4I'Hultsch cum Commandino. 15. οὖν] ἄρα Hultsch. 19. 44I'] Ad AT Hultsch cum Commandino. FRAGMENTA 265 2 :Eevo, ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν BI, οὕτως τὸ ἀπὸ 44 Lo τὸ ἀπὸ 4I" ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ABI ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς B4 τετραγώνῳ. El | | I Ü DS aU" Z E κείσϑω τῇ Il ἴση ἡ 4E' τὸ ἄρα ὑπὸ EAI'uevà τοῦ ἀπὸ ΓΖ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΓΖΕ, ἴσον τῷ ἀπὸ A4, ἐπεὶ οὗν ἐστιν, ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν BI, οὕτως τὸ ἀπὸ 442 πρὸς τὸ ἀπὸ AT, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ 4Γ πρὸς τὴν TB, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΕΩ4Γ' πρὸς τὸ ὑπὸ EA, BI, οὕτως τὸ ὑπὸ EAT πρὸς τὸ ὑπὸ IAE: ἴσον ἄρα dodi τὸ ὑπὸ AE, ΒΓ τῷ ὑπὸ ΓΖ Ε. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ vr πρὸς τὴν ΖΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν AT, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν BI* Sed λοιπὴ ἄρα ἡ 48 aie “λοιπὴν τὴν B4 ἐστιν, ὡς ἡ ΒΩ πρὸς τὴν BI. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετραγώνῳ. χζ΄. Ἔστω δὲ πάλιν, ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BI, οὕτως τὸ ἀπὸ 44 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ 2 Γ' τετράγωνον᾽ 0r. τὸ ὑπὸ .ABI' ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β4 τετραγώνῳ. | B h. RN WES - χείσϑω γὰρ ὁμοίως τῇ I1 loq ἡ 4E: τὸ ἄρα ὑπὸ I'AE μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ4,. τουτέστιν τοῦ ὑπὸ EAT, ἴσον τῷ ἀπὸ 44d. καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν, ὡς ἡ 4 πρὸς τὴν ΓΒ. τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ Ε4Γ πρὸς τὸ ὑπὸ EA, ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑ͂Ε πρὸς τὸ ὑπὸ EAI" ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ AE, ΓΒ τῷ ὑπὸ EAI. ἀνάλογον καὶ συν- ϑέντι ἐστίν, ὡς ἡ 44] πρὸς τὴν 4E, τουτέστιν πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν BI" καὶ ὅλη ἄρα ἡ AB πρὸς ὅλην τὴν ΒΩ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν BI. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν 4ΒΓ' ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς BA τετρα- γώνῳ. 10 15 20 25 266 FRAGMENTA xv. Kóxiov τοῦ ABI ἐφαπτέσϑωσαν αἱ A4, AD, x«l ἐπεξεύχϑω ἡ AI, καὶ διήχϑω τυχοῦσα ἡ 4B* ὅτ᾽ γίνεται. ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν 4Ε, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸ τὴν ΖΕ. i ?u 1 i E ἡ T δ ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ 44 τῇ AI, τὸ ἄρα ὑπὸ 42 μετὰ τοῦ ἀπὸ Ζ4 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 44. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ 42Γ' ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ BZE, τὸ δὲ ἀπὸ 4A ἐστι! τὸ ὑπὸ BAE: τὸ ἄρα ὑπὸ BZE μετὰ τοῦ ἀπὸ 4Z ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Β4 E. ἐὰν δὲ d τοῦτο, γίνεται, ὡς ἡ Β4 10 πρὸς τὴν 4 E, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ. ; x9'. Τμήματος δοϑέντος τοῦ ἐπὶ τῆς AB κλάσαι εὐ- ϑεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοϑέντι. ᾿ r s up ier SEO Ζ | ἑ 4 B 4 1 γεγονέτω, καὶ διήχϑω ἀπὸ τοῦ I' ἐφαπτομένη ἡ ΓΖ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ AT' πρὸς τὸ ἀπὸ BI, οὕτως ἡ 44 πρὸ 15 48. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ' πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ δοϑείς ὥστε καὶ ὁ τῆς 44 πρὸς τὴν Β4 δοϑείς. καί ἐστιν δύο «ὦ T7. ἐστιν τὸ] ἴσον τῷ Hultsch. 10. δύο δοϑέντα τὰ Α, 2j δύο cod., δοϑέντα τὰ ^A B Hultsch cum Simsono. ^ FRAGMENTA 261 δοθέντα và A4, B: δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Z^ ὥστε καὶ τὺ Γ δοϑέν. ᾿ Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ μὲν τμῆμα τὸ ABI, ὃ δὲ λόγος ὃ τῆς E πρὸς τὴν Z, καὶ πεποιήσϑω. ὡς τὸ ἀπὸ E πρὸς τὸ ἀπὸ Z, οὕτως ἡ 44 5 πρὸς τὴν ZB, καὶ ἤχϑω ἐφαπτομένη ἡ AI, καὶ ἐπεξεύχ- - $ocav at AI, ΓΒ. λέγω. ὅτι αἱ AT, ΓΒ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ E πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως 13) 44 πρὸς τὴν 48, ὡς δὲ ἡ 44 πρὸς τὴν 48, οὕτως 10 τὸ ἀπὸ 4Γ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ ἐφάπτεσϑαι τὴν ΓΖ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ E πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ AT' ᾿ πρὸς τὸ ἀπὸ I'B: ὥστε καί, ὡς ἡ E πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν ΓΒ. ἡ AI B ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. λ΄. Κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ 48. καὶ ἀπὸ τυχόντος 15 | ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ? 4Ε. διήχϑω ἡ 4Z, ἐπεξεύχϑω ἡ E 4 EZ καὶ ἐχβεβλήσϑω, καί, καϑ'᾽ ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ, ἔστω τὸ H* ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ 4Η πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ 40 πρὸς τὴν ΘΒ. ἐπεξεύχϑωσαν αἵ 44, AE, AZ. 20 12. οὕτως τὸ] m. 2 cod.; οὕτωσε ante rasuram, ut uidetur, m. 1 cod.; οὕτως ἐστὶν τὸ coni. Hultsch. σι 10 1ὅ 20 208 FRAGMENTA ἐπεὶ οὖν ἐπὶ διάμετρον κάϑετος ἡ 4E, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ 448 τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ A4AB τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι [65 ἐστὴν τῇ ὑπὸ O ZB, ἡ δὲ ὑπὸ BAE ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ͂᾽ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ BZH. καί ἐστιν ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ 428 γωνία᾽ διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται, ὡς ὦ ἡ 4H πρὸς τὴν HB, οὕτως ἡ 40 πρὸς τὴν ΒΘ. E | λα΄. μικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς 4B, καὶ ἀπὸ τῶν 4,8 σημείων τῇ 488 πρὸς ὀρϑὰς γωνίας εὐϑεῖαι γραμμαὶ ἤχϑωσαν αἱ BA, AE, καὶ ἤχϑω τυχοῦσα ἡ ZE, καὶ ἀπὸ τοῦ Z τῇ 4Ε πρὸς ὀρϑὰς γωνίας εὐϑεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμπιπτέτω τῇ AB κατὰ τὸ H: ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν AE, 1 BA ἴσον ἐστὶν và ὑπὸ τῶν AHB. 4 | | A ΒΗ | D. ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ EA πρὸς τὴν AH, οὕτως ἡ HB | πρὸς τὴν ΒΖ. περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευ- gaí* ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν AHE γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΩ Η γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ AHE ἴση ἐστὶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ AZE, ἡ δὲ ὑπὸ BAH πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ͂' ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν : ἡ ὑπὸ AZE γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ. ἔστιν δέ" ὀρθὴ - γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ AZB,.EZH γωνιῶν. ; 1. διάμετρον) διαμέτρου cod., Hultseh. 4. ἡ) τῇ cod, — Hultsch. 5. γωνίᾳ cod., Hultsch. τῇ! τῷ cod, ἡ H ὧι cum -— aliis. 6. τὸ] τι susp. Hultsch. sign catur lemma VI, εἰ quod - sane aliter a Pappo significatum fuiase probabile est. . B6) - ΘΒ Hultsch. * FRAGMENTA 269 AB. Τρίγωνον τὸ ABI' ἴσην ἔχον τὴν AB τῇ AT, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ 48 ἐπὶ τὸ 4, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 διήχϑω ἡ ΖΕ ποιοῦσα ἴσον τὸ BAE τρίγωνον τῷ ABI' τριγώνῳ" ὅτι. ἐὰν δίχα τμηϑῇ μία τῶν ἴσων πλευρῶν ἡ πρὸς τῷ ἤχϑω διὰ τοῦ B τῇ 4Ε παράλληλος ἡ BK, καὶ ἐκ- βεβλήσϑω ἡ 4Γ ἐπὶ τὸ K* ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς συναμφό- τερος ἡ ΖΚ, ΚΘ πρὸς τὴν ΖΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμ- 4 K A 9 d B E IA gorégov τῆς ΖΚ. KO καὶ τῆς ZO πρὸς τὸ ἀπὺ ZO, οὕτως τὸ ἀπὸ AZ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ZO τετρά- yovov. τὸ δὴ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ZKO καὶ τῆς ΖΘ, τουτέστιν ἡ τῶν ἀπὸ ΖΚ, ΚΘ ὑπεροχή, ἴση ἐστὶν τῷ ἀπὸ 4Ζ᾽ ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ KZ, ZA ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ ΚΘ. ἀλλὰ d τῶν ἀπὸ ΚΖ. ZA ὑπεροχή ἐστιν vo ὑπὸ ΓΚΑ͂' ὅτι ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΚΑ͂ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ OK: ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΚ πρὸς τὴν KO, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν K A, τουτ- ἔστιν ἡ 4B πρὸς τὴν BA. ἔστιν δέ" παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ AE τῇ AT, ἐπειδὴ τὸ ABE τρίγωνον ἴσον ἐστὶν 5. ZBH| m. 2 cod, BZH τὰ. 1; ZB BH Hultsch cum aliis. 13. δὴ] 4E cod., ἄρα Hultsch cum Commandino. ZK60] ZK KO Hultsch cum Commandino. | leo τριγώνῳ τῇ ΒΖ, γίνεται, ὡς συναμφότερος ἡ ZBH ὃ “πρὸς τὴν ZH, οὕτως τὸ ἀπὸ AZ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον. 16 1: 2( 10 20 2ὅ 80 210 FRAGMENTA τῷ 48Γ τριγώνῳ, κοινοῦ δ᾽ ἀφαιρουμένου τοῦ ABl λοιπὸν τὸ Z4 AE λοιπῷ τῷ ΑΓΕ ἐστιν ἴσον καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως. 1 Ay. Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν AB, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ 418 καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν 4 E κάϑετος, καὶ τῷ ὑπὸ 428 ἴσον κείσϑω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον" Ott. οἷον ἐὰν ληφϑῇ σημεῖον : ὡς τὸ E, καὶ ἀπ᾽ αὐτοῦ | ἐπὶ τὸ H ἐπιζευχϑεῖσα ἐκβληϑῇ ἐπὶ τὸ O, yíve- N ται καὶ τὸ ὑπὸ OEK H Wr Z ἴσον τῷ ἀπὸ EH τετρα- 4 s X ^ yóvo. | ἐπεζεύχϑωσαν at AE, : BA: ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Θ 4 | A γωνία. ἔστιν δὲ καὶ ἡ Ζ ὀρϑή᾽ τὸ ἄρα ὑπὸ AEA ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ AZB x«l τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ 4Ε4 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ OEK, τὸ δὲ ὑπὸ AZB ἴσον ἐστὶν ! τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ τὸ ἄρα ὑπὸ GEK ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν EZ, ΖΗ τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ὦ ΕΗ a oovddiie d : λδ΄. Ἔστω, ὡς ἡ AB πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ 44 E τὴν 4, καὶ τευμήσϑω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ E σημεῖον" ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ BEZ ἴσον τῷ ἀπὸ ED ᾿ 4 É 4 Tr B τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ BAE τῷ ὑπὸ 447, τὸ δὲ ὑπὸ, ABI' τῷ ὑπὸ EBA. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν BI, οὕτως 7) 44 xod τὴν 41, συνϑέντι καὶ và ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν EI, ἡ EDT 0. ἡ EI'] οὕτως ἡ EI' Gerhardt, Hultsch. | asm. ΓΟ otc FRAGMENTA 911 τρὸς τὴν ΕΖ τὸ ἄρα ὑπὸ BEA ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EI. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ 4 Εἰ τετράγωνον λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ BAE ἴσον ἐστὴν τῷ ὑπὸ 44 Γ. πάλιν τὸ ὑπὸ BEA ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EDI τετραγώνῳ. ἀμφότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου" λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν .ABI' ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν EBA. | Ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν BAE ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν 44 Γ, καὶ τετμήσϑω δέχα ἡ ΓΑ͂ χατὰ τὸ E* ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν ΒΙ,, οὕτως ἡ AZ πρὸς τὴν ΖΕ ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Β4 Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν LAT, κοινὸν προδκείσϑω τὸ ἀπὸ AE τετράγωνον" ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ BEA ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ. ἀνάλογον “καὶ ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BI, οὕτως ἡ 44 πρὸς τὴν AI. | λε΄, Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὃ περὶ διάμετρον τὴν 4 B, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ 48. ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ΖΕ κάϑετος, καὶ πε- ἢ x ποιήσϑω, ὡς ἡ 42 πρὸς | | τὴν B, οὕτως ἡ AH l πρὸς τὴν HB: ὅτι πά- | Aw, oiov ἐὰν ἐπὶ τῆς A H B z ΕΖ σημεῖον ληφϑῇ ὡς I τὸ E, καὶ ἐπιξευχϑεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληϑῇ ἐπὶ τὸ Θ, ; ἃ γένεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς | 4 τὴν EK, οὕτως ἡ ΘΗ : πρὸς τὴν ΗΚ. εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ 4. xci ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν EO κάϑετος ἤχϑω ἡ AM: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρϑή ἐστιν ἑκατέρα τῶν M, Ζ γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ E, Z, 4, M σημεῖα" τὸ ἄρα ὑπὸ ZHA ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν EH M. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν LH. ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν AHB διὰ τὸ εἶναι, 20. πάλιν] αὖ in lemmate XXXIII. 10 20 25 80 10 15 20 25 30 212 -: FRAGMENTA ὡς τὴν AZ zog τὴν ZB, οὕτως τὴν AH πρὸς τὴν ἢ καὶ τετμῆσϑαι τὴν AB δίχα κατὰ τὸ A* καὶ τὸ ὑπὸ v EHM ἄρα ἴδον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν AHB, τουτέστιν" ἐν κύκλῳ γάρ' τῷ ὑπὸ τῶν ΘΗ Κ. καὶ τέτμηται δίχα d OK κατὰ τὸ Μ᾿ διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, à ἡ OE πρὸς τὴν EK, οὕτως ἡ OH πρὸς τὴν HK. λς΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς AB, καὶ παράλληλος τῇ AB ἡ LA, καὶ κάϑετοι ἤχϑωσαν αἱ ΓΕ. AH: ὅτι ἴσῃ ἐστὶν ἡ AE τῇ HB. εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Z, καὶ ἐπεξε b: 9o6«v ci ΓΖ. Z4 ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ cüZ4 ὥ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ * τῆς Z4 τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ | μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν Τὶ E τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, EZ τετράγωνα, IN τῷ δὲ ἀπὸ 412 τετραγώνῳ ἴσα | ἐστὴν τὰ ἀπὸ τῶν 4H, HZ τε- 4g Z —H τράγωνα᾽ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, | EZ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, HA τετραγώνοις. ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τ | ἀπὸ τῆς 4H τετραγώνῳ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς EZ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴδο ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ 42 ὅλῃ τῇ LB ἴση" λοιπὴ ἄρα ἡ AE λοιπῇ τῇ HB ἐστιν ἴση" ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | AE. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς 4B, καὶ ἀπὸ τυχόντ τοῦ Γ διήχϑω ἡ DA, καὶ κάϑετος ἤχϑω ἡ 4E: ὅτι τὶ ἀπὸ 4 τοῦ ἀπὸ T4 ὑπερέχει τῷ ὑπὸ σπόρο τῆς 4, ΓΒ καὶ τῆς AE. ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ' ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ 4 I του ἔστιν τοῖς ἀπὸ 4E, EI, καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου a 9. τετμῆσϑαι τὴν] susp. Hultsch, τέτμηται ἡ cod. 25 γεγραμμένον) lemma XXXIV extr. 25. ὅπερ ἔδει aside cod., ὅπερ: c» Hultsch. e" wa o» c oae ΟΝ FRAGMENTA 213 ΑΓΒ καὶ τῆς AE. ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρεϑέντος τοῦ c ὑπὸ D'4E λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ve ἀπὸ 4 E, τουτέστιν τῷ ὑπὸ AEB, καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ «A A B B ὑπὸ AE, ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεϑέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ, ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ AEI' ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ AEB καὶ τῷ ὑπὸ AE, ΒΓ. ἔστιν δέ. Εἰς τὸ πόρισμα τοῦ α' βιβλίου. Aq. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ 44 ἀπὸ δο- ϑέντος τοῦ E διαγαγεῖν τὴν EZ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ZUH τρίγωνον τῷ 44 παραλληλογράμμῳ. γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν Ζ 4 Γτὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ 414] παρ- αλληλογράμμῳ. τὸ δὲ. 44 παρ- αλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ AI'4 τριγώνου. καὶ τὸ ΖΓΗ Ἢ ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ 43Γ24 τριγώνου. ὡς δὲ τὸ τρί- B 4 E wyovov πρὸς τὸ τρίγωνον, διὰ τὸ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ οὕτως lodv τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ AI. δοϑὲν δὲ τὸ ὑπὸ Al: δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ͂. καὶ δο- 1. 4ΓΒῚ AI' ΓΒ Hultsch cum Commandino. 19. περὶ] εἶναι περὶ Hultsch. 32. δοϑέντος] ἀπὸ δοϑέντος Hultsch cum Commandino. Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 18 10 15 20 10 20 2ὅ 214 FRAGMENTA ϑέντος τοῦ E sig ϑέσει τὰς AT, I1 διῆκται elg χωρίου ἀποτομήν ϑέσει ἄρα ἐστὶν ἡ EZ. συντεϑήσεται δὲ οὕτως ἔστω τὸ μὲν τῇ ϑέσει παρ- αλληλόγραμμον τὸ 44, τὸ δὲ δοϑὲν τὸ E. διήχϑω ἀπὸ τοῦ E εἰς ϑέσει τὰς ZI'H εὐθεῖα ἡ EZ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ΖΓΗ ἴσον δοϑέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ 414. καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ. 1. Pappus Zvv«y. VIL 3 p. 636,23 (inter opera ad | τόπον ἀναλυόμενον pertinentia loco undecimo, cfr. fr. 5): Εὐκλείδου Τόπων πρὸς ἢ) ἐπιφανείᾳ δύο. cfr. Studien über Euklid p. 79sqq., Zeuthen Die Lehre von den Kegel- schnitten im Altertum p. 423sqq. 8. Pappus Συναγ. VII 312 p. 1004, 16sqq.: Εἰς vovg πρὸς ἐπιφανείᾳ. α΄. ᾿Ἐὰν d εὐθεῖα ἡ AB καὶ E παρὰ ϑέσει ἡ DA, καὶ ἢ λόγος ^ τοῦ ὑπὸ 44B πρὸς τὸ ἀπὸ AI, τὸ I' ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς. Α N B ἐὰν οὖν ἡ uiv AB στερηϑῇ τῆς 72, 4^ 0 Sw ϑέσεως, καὶ τὰ A, B στερηϑῇ τοῦ δοθέντα εἷναι, γένηται δὲ πρὸς ϑέσει εὐθείαις ταῖς AE, 1) πρὸς] τῶν πρὸς Hultsch. 1. εἰς (alt.)] ἡ EZ εἰς Hultsch cum Commandino. ὅ, ZI'H] ZI' I4 Hultsch cum Commandino. 6. τὸ] τὸ ὑπὸ cod., Hultsch. 71. τοῦ] τοῦ ὑπὸ cod. Hultsch. 19. αἼ hoc lemma explicauit Tannery Bulletin des sciences mathém. 2* série VI p.149, figuram dedit Zeuthen Kegelsch. p. 424. 25. do- T" δοϑέντος cod., Hultsch. εὐϑείαις] Tannery, εὐθεῖα cod., Hultsch. τὸ ZI'H τρίγωνον τῷ AZ παραλληλογράμμῳ: ἡ EZ. ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. φανερὸν οὖν, ὅτι μόνη, ἐπεὶ χἀκείνη μόνη. ὦ νεται αν οι — e——-—— FRAGMENTA 215 EB, vo I μετεωρισϑὲν γίνεται πρὸς ϑέσει ἐπιφανείᾳ. τοῦτο δὲ ἐδείχϑη. β΄. ᾿Εὰν 1j ϑέσει εὐθεῖα ἡ AB καὶ δοϑὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ. καὶ διαχϑῇ ἡ AT, καὶ παρὰ ϑέσει ἀχϑῇ ἡ AE, λόγος δὲ ἦ τῆς ΓΖ πρὸς AE, τὸ 44 ἅπτεται ϑέσει κωνι- xijg τομῆς" δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς. δειχϑήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τό- που τοῦδε" Δύο δοϑέντων τῶν 4. Β καὶ ὀρϑῆς Β p τῆς ΓΖ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ 44 πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΖά, 48. λέγω. ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ἦ ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείξων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείξονα. ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος /. πρὸς ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ε ἀπὸ 44 τοῖς ἀπὸ I4, AB, κείσϑω τῇ B4 ἴση ἡ 4E: ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ 4Γ. τετμήσϑω δίχα ἡ AB τῷ Z* δοϑὲν ἄρα τὸ Ζ. or E xci ἔσται διπλῆ ἡ AE τῆς ΖΩ͂" A '"Z 4 gp ὥστε τὸ ὑπὸ BAE τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ |^ τῶν AB, LA. καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς 4B δοθεῖσα" τὸ ἄρα ὑπὸ δοϑείσης καὶ τῆς Ζ4 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 41. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται ϑέσει παρα- βολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ. συντεϑήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως᾽ ἔστω τὰ δοϑέντα 4. B, ὃ δὲ λόγος ἔστω ἴδος πρὸς 1. ἐπιφανείᾳ Hultsch in indice, ἐπιφανείας cod. ὅ. παρὰ ϑέσει] πρὸς ὀρϑὰς Hultsch. 7. δείκνυται) δεικτέον susp. Hultsch. γραμμῆς] γραμμῆς μέρος ποιεῖ τὸν τόπον Gerhardt, Hultsch. 8. τόπου] ,immo τοῦ λήμματος“ Hultsch. 10. γ΄ praeposuit Hultsch cum aliis. 921. ἔσται] ἔστιν Hultsch cum Commandino. 27. δ΄ add. Hultsch, alii. 4 rw 10 20 25 216 FRAGMENTA ἴσον, καὶ τευμήσϑω ἡ AB δίχα τῷ Z, τῆς δὲ AB δια ἔστω ἡ P, καὶ ϑέσει οὔσης εὐθείας τῆς ZB πεπερασ- μένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ P δεδομένης τῷ μεγέϑει, γε- γράφϑω περὶ ἄξονα τὸν ZB παραβολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε, 5 οἷον ἐὰν ἐπ᾽ αὐτῆς σημεῖον npe ὡς τὸ I, κάϑετος δὲ ἀχϑῇ ἡ ΓΖ, ἴσον εἷναι τὸ ὑπὸ P, ΖΖ τῷ ἀπὺ AT, καὶ ἤχϑω ὀρϑὴ 7 BH. λέγω. ὅτι τὸ ΓΗ͂ μέρος τῆς enm ολῆς ἐσ βολῆς ἐστιν. " A EZ 4 P £X ἤχϑω γὰρ κάϑετος ἡ ΓΖΩ͂, καὶ τῇ Ba ἴδη κείσϑω., 10 ἡ 4E. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐρεῖν ἡ uiv AB τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς B4, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ AE τῆς Z^ τὸ ἄραι ὑπὸ BAE μέρα, ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν AB, Z4, τουτ- ἐστιν τῷ ἀπὸ 41Γ. κοινὸν προσχείσϑω τὸ ἀπὸ Ed ἴσον ὃν τῷ ἀπὸ 418’ ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ 44] ἴσον ἐστὶν. 15 τοῖς ἀπὸ τῶν L4, AB. ἡ ΖΓΗῊ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ vov. τόπον. ᾿ Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοϑέντα σημεῖα và A, B καὶ εὐθεῖά τε ἡ 4 Γ καὶ ὀρϑή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ. ἀπὸ 44 17. ε΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. εὐθεῖά ve ἡ AI καὶ ὀρϑή] ἐφάπτεται ἡ 41' καὶ ὀρθή cod., κατήχϑω 0991 ἰῷ 4Γ Hultsch cum Commandino. TU | FRAGMENTA 211 πρὸς τὰ ἀπὸ Bí, 4Γ ἐπὶ uiv τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείξονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα. λέγω. ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως. ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ 444] πρὸς τὰ ἀπὸ BA, AT, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ BA πρὸς τὸ ἀπὸ Η A4 E: ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ B4 τῆς AE, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ BA τῆς 4Ε. Ἀἀείσϑω οὖν τῇ ΕΔ ἴση ἡ 472. ἐπεὶ λόγος á 4 4 erj|£z » ἐστὶν τοῦ ἀπὸ 421 πρὸς và ἀπὸ I4, 4B, καί ἐστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ 44 B, καὶ λοιπὸς 2. ἐλάσσων πρὸς μείζονα) μείζων πρὸς ἐλάσσονα Hultsch cum Commandino. μείζων πρὸς ἐλάσσονα) ἐλάσσων πρὸς μείξονα Hultsch eum Commandino. 7. B4] E4 Hultsch cum Com- mandino. 8. 4E] 4B Hultsch cum Commandino. 10. οὖν) ὅτε cod., om. Hultsch cum Commandino. 12. Permutanda . erant. Ez et 28: sed hic error, quoniam cum ulla proba- bilitate corrigi non potest, Pappo ipsi tribuendus est. totam demonstrationem pessumdat. 218 FRAGMENTA ἄρα τοῦ ὑπὸ ZAE πρὸς τὸ ἀπὸ 4Γ λόγος ἐστὶν δο- ϑείς. ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΖ πρὸς 4B καὶ τῆς Z4 πρὸς 4B καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΩ, ὃ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὃ τῆς 4B πρὸς BH: καὶ ὅλης ἄρα τῆς AZ. 5 πρὸς 4 λόγος ἐστὶν δοϑείς. πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶν. τῆς ΕΖ πρὸς 48 δοϑείς, καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς BA λόγος ἐστὶν δοϑείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὃ τῆς 4Β πρὺς BO* λόγος ἄρα καὶ τῆς 4B πρὸς ΒΘ ἐστιν δοϑείς" δοϑὲν ἄρα τὸ Θ. καὶ λοιπὸς τῆς AE πρὸς ΘΩ͂ λόγος 10 ἐστὶν δοϑείς " καὶ τοῦ ὑπὸ Ζ4Ε ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΙ λόγος ἐστὶ δοϑείς. τοῦ δὲ ὑπὸ LAE πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΖ λόγος ἐστὶν δοϑείς" καὶ τοῦ ὑπὸ Η41Θ ἄρα πρὺς τὸ ἀπὸ ΖΓ λόγος ἐστὶν δοϑείς. καί ἐστιν δύο δοϑέντα τὰ O, H* ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ' ἅπτεται 16 ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. συντεϑήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως" : ἔστω τὰ μὲν δύο δοϑέντα σημεῖα τὰ 4, B, ὁ δὲ δο- ϑεὶς λόγος ὃ τῆς PT πρὸς TZ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώ- Η P T ΓΕ N σεως ἐλάσσων πρὸς μείξονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων 2. καὶ τῆς Ζ2 πρὸς 4 Β] om. Hultsch cum Commandino. 6. καὶ τῆς — 1. δοϑείς] cod., nisi quod δοϑέντα habet (sicut etiam post ΖΒ lin. 6); om. Hultsch cum Commandino. 7. AB] 40 Hultsch cum Commandino. 9. δοϑὲν ἄρα τὸ 6] uncis inclusit Hultsch. λοιπὸς] λοιπὸς ἄρα Hultsch. 15. Post ὑπερβολῆς add. μείξων πρὸς ἐλάσσονα ἐλάσσων πρὸς μείξονα cod, 16. ς΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. τῆς PT πρὸς ΤΙΣ] ro? ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ TZ Hultsch cum Com- mandino. 19. μείζων πρὸς ἐλάσσονα et ἐλάσσων πρὸς μείζονα Hultsch cum Commandino. FRAGMENTA 219 πρὸς ἐλάσσονα, καὶ τῇ PT ἴση κείσϑω ἡ TT, καὶ πε- zouj690, ὡς ἡ TZ πρὸς τὴν Z TT, οὕτως ἡ AB πρὸς τὴν BH, πεποιήσθω δὲ καί, ὡς ἡ PT πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἣ 4Θ πρὸς τὴν ΘΒ. καὶ γεγράφϑω περὶ ἄξονα ov OH ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις. ἐπὶ τῇ Jr E ΘΙΕΔ) Z |g Bhd. 4. r1 1 , * * P r r Σ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾽ αὐτῆς ληφϑῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ΄, καὶ κάϑετος ἀχϑῇ ἡ ΓΖ, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΩΗ πρὸς τὸ ἀπὸ AT τὸν συνημμένον ἔκ τε τοῦ. ὃν ἔχει ἡ ΤΙΣ πρὸς ΣΎ, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΖ πρὸς ΣΡ, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὃ δοϑεὶς λόγος. ὅς ἐστιν ὃ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ T2, καὶ ἤχϑω ὀρϑὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ Θ K ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα. ἤχϑω γὰρ κάϑετος ἡ D'4, καὶ πεποιήσϑω, ὡς μὲν 7, AB πρὸς τὴν BH, οὕτως ἡ ZB πρὸς τὴν B4, ὡς δὲ ἡ 409 πρὸς τὴν 0 B, οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν 4B: ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς 4H πρὸς τὴν AZ λόγος ὃ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς TZ πρὸς ΣΎ, ὁ δὲ τῆς. ΘΩ͂ πρὸς AE λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ' τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχϑη ὥστε τοῦ ὑπὸ O4H πρὸς τὸ ὑπὸ ZAE λόγος συνῆπται ἐξ οὗ 20 11. καὶ ἤχϑω)] κατήχϑω cod., Hultsch. 18. ἐστιν] del. Hultsch. 19. τὸ αὐτὸ] τοῦτο susp. Hultsch. 10 15 20 2b 280 FRAGMENTA ὃν ἔχει dj TZ πρὸς ET xci ἣ ΤΣ πρὸς EP. ἀλλ᾽ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ O4 H πρὸς τὸ ἀπὸ 4Γ τὸν συνημμένον ἔχει — λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ TZ πρὸς ΣῪ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἔτι ὃ δοϑεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΣ, καὶ τὸ ὑπὸ ΘΩ͂ Η πρὸς τὸ ἀπὸ AT' συνῆπται ἐξ οὗ ὃν 1 ἔχει τὸ ὑπὸ ΘΖ H πρὸς τὸ ὑπὸ ZAE καὶ τὸ ὑπὸ ZAE πρὸς τὸ ἀπὸ AI, καί ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν OA4H πρὸς τὸ ὑπὸ LAE λόγος ὃ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχειν ἡ TZ πρὸς ZT καὶ ἡ TX πρὸς ΣΡ, λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ZAE πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ TZ, τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ZB. καὶ πάντα πρὸς πάντα᾽ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ 44 πρὸς τὰ ἀπὸ I, 48. οὕτως éoriv τὸ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙΣ. τουτέστιν ὃ δὸο- ϑεὶς λόγος. ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον. Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεϑα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς. ἔστω ϑέσει εὐϑεῖα ἡ AB καὶ δοϑὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχϑω ἡ 4Γ καὶ κάϑετος ἡ AE, λόγος δὲ ἔστω τῆς I4 πρὸς 4Ε. λέγω, ὅτι τὸ 4] ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ἦ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως, ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς. ἔστω πρότερον ὃ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ I τῇ 4E. δεῖξαι. ὅτι τὸ 4 ἅπτεται παραβολῆς. ἤχϑω κάϑετος ἡ I'Z' ϑέσει ἄρα ἐστί. τῇ δὲ AB παράλληλος ἡ 4H. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ ἴσον τῷ ἀπὸ “πος ἂν 4. καὶ ἔτι] καὶ ἔστιν cod., καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοϑεὶς λόγος καὶ ἔστιν Hultsch cum Commandino. Post TZ add. ἐλάσσων πρὸς μείξονα cod. 10. ZAE] ΘΖΗ cod. 18. ΓΖ, T BH cod. 17. ξ΄ praemisit Hultsch cum aliis. 19. x« (alt. om. cod., Hultsch. 94. ἔστω] ἔστω τῶν cod., ἔστω γὰρ Hultsch. FRAGMENTA 281 AAT, ἴση δὲ ἡ uiv ΕΖ τῇ ZH, vo δὲ ἀπὸ AI' ἴσον "τοῖς ἀπὸ 44H, ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ 4H, ΗΓ. καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ, καὶ δύο δοϑέντα τὰ Ζ, I" τὸ 4 ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τοῦτο γὰρ προ- δέδεικται... T" A 18 συντεϑήσεται δὴ οὕτως" ἔστω ἡ τῇ ϑέσει ἡ 48. τὸ δὲ δοϑὲν τὸ I, καὶ ἤχϑω χάϑετος ἡ ΓΖ, καὶ ϑέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοϑέν- vov τῶν Z, Γ᾽ εὑρήσϑω παραβολὴ ἡ 49, ὥστε. οἷον ἐὰν ληφϑῇ σημεῖον ὡς τὸ 4, ἀχϑῇ δὲ κάϑετος ἡ 4 Η, ἴσον ἐστὲν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ 4H, HI. λέγω, ὅτι ἡ. 46 γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ. τουτέστιν ὅτι. οἵα τις ἐὰν διαχϑῇ ὡς ἡ I καὶ κάϑετος ἡ 4E, ἴση ἐστὶν ἡ I4 τῇ 4Ε. ἤχϑω κάϑετος ἡ 4 ΗΠ’ διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ 4H, HI. καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ EZ, τοῖς δὲ ἀπὸ 4Η, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ AI" τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΓ ΄ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 4 E. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Is AE: ἡ ἄρα 40 γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον. 6. η΄ praemisit Hultsch cum aliis. 11. ἐστὶν] fort. εἶναι. 12. τὸν τόπον ποιεῖ] τὸν τόπον cod., ποιεῖ τὸν τόπον Hultsch cum aliis. ὅτι) om. cod., Hultsch. 13. ἐὰν] ἂν Hultsch. 19. Desiderantur praeter finem huius lemmatis sine dubio alia lemmata libri Euclidis. 10 10 15 20 25 282 FRAGMENTA Κωνικά. 9. Pappus Σύυναγ. VII 30 p. 612, 18sqq.: |] Τὰ Εὐκλείδου βιβλία ὃ Κωνικῶν Ἀπολλώνιος àva-. πλώσας καὶ προσϑεὶς ἕτερα ὃ παρέδωκεν ἢ Κωνικ τεύχη. Scholiasta Pappi III p. 1187 ad hune locum: ὅτι καὶ ὁ Εὐκλείδης κωνικῶν ὃ βιβλία γέγραφεν. Ofr. Studien über Euklid p. 83sqq. 10. Apollonius Pergaeus Conic. I p. 4, 10sqq.: Τὸ δὲ τρίτον πολλὰ x«l παράδοξα ϑεωρήματα χρήσιμα πρός τὲ τὰς συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς, ὧν τὰ πλεῖστα καὶ κάλλιστα ξένα, ἃ καὶ κατανοήσαντες συνείδομεν μὴ συντιϑέμενον ὑπὸ Εὐκλεί- δου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ τέσσαρας γραμμὰς τόπον, ἀλλὰ μόριον τὸ τυχὸν αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς οὐ yàg. ἦν δυνατὸν ἄνευ τῶν προσευρημένων ἡμῖν τελειωϑῆναι, τὴν σύνϑεσιν. ; Cfr. Pappus VII 32 p. 616, 3sqq. Pappus VII 33 p. 616, 19sqq.: πολλώνιος μὲν ταῦτα᾽ ὃν δέ φησιν ἐν τῷ τρίτῳ τόπον ἐπὶ y καὶ ὃ γραμμὰς μὴ τελειωϑῆναι ὑπὸ Εὐκλείδου, οὐδ᾽ ἂν αὐτὸς ἠδυνήϑη οὐδ᾽ ἄλλος οὐδεὶς ἀλλ᾽ οὐδὲ μικρόν τι προσϑεῖναι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσιν διά γε μόνων τῶν προδεδειγ- μένων ἤδη κωνικῶν ἄχρι τῶν κατ᾽ Πὐκλείδην, ὡς καὶ αὐτὸς μαρτυρεῖ λέγων ἀδύνατον εἷναι τελειωϑῆναι, χω- olg ὧν αὐτὸς προγράφειν ἠναγκάσϑη. ὃ δὲ Εὐκλείδης ἀποδεχόμδνος τὸν Ἀρισταῖον ἄξιον ὄντα, ἐφ᾽ οἷς ἤδη παραδεδώκει κωνικοῖς, καὶ μὴ φϑάσας ἢ μὴ ϑελήσας ἐπικαταβάλλεσϑαι τούτων τὴν αὐτὴν πραγματείαν. .-; 8. ἀναπλώσας) cod., ἀναπληρώσας Hultach cum aliis. 22. ἀλλ᾽ — 28. γραφεῖσιν del. Hultsch. 26. ὁ δὲ sqq. del. Hultsch. | Ϊ FRAGMENTA 283 ὅσον δυνατὸν ἦν τοῦ τόπου διὰ τῶν ἐκείνου κωνικῶν, ἔγραψεν οὐκ εἰπὼν τέλος ἔχειν τὸ δεικνύμενον. De loco ad tres uel quattuor lineas u. Zeuthen Die Lehre von den Kegelscehn. p. 126sq. 11. Archimedes Quadrat. parabol. prop. 1—3 (II p. 6 266 sqq. ; cfr. ib. II p. 350,8; 436, 3): Εἴ κα T ὀρϑογωνίου κώνου τομά, ἐφ᾽ ἃς & ABI, & δὲ B4 παρὰ τὰν διά- uévoov ἢ αὐτὰ διάμετρος, ἁ δὲ 4Γ παρὰ τὰν κατὰ τὸ 10 Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώ- vov Tou&g, ἴσα ἐσσεῖται ἁ AA τᾷ AT. κἂν ἴσα ἦ ἁ AA τᾷ AT, παραλλήλοι ἐσ- σοῦνται ἅ τε 4 καὶ ἁ 15 κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς. Ei κα ἦ ὀρθογωνίου κώ- il A p νοῦ vou& & ABI, 9 δὲ & ! μὲν ΒΖ παρὰ τὰν διά- 20 μετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος, & δὲ 44ΓΓ παρὰ τὰν κατὰ τὸ B ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου rou&g, ἁ δὲ EI' τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ I, ἐσσοῦνται αἱ Β4,, BE ἴδαι. Εἴ κα 1j ὀρϑογωνίου κώνου τομὰ & ABI, ἁ δὲ BA 3ὅ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρὸς, καὶ ἀχϑέωντί τινες αἱ 44. ΕΖ παρὰ τὰν κατὰ τὸ B ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου rouüg, ἐσσεῖται, ὡς ἁ ΒΩ ποτὶ τὰν ΒΖ. δυ- νάμει & 44 ποτὶ τὰν ΕΖ. ἀποδέδεικται δὲ ταῦτα ἐν τοῖς κωνικοῖς στοι- 80 χείοις. 12. Archimedes Περὶ κωνοειδ. καὶ σφαιροειδ. prop. 3 (I p. 210, 158q4q.): E 284 FRAGMENTA Ei κα κώνου vou&g ὁποιασοῦν εὐϑεῖαν ἐπιψαύωντι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σαμείου ἀγμέναι, ἔωντι δὲ καὶ ἄλλα εὐθεῖαι ἐν τᾷ τοῦ κώνου τομᾷ παρὰ τὰς ἐπιψαυούσας, ἀγμέναν καὶ τέμνουσαι ἀλλάλας, τὰ περιεχόμενα ὑπὸ 5 τῶν τμαμάτων τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτ᾽ ἄλλαλα, ὃν τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἐπιψαυουσᾶν᾽ ὁμόλογον δὲ ἐσσεῖται τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τᾶς ἑτέρας γραμμᾶς. τμαμάτων τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τ! παραλλήλου αὐτᾷ. : 10 ^ ἀποδέδεικται δὲ τοῦτο ἐν τοῖς κωνικοῖς στοι- χεέοις. |. 19. Archimedes Περὶ xovostó. prop. E hi 3 d p. 212, 299g): '* ; " ; Ov δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ 16 ἀπὸ τᾶς 42 ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς 4Κ, τοῦτον ἐχέτω & Ν ποτὶ τὰν Μ. αἱ δὴ ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν 22 ἀγόμεναι παρὰ τὰν AE δύνανται τὰ παρὰ τὰν ἴσαν τᾷ Ν παραπίπτοντα 20 πλάτος ἔχοντα, ἃς αὐταὶ ἀπολαμβά- γνοντι ἀπὸ τᾶς 412 ποτὶ τὸ zi πέρας. Κ A! δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς xovixoic. ; EPIGRAMMA Εὐκλείδου γεωμετρικόν. Ἡμίονος καὶ ὄνος φορέουσαι oivov ἔβαινον, αὐτὰρ ὄνος στενάχιξεν ἐπ᾽ ἄχϑει φόρτου £oio. τὴν δὲ βαρυστενάχουσαν ἰδοῦσ᾽ ἐρέεινεν ἐκείνη" 5 μῆτερ, τί κλαίουσ᾽ ὀλοφύρεαι ἠύτε κούρη: εἰ μέτρον ἕν μοι δοίης, διπλάσιον σέϑεν ἦρα, εἶ δὲ ἕν ἀντιλάβοις, πάντως ἰσότητα φυλάξεις. εἰπὲ τὸ μέτρον, ἄριστε γεωμετρίης ἐπίιστορ. Primus edidit Aldus in Florilegio 1503 (MM p. 9), deinde praeter reliquas Anthologiae editiones, uelut Henrici Ste- phani 1566 p. 493, Bachetus in Diophanto p. 370 sine Euclidis nomine (p. 349: ,placet hoe loco elegantissima aliquot epigrammata proferre non iniucundas quaestiones de rebus arithmeticis continentia, quae nondum edita fu- erunt, quaeque pridem e codice probatissimo Palatino ex- cerpta tradidit nobis vir eruditissimus Claudius Salmasius", et deinde p. 368: ,his, quae nondum edita erant, epigram- matis subiicere libet quinque sequentia eum nostra inter- pretatione, ne quid ad hanc materiam pertinens hic deesse sinamus, quamuis olim haec edita circumferantur in Antho- logia^) et Brunckius Anal I p. 168. ego hosce contuli co- dices: Vatic. Gr. 63 bomb. s. XIV (A, fol. 121), Vatic. Gr. 1347 chart. s. XVI (B, fol. 216), Vatie. Gr. 1379 chart. s. XV (0, fol. 33), Mutin. III B 11 ehart. s, XV (D), Bar- berin. I 128 chart. s. XV (E, fol. 124), Musei Britann. add. 22858 chart. s. XVI (F, fol. 105"), Bodl. Baroecian. 125 chart. s. XVI, u. Coxe I p. 203 (G, fol. 146). exstat etiam in Vindob. philos. 331. 1. γεωμετρικόν) γεωμετρικοῦ F, ἐπίγραμμα γεωμετρικόν G. 2. οἶνον] lvov F. 8. στενάχισεν F, sed corr. 4. βαριστε- Philippus Melanchthon. Mulae asinaeque duos imponit seruulus utres impletos uino. segnemque ut uidit asellam pondere defessam uestigia figere tarda, mula rogat: quid, chare parens, cunctare gemisque? unam ex utre tuo mensuram si mihi reddas, duplum oneris tune ipsa feram; sed si tibi tradam unam mensuram, fient aequalia utrique pondera. mensuras die, docte geometer, istas! b. 1. Interpretationem Melanchthonis sumpsi ex Εἰ, fol. 105". νάχουσαν Bachet. £o£ewsv] ἐρέειν C, ἐρεένειν. F, ἐρέεκεν G. ἐκείνη) ἐνεκείνη C. — 5. μῆτερ) use. CD, ὦ us E. 6. ἕν μοι] ἔμοι Bachet. T. δὲ ἕν] δέ xev FG. 8. γεωμετρίως F. ἐπιίστωρ E, /. add. G et in mg. 7q ἐπιστήμων. — In mg. ad lin. 3: S ΡΌΡΟΞΕ ξ καὶ ἡ ὄνος € DE, ἡ ἡμίονος ξ ἡ ὄνος € A. In A ἀνὰ τριῶν μέτρων δοκοῦσι des ACDE Aldus $Ste- phanus, ἡ μὲν ξ ἡ δὲ € μέτρα δοκοῦσι φέρειν C. : n iie e suia jgo e AU tite piáupsa. Ah. nay: ul "A Set * Landa ioianic ov aol. md (x. p. a ἂν hr. T e SCHOLIA 19 200 Scholia Seholia eodieis Vat. Gr. 1038 fol 129" sub fine Da rum in mg. inferiore. | « «|[«[«|«|«|«|«|«|« [α β1᾽γ} δ] ε £139 L δυαδικαὶ συξδυνϊαὶ [« γ} 5] ει [κα κη] ἃς [ μὲ τριαδικαὶ συξυγίαι | αἱ δ᾽. Ὁ} x | λὲ}νς [πὸ] ox «|s][|is]|2s] o [oxc| σι c κα |vs loxc]ovg | α xn|zó|o.| - «[ml|2s|ox 8. } μὲ «|t « Ὅρων δοϑέντων ὁποσαοῦν εὑρεῖν δυαδικὰς συξυγίας. εὑρίσκομεν δὲ αὐτὰς οὕτως" λαμβάνομεν τῶν δοϑέντων ὅρων t ἀριϑμὸν μονάδι, ἐλάττονα καὶ πολυπλασιάξομεν αὐτὸν εἰς τὸν ἐγγὺς αὐτοῦ μονάδι μείξονα καὶ ἐκ τοῦ δ γενομένου ποσοῦ λαμβάνομεν τὸ ἥμισυ" καὶ ἔχομεν αὖ- τὴν εὕρεσιν τῶν δοϑέντων ὅρων δυαδικὰς συξυγίας. τὰς δὲ τριαδικὰς οὕτως᾽ λαμβάνομεν τὸν δυάδι ἐλάσ- σονα ἀριϑμὸν τοῦ ποσοῦ τῶν ἐξ ἀρχῆς δοϑέντων ὅρων καὶ πολλαπλασιάξομεν ἐπὶ τὸ ποσὸν τὸ γεγονὸς ἐκ τῶν 10 δυαδικῶν συξζυγιῶν ἐκ τοῦ ποσοῦ τῶν δοϑέντων ἐξ ἀρχῆς ὅρων καὶ τοῦ γεγονότος πολλαπλασιασμοῦ λαμβάνομεν τὸ τρίτον μέρος" καὶ ἔχομεν τριαδικὰς συζυγίας. καὶ ἑξῆς ὁμοίως. ΜΜέϑοδος εἰς τοὺς τριγωνικοὺς ἀριϑμούς. 1) Quadratum vacuum. 3. ἀρυϑμόν) om. lacuna relicta. 7T. τὰς δέ] om. lae. relicta. Scholia 291 δοϑείσης πλευρᾶς εὑρεῖν τὸ πλῆϑος τῶν μονάδων τοῦ ἐμβαδοῦ. ἔστω ἡ πλευρὰ μοιρῶν ξ΄ ταύτης τὸ ἥμισυ γίνεται γ ἥμισυ. πρόσϑες χαϑόλου τὸ ἥμισυ" γίνεται ὃ. prune τὸ ξ γίνεται κη. πάλιν ἔστω 1 πλευρὰ μοιρῶν ἢ ὧν τὸ ἥμισυ ὃ. πρόσϑες ἥμισυ" γίνεται ὃι.. ἐπὶ τὸ ἢ γένεται Ag. ὁμοίως ἐπὶ πάντων. μέϑοδος ἄλλη χρησιμωτέρα. πᾶς ἀριϑμὸς διαιρεϑεὶς sio δύο ἀριϑμούς, ὥστε μο- νάδι ἀλλήλων διαφέρειν τὰ τμήματα, ἐὰν πολλαπλασια- σϑῇ ἐφ᾽ ὁποιονοῦν, ὃ ὅλος τριγωνικὸς ἔσται" πλευρὰ δὲ ἔσται τοῦ μὲν μείξονος τριγώνου ὁ ἐξ ἀρχῆς ἀριϑμός, τοῦ δὲ ἐλάττονος ó μονάδι ἐλάσσων αὐτοῦ᾽ οἷον ὁ 9 usse εἷς ὃ καὶ & γίνεται οὖν | ἃς, μὲ με᾽ πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν ὃ 5, τοῦ δὲ ὁ 9. πάλιν ὃ ιβ εἰς € ἥμισυ καὶ ξ uev γίνεται Eg, ox πλευρὰ δὲ τοῦ uiv ὁ τὰ wt, τοῦ δὲ δ if. Scholium eodieis Vaticani Gr. 204 fol. 1847 ad Eu- elidis Catoptrica prop. I. Ζῆλον τοῦτό ἐστι μάλιστα ἀπὸ τῶν ἡλιακῶν ἀκτί- νῶν. ἐὰν γὰρ ἐν σταϑερᾷ μεσημβρίᾳ τοῦ ἡλίου φλογῶ- δὲς ἐλλάμποντος ὕδωρ τις ἐν πινακίσκῳ βαλὼν ἔγγιον αὐτὸ 4j τοίχου τινός, κατ᾽ ἐκεῖνο δηλονότι τὸ μέρος, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὰς ἀκτῖνας ἀφίησιν, αὐτίκα γενήσονται παλμοί τινες ἐπὶ τὸν τοῖχον ἀπὸ τοῦ ὕδατος, ὡς ὁρᾶσϑαι τὰς ἀκτῖνας παλλομένας τοῦ ἡλίου ἐπὶ τὸν τοῖχον καὶ οἷον ὑποτρεμούσας, ὅπερ ἐστὶν ἡ λεγομένη ἀντανάκλασις. καὶ εἴγε ἦν αἰσϑητικώτερον ἰδεῖν τὴν ἀκτῖνα, καϑάπερ ξύλον ἢ λίϑον ἢ ἄλλο τι σῶμα τοιοῦτον, εἶδες ἂν τὴν ἀπὸ ταύτης ἐπὶ τὴν ἀνακλωμένην εὐϑεῖαν ἐπίξευγνυμέ- νὴν γραμμὴν πρὸς ἴσας γωνίας οὖσαν ἑκατέραις καὶ διάνδιχα ταύτας μερίζουσαν. ἐπεὶ τοίνυν, ὕπερ ἐστὶν 26. ὑποτρεμούσας] -μ- obscurum, fortasse x. 10 15 20 25 30 10 15 292 Scholia ἥλιος ἐν κόσμῳ, τοῦτο ἐν σώματι ὀφϑαλμός, τὸ αὐτὸ ἐπὶ τούτου γενήσεται, ὕπερ καὶ ἐπὶ τοῦ ἡλίου, ὅταν ϑεωρῇ διά τινος σώματος καϑαρωτάτου καὶ διαφανοῦς, οἷον τὸ τῆς ὑέλλου. ὑποστήσεται γάρ τινα παλμὸν ἀπὸ τοῦ ὀφθαλμοῦ ἐπὶ τὴν ὕελλον ἀποχεομένη ἀκτὶς καὶ γωνίαν τὴν αὐτὴν ποιήσει πρὸς τῷ ἐνόπτρῳ, οἵαν. ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς αὐτό. δῆλον, ὅτι, εἰ μὲν πρὸς, ὀρϑὰς γωνίας ἐστὴν αὐτὴ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος, αὐτὴ δι ἑαυτῆς ἀνακλασϑήσεται, εἰ δὲ πρὸς ἀμβλείας, ἔσται ἀνα- λόγως καὶ ἡ ἀντανακλωμένη αὐτὴ ἰσογώνιος αὐτῇ, TOUT-. ἔστιν ἴσην ἔχουσα τὴν πρὸς τῇ κατὰ τὸ ἔνοπτρον συν- agi; γωνίαν τῇ ἀπὸ τῆς τοῦ ὄμματος ἀκτῖνος πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ, καὶ τοῦτό ἐστιν, ὅπερ φησὶν Εὐκλείδης,, ὅτι ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων. αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται. 11. ieqw] bis. 12. τῆς] supra. PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY 51 Qai eso νὰ εν dx Cc e^ E83 oes MaloM E ἂν ANT CA. PASC Ξο 7 ea, "NC